1.3 全等三角形的判定 6课时打包 课件 (共121张PPT) 2025-2026学年数学苏科版八年级上册

(共121张PPT)
第1章 三角形
1.3　全等三角形的判定
第2课时 “角边角”(ASA)
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
A
B
C
D
E
F
1.什么叫全等三角形？
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
2.已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③CA=FD
②BC=EF
④∠A=∠D
⑤∠B=∠E
⑥∠C=∠F
知识关联
A
B
C
D
E
F
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④∠A=∠D
⑤∠B=∠E
⑥∠C=∠F
1.满足这六个条件可以保证△ABC≌△DEF吗？
思考：
2.如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证
△ABC≌△DEF吗？
知识关联
为一个三角形茶几配一块能与桌面完全重合的玻璃,需要测量哪些量
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
探究与应用
【情境问题】
(1)只给一条边时：
3㎝
3㎝
45
(2)只给一个角时：
45
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究与应用
1.只给一个条件
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
(1)两边；
(3)两角.
(2)一边一角；
2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
探究与应用
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时
6cm
6cm
4cm
4cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
(1)两边：
【探究1】探究三角形三边关系
探究与应用
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
三角形的一条边为4cm，一个内角为30°时:
4cm
4cm
30
30
结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
(2)一边一角：
探究与应用
【探究1】探究三角形三边关系
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
45
30
45
30
如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以
推论：当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等.
(3)两角：
探究与应用
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
两个条件：
(1)两角；
(2)两边；
(3)一边一角.
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.
一个条件：
(1)一角；
(2)一边；
你能得到什么结论？
探究与应用
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
【总结归纳】
四种可能
三个角
两边及一角
两角及一边
三条边
两边夹一角
两边及其中一边的对角
两角夹一边
两角及其中一角的对边
3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
×
探究与应用
【探究1】探索基本事实——“边角边”(SAS)
1.用一张长方形纸剪一个直角三角形,怎样剪才能使每个人得到的直角三角形都能够重合
解:使所剪的直角的两边对应相等,
则所得的直角三角形都是全等的.
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
探究与应用
【活动探究】
2.如图,给定△ABC,在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'C',使得∠B'=∠B,A'B'=AB,B'C'=BC.这两个三角形全等吗
补全下面△A'B'C'的作法并回答上述问题.
探究与应用
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
作法 图形
1.作∠MB'N=　　　　; 2.在射线B'M,B'N上分别截取A'B'=　　　　, B'C'=　　　　; 3.连接A'C'. △A'B'C'即为所求.
∠B
AB
BC
△A'B'C'≌△ABC.
探究与应用
【探究1】用正负数表示具有相反意义的量
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
基本事实——“边角边”:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).
符号表示:
如图,在△ABC和△A'B'C'中,如果
那么△ABC≌△A'B'C'.
【概括新知】
探究与应用
【探究1】探索基本事实——“边角边”(SAS)
如图,补充条件使下列各题能根据“SAS”证明△ABC≌△BAD.
(1)已知AD=BC,再添加∠　　　　=
∠　　　　即可;
(2)已知∠DBA=∠CAB,再添加 　 =
　　　即可.
DAB
CBA
BD
AC
【探究1】用正负数表示具有相反意义的量
【巩固新知】
探究与应用
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
根据“SAS”添加判定两个三角形全等的条件
(1)如果已知两边对应相等,需添加 ; 　　　　　
　 　
(2)如果已知一边一邻角对应相等,需添加 .
　　　　　
两边所夹的角相等
夹该角的另一边相等　
【方法总结】
【探究】探索基本事实——“边角边”(SAS)
探究与应用
证明:在△OAC和△OBD中,
∴△OAC≌△OBD(SAS).
例1 (教材典题)如图,A,B分别是线段OD,OC上的点,OC=OD,OA=OB.
求证:△OAC≌△OBD.
【理解应用】运用“边角边”(SAS)证明三角形全等
探究与应用
证明三角形全等时要关注三类条件:第一类是直接条件,给出全等三角形的对应边、对应角,可以直接运用;第二类是隐含条件,例如　　　　、　　　 、　　　　等,无需证明,直接得到;第三类是间接条件,可以根据相关知识将其转化为直接条件.
公共边
公共角
对顶角
【方法总结】
探究与应用
【理解应用】运用“边角边”(SAS)证明三角形全等
例2 (教材典题)如图,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
求证:△ABD≌△ACE.
探究与应用
【理解应用】运用“边角边”(SAS)证明三角形全等
证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE(等式的性质),
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
探究 我们知道,两边及夹角分别相等的两个三角形全等.那么,两边及其中一边所对角分别相等的两个三角形全等吗
探究与应用
解:不一定全等.
例:如图,在△ABC和△ABD中,
AB=AB,∠B=∠B,AC=AD,
显然△ABC和△ABD不全等.
【理解应用】运用“边角边”(SAS)证明三角形全等
边角边
基本事实
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”)
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
课堂小结与检测
【小结】
1.如图,已知AB=CB,要使△ABD≌△CBD,利用“SAS”证明, 还需要添加一个条件,你添加的条件是　　　 　　.
∠ABD=∠CBD
【检测】
课堂小结与检测
2.如图,点B,E,C,F在同一条直线上,在△ABC和△DEF中,如果AB=DE,BC=EF,只要找出∠　　 　　=∠　　　 　或
　　　　∥　　　　,就可利用“SAS”证得△ABC≌△DEF.
B
DEF
AB
DE
课堂小结与检测
【检测】
C
A
B
D
O
3.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：
(1)如图，在△AOB和△DOC中,
AO=DO(已知)
______=________( )
BO=CO( 已知 )
∴ △AOB≌△DOC（ ）
∠ AOB
∠ DOC
对顶角相等
SAS
课堂小结与检测
【检测】
(2)如图，在△AEC和△ADB中，
AE =AD (已知)
_____= ______( )
AC= AB (已知)
∴ △AEC≌△ADB（ ）
A
E
B
D
C
SAS
∠A
∠A
公共角
课堂小结与检测
【检测】
4.如图，点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.
证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴AF=DE.
课堂小结与检测
【检测】
1.3　全等三角形的判定
第2课时 “角边角”(ASA)
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
第1章 三角形
⒈已学过判定两个三角形全等的方法有：
SAS
2.全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
两边及其夹角分别 相等的两个三角形全等.
知识关联
四种可能
三个角
两边及一角
两角及一边
三条边
两边夹一角
两边及其中一边的对角
两角夹一边
两角及其中一角的对边
3．请猜想，构成全等还有哪些条件组合 ？
√
知识关联
1.如图,用纸板挡住两个三角形的一部分,你能画出这两个三角形吗 如果能,你画的三角形和其他同学画的三角形能完全重合吗
解:第一幅图不能,第二幅图能(如图),画出的三角形和其他同学画的三角形能完全重合.
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
探究与应用
【活动探究】
2.如图,给定△ABC,在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'C',使得∠B'=∠B,∠C'=∠C,B'C'=BC.这两个三角形全等吗
补全下面△A'B'C'的作法并回答上述问题.
探究与应用
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
作法 图形
1.作B'C'=　　　　; 2.在B'C'的同侧分别作∠MB'C'=　　　　, ∠NC'B'=　　　　,B'M,C'N相交于点A'. △A'B'C'即为所求.
BC
∠B
∠C
这两个三角形全等.
探究与应用
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
基本事实——“角边角”:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).
符号表示:如图,
在△ABC和△A'B'C'中,
如果
那么△ABC≌△A'B'C'.
【概括新知】
探究与应用
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
　【巩固新知】
(1)如图,在△ABC和△FED中,∠C=∠D,∠B=∠E,根据“ASA”判定△ABC≌△FED,则需要补充的一个条件是　　　　　;
BC=ED
探究与应用
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
(2)如图,已知∠1=∠2,直接根据“ASA”判定△ABD≌△ACD,则需要补充的一个条件为　　　　 　　;
∠BAD=∠CAD
探究与应用
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
(3)如图,点D,A,B在同一条直线上,∠CAD=∠EAB,AE=AC,
直接根据“ASA”判定△ABC≌△ADE,则需要添加的一个条件是
　　　　　　 .
∠C=∠E
探究与应用
【探究】探索基本事实——“角边角”(ASA)
例 (教材典题)如图,在△ABC中,D是BC的中点,点E,F分别在AB,AC上,且DE∥AC,DF∥AB.求证:△EBD≌△FDC.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠EDB=∠C,∠B=∠FDC(两直线平行,同位角相等).
∵D是BC的中点,∴BD=DC.
在△EBD和△FDC中,
∴△EBD≌△FDC(ASA).
探究与应用
【理解应用】运用“角边角”(ASA)证明三角形全等
练习 如图,AB,CD相交于点O,O是AB的中点,AC∥BD.
求证:△ACO≌△BDO.
证明:∵O是AB的中点,∴AO=BO.
∵AC∥BD,∴∠A=∠B.
在△ACO与△BDO中,
∴△ACO≌△BDO.
探究与应用
【理解应用】运用“角边角”(ASA)证明三角形全等
拓展 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠DAB=90°,DF⊥AC于点F,延长DF交AB于点E,AE=BC.求证:AC=DE.
证明:∵DF⊥AC,∴∠AFE=90°.
∴∠CAB+∠AED=90°.
∵∠B=90°,
∴∠CAB+∠ACB=90°.
∴∠ACB=∠DEA.
探究与应用
【理解应用】运用“角边角”(ASA)证明三角形全等
在△ABC 和△DAE 中,
∴△ABC≌△DAE(ASA).
∴AC=DE.
【理解应用】运用“角边角”(ASA)证明三角形全等
常见隐含的等角
(1)公共角相等;
(2)对顶角相等;
(3)等角加(减)等角,其和(差)仍相等;
(4)同角或等角的余(补)角相等;
(5)由角平分线的定义得出角相等;
(6)平行线中的同位角或内错角相等;
(7)在条件中出现多个垂直时,常通过“同角或等角的余角相等”来证明角相等.
探究与应用
【理解应用】运用“角边角”(ASA)证明三角形全等
【方法总结】
角边角
基本事实
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”)
注意
证明时，必须按“角-边-角”的顺序书写
课堂小结与检测
【小结】
1.如图,点D在AB上,点E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列哪个条件后,可直接用“ASA”判定△ABE≌△ACD的是 (　　)
A.AD=AE
B.∠AEB=∠ADC
C.BE=CD
D.AB=AC
D
课堂小结与检测
【检测】
2.如图,在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要运用“ASA”直接判定△ABC≌△DEF,还需补充的条件是　 　　　.
∠A=∠D
课堂小结与检测
【检测】
3.如图,已知∠B=∠E,AB=DE,要证明△ABC≌△DEC,
(1)若以“SAS”为依据,应添加条件:　　　　　　　;
(2)若以“ASA”为依据,应添加条件:　　　　　　　.
BC=EC
∠A=∠D
课堂小结与检测
【检测】
4.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE .
证明 ：在△ADC和△AEB中,
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知）
∠C=∠B（已知）
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵AB=AC（已知）
∴AB-AD=AC-AE（等式的性质）
∴BD=CE
D
B
E
A
O
C
课堂小结与检测
【检测】
5.如图,∠A＝∠B，∠1＝∠2，EA＝EB，你能证明AC＝BD吗
证明:∵ ∠1＝∠2 ，
∴ ∠1＋∠BEC＝∠2＋∠BEC，（等式的性质）
∴ ∠AEC＝∠BED，
在△EAC和△EBD中，
∠A＝∠B ，
EA＝EB，
∠AEC＝∠BED，
∴△EAC≌△EBD（ASA），
∴AC＝BD．（全等三角形对应边相等）
课堂小结与检测
【检测】
课堂小结
例题讲解
知识回顾
获取新知
随堂演练
第1章 三角形
1.3　全等三角形的判定
第3课时 “角角边”(AAS)
知识回顾
判断两个三角形全等，你已有哪些方法？
基本事实1：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
简写成“边角边”或“SAS”
基本事实2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简写成“角边角”或“ASA”.
获取新知
如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠C=∠C',AB=A'B',那么△ABC≌△A'B'C'吗 为什么？
B
A
C
A'
B'
C'
由三角形内角和定理可知∠C=∠P
根据“ASA”可以证明△ABC≌△MNP
证明:由∠A=∠A',∠C=∠C',得∠B=∠B'(三角形内角和定理).
在△ABC和△A'B'C'中,

∴△ABC≌△A'B'C'(　 　).
∠A'
A'B'
∠B'
ASA
基本事实ASA的推论：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(简写成“角角边”或“AAS”)
归纳总结
符号表示:如图,在△ABC和△A'B'C'中,
如果
那么△ABC≌△A'B'C'.
例1. 已知，如图， ∠A＝∠D， ∠ACB＝∠DBC， 求证：AB=DC.
A
D
B
C
证明：在△ABC和△DCB中,
∠A＝∠D（已知）
∠ACB＝∠DBC （已知）
BC=CB（公共边）
∴ △ABC≌△DCB（AAS）
∴ AB=DC（全等三角形对应边相等）
例题讲解
例2.如图∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，
根据“SAS”,应补充条件__________，才能使△ABC≌△DEF．
根据“ASA”,应补充条件__________，才能使△ABC≌△DEF．
根据“AAS”,应补充条件__________，才能使△ABC≌△DEF．
　∠A＝∠D
∠B＝∠E
A
B
C
F
E
D
AC＝DF
A
B
D
C
A
B
D
C
例3. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、 A′D′分别
是△ABC和△A′B′C′的高．求证：AD＝A′D′ ．
证明：∵△ABC≌△A′B′C′ ，
∴AB= A′B′ ，∠B=∠ B′.
∵ AD、 A′D′分别是△ABC和
△A′B′C′的高，
∴∠ADB=∠ A′D′B′ =90°.
在△ABD和△A′B′D′中，
∠B=∠ B′
∠ADB=∠ A′D′B′
AB= A′B′
∴ △ABD ≌ △A′B′D′ （AAS）.
∴AD＝A′D′．
改编1：已知：如图，△ABC≌△A B C ，AD和A D 分别是△ABC和△A B C 中∠A和∠A 的角平分线．
求证：AD＝A D ．
A
B
D
C
A
B
D
C
改编2：已知：如图，△ABC≌△A B C ，AD和A D 分别是△ABC和△A B C 的BC和B C 边上的中线．
求证：AD＝A D ．
A
B
D
C
A
B
D
C
1.已知AB=AD,若直接依据“AAS”判定△ABC≌△ADE,需要添加条件:　　　　　　　　　.
∠ACB=∠AED
随堂演练
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件中的一个:
①∠A=∠D,②AC=DB,③AB=DC,
其中不能判定△ABC≌△DCB的是 (只填序号).
②　
A
C
D
B
1
2
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
3.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求证：AB=AD.
4.如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．
证明：∵AC平分∠BAE（已知）
∴∠CAB=∠EAD（角平分线的性质）
在△CAB和△EAD中
∠C＝∠E（已知）
∠CAB=∠EAD （已证）
AB＝AD（已知）
∴ △CAB≌△EAD（AAS）
∴ BC＝DE（全等三角形对应边相等）
角角边
内容
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
（简写成“角角边”或“AAS”)
课堂小结
第1章 三角形
1.3　全等三角形的判定
第 4 课时“边边边”(SSS)
课堂小结
例题讲解
情景导入
获取新知
随堂演练
活动1：每人用一根吸管围成一个三角形，要求小组内的同学围成的三角形全等.
情景导入
活动2：如图，给定△ABC,在透明纸上用直尺和圆规作△A'B'C',使得A'B'=AB,B'C'=BC,A'C'=AC.这两个三角形全等吗
补全下面△A'B'C'的作法并回答上述问题.
作法 图形
1.作线段B'C'=　　　　; 2.作线段A'B'=　　　　,A'C'=　　　　,线段A'B',A'C'相交于点A'. △A'B'C'即为所求.
BC
AB
AC
这两个三角形全等.
基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．
（ 简写成“边边边”或“SSS”）
获取新知
符号表示:如图,在△ABC和△A'B'C'中,如果
那么△ABC≌△A'B'C'.
例1.下列图形中，哪两个三角形全等？
①
②
③
④
⑤
⑥
全等的三角形有：①与⑥ 、②与④
例题讲解
例2.(教材典题)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是中线.求证:△ABD≌△ACD.
证明:∵AD是中线,∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
例3 (教材典题)已知:如图,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:△ABC≌△DEF.
证明:∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
活动3：每个人再用另外两根吸管分别围成一个四边形，一个五边形，分别拉动三角形、四边形、五边形的一个角，它们的形状发生变化吗？
获取新知
三角形的这种性质叫做：三角形的稳定性
四边形等不具备稳定性！
你还能举出三角形稳定性应用的例子来吗？
如：
空调架
工地塔吊
三角形的稳定性在生活和生产中有广泛中应用
木质活动挂架
伸缩门
思考：我们已经知道四边形具有不稳定性，你能说出生活中运用到四边形这一特性的例子吗？
思考：有什么办法让四边形也具有稳定性呢？
A
C
B
D
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
AB＝AC（已知），
BD＝CD（辅助线作法），
AD＝AD（公共边），
证明：作△ABC 的中线AD．
∴ ∠B＝∠C （全等三角形的对应角相等）．
例4： 已知：如图, 在△ABC 中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C．
例题讲解
思考：还有不同的方法证明吗？
例5：如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D .
证明：连结AB两点,
在△ABD和△BAC中，
AD=BC，
BD=AC，
AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)
∴∠D=∠C.
1.如图，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（ ）
A.△ABD≌△ACD
B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE
D.以上都对
C
随堂演练
2.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，
要使△ABF≌△ECD ，还需要条件 (填一个条件即可）.
A
E
=
=
×
×
B
D
F
C
BF=CD
三角形的稳定性　　　
3.在建筑工地上我们常可以看见如图所示的用木条EF固定长方形门框ABCD的情形.这种做法的依据是 　 .
4.如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，请你在图中再画一个顶点都在格点上的△ABC，且使△ABC≌△DEF．
D
E
F
A
B
C
D
E
F
（A）
B
（C）
D
E
F
A
B
C
边边边
内容
三边分别相等的两个三角形全等（简写成 “边边边”或“SSS”)
三角形的稳定性
三角形稳定性的应用
注意
1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.
2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.
课堂小结
四边形不稳定性的应用
第1章 三角形
1.3　全等三角形的判定
第 5课时 SAS、ASA、AAS、SSS的综合运用
课堂小结
例题讲解
探索活动
随堂演练
知识回顾
三角形全等判定方法1
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) .
F
E
D
C
B
A
AC＝DF，
∠C＝∠F，
BC＝EF，
知识回顾
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
F
E
D
C
B
A
三角形全等判定方法2
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
∠A＝∠D，
AB＝DE，
∠B＝∠E，
用符号语言表达为：
三角形全等判定方法3
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∠A＝∠D，
∠B＝∠E，
AC＝DF，
A
C
B
F
D
E
在△ABC和△A'B'C'中,
∴△ABC≌△A'B'C'.
三角形全等判定方法4
三边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“边边边”“角角边”或“SSS”）
用符号语言表达为：
如图要使△ABD≌△ACD,
(1)根据“SAS”需添加的两个条件是
　　　　　　　　 ;
(2)根据“ASA”需添加的两个条件是
　 　;
AB=AC,∠BAD=∠CAD(也可以是BD=CD,∠BDA=∠CDA)
∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA
(3)根据“AAS”需添加的两个条件是
　　　　　　　　 ;
(4)根据“SSS”需添加的两个条件是　　　　　　　　.
∠BAD=∠CAD,∠B=∠C(也可以是∠BDA=∠CDA,∠B=∠C)
AB=AC,BD=CD
例1(教材典题)如图,点E在BD上,AB=BC,AE=CE.
求证:AD=CD.
证明:在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SSS).
∴∠ABE=∠CBE.
探索活动
在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴AD=CD.
练习1 如图,AB,CD相交于点O,AD=CB,AB=CD,连接DB.
求证:OD=OB.
证明:在△ABD与△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠A=∠C.
在△AOD与△COB中,
∴△AOD≌△COB(AAS).
∴OD=OB.
练习2 如图,AD,BF相交于点O,点E,C在BF上,BE=FC,AB∥
DF,AC∥DE.求证:AO=DO,CO=EO.
证明:∵AB∥DF,AC∥DE,
∴∠B=∠F,∠ACO=∠DEO.
∵BE=FC,
∴BE+EC=FC+EC,
即BC=FE.
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(ASA).
∴AC=DE.
在△ACO和△DEO中,
∴△ACO≌△DEO(AAS).
∴AO=DO,CO=EO.
例2 (教材典题)如图,AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B,D.点C在BD上,AB=CD,BC=DE,求证:AC与CE垂直且相等.
证明:∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(SAS).
∴∠A=∠ECD,AC=CE.
∵∠B=90°,
∴∠A+∠ACB=90°.
∴∠ECD+∠ACB=90°.
∴∠ACE=90°.
∴AC与CE垂直且相等.
变式1如图，点A、E、B在直线MN上，DA⊥MN，BC⊥MN，∠DEC=90°，DE ＝ CE .你有什么发现？
证明：∵ DA⊥MN，BC⊥MN，
∴ ∠D+∠AED=90°，∠C+∠CEB=90°.
∵ ∠DEC=90°(已知),
∴ ∠AED+∠CEB=90°，∴ ∠AED=∠C.
在△DAE和△EBC中，
∠DAE＝∠EBC=90°，
∠AED=∠C ，
DE＝EC ，
∴△DAE ≌△EBC(AAS) ．
∴AE＝BC, AD＝BE（全等三角形对应边相等）.
变式2 如图，点A，E，B在直线MN上，DA⊥MN，BC⊥MN，∠DEC=90°，DE ＝ CE .你有什么发现？
练习1 如图,点C,F在线段BE上,∠A=∠D,AB∥DE,BF=EC.判断AC和DF的关系,并说明理由.
解:AC=DF,AC∥DF.理由如下:
∵AB∥DE,∴∠B=∠E.
∵BF=EC,∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴AC=DF,∠ACB=∠DFE,
∴AC∥DF.
练习2 如图，已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是线段AB上一点,过点A作AE⊥CP交CP的延长线于点E,过点B作BF⊥CP于点F.则线段AE,BF,EF有怎样的数量关系 请说明理由.
解:BF=EF+AE.理由如下:
∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCF=90°.
∵AE⊥CE,BF⊥CE,∴∠E=∠BFC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∴∠CAE=∠BCF.
在△ACE和△CBF中,
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,CE=BF,
∴CE=EF+CF=EF+AE,
∴BF=EF+AE.
1.如图,已知点F,A,D,C在同一条直线上,DC=AF,BC=EF,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是 (　　)
A.AB=DE
B.∠C=∠F
C.∠B=∠E
D.BC∥EF
C
随堂演练
2.如图,∠1=∠2,AB=AB',要证明△ABC≌△AB'C',必须再添加一个条件,这个条件可以是①∠B=∠B',②∠C=∠C',③AC=AC',④BC=BC'中的 (　　)
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
C
随堂演练
3.已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
D
4．已知：如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别
过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F. 求证：EF＋AE＝CF.
证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD,
∴ ∠E=∠CFB=90°，∠BCF+∠CBF=90°.
∵ ∠ABC=90°
∴ ∠ABE+∠CBF=90°，∴ ∠ABE=∠BCF.
在△ABE和△BCF中，
∠E＝∠CFB=90°
∠ABE=∠BCF，
AB＝CB ，
∴△ABE ≌△BCF(AAS) ．
∴AE＝BF, BE＝CF（全等三角形对应边相等）.
∵ EF＋BF＝BE, ∴EF＋AE＝CF.
谈谈这一节课你有哪些收获？
1.复习了判定两个三角形全等的 4种方法 ：
“SAS”,“ASA”,“AAS”，“SSS”
2.“ASA”与“AAS”的区别：
“边”是“其中一组等角的对边”.
在“ASA”中，
“边”必须是“两角的夹边”；
在“AAS”中，
3.要根据题意选择适当的方法，证明线段或角相等，
就是证明它们所在的两个三角形全等.
课堂小结
第1章 全等三角形
1.3　全等三角形的判定
第 6 课时 直角三角形全等的判定(HL)
课堂小结
例题讲解
复习导入
获取新知
随堂演练
四种可能
三个角
两边及一角
两角及一边
三条边
两边夹一角
两边及其中一边的对角
两角夹一边
两角及其中一角的对边
复习导入
1.判定两个三角形全等的方法有哪些？
ASA （夹边）
AAS （对边）
SSS
SAS（夹角）
SSA（不成立）
AAA（不成立）
A
B
C
D
E
F
∟
∟
2.如图,在Rt△ABC与Rt△DEF 中,∠B＝∠E＝90°,
(1)若 ∠A＝∠D，AB＝DE，
则△ABC≌△DEF ( )
(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，
则△ABC≌△DEF ( )
(3)若AB＝DE,BC＝EF,则△ABC≌△DEF ( )
上面的每一小题,都只添加了两个条件,就使两个直角三角形全等,你还能添加哪两个不同的条件使这两个直角三角形全等
ASA
获取新知
AAS
SAS
如图,给定直角三角形ABC,简记为“Rt△ABC”.用直尺和圆规作Rt△A'B'C',使得∠C'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC.这两个三角形全等吗
获取新知
补全下面Rt△A'B'C'的作法及两个三角形全等的说理过程:
作法 图　形
1.作∠PC'Q=　　　　°. 2.在射线C'P上截取A'C'=　　　　. 3.作A'B'=　　　　,交射线C'Q于点　　　　. Rt△A'B'C'即为所求.
90
AC
AB
B'
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
如图,将△ABC和△A'B'C'分别沿　　　　和　　　　翻折,得到△ABP和△A'B'Q.通过“　　　　”,可证△ABP≌△A'B'Q,由此可知∠A=∠　　　　.通过“　　　　”,可证Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
BC
B'C'
SSS
A'
SAS
斜边、直角边定理：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
（简写为“HL”）
A
C
B
B'
A'
C'
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′ =90°，如果
那么Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
归纳总结
练习 下列各题要用“斜边、直角边(HL)”直接证明两个直角三角形全等.
(1)如图①,已知:∠ACB=∠CBD=90°,则还需补
充的条件是　　　 　;
(2)如图②,已知:∠B=∠D=90°,则还需补充的条件是
　　 　　;
AB=CD
BC=DC(或AB=AD)
例题讲解
例1. 已知：如图,AD、BC相交于点O，AD=BC,∠C=∠D=90°.
求证：AO=BO，CO=DO.
证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C=∠D=90°，
BC=AD,
AB=BA,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴AC=BD.
在△AOC和△BOD中,
∠C=∠D，
∠AOC=∠BOD，
AC=BD，
∴△AOC≌△BOD(AAS).
∴AO=BO,CO=DO.
A
F
C
E
D
B
例2. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴ BF=DE.
1.如图,已知AC⊥BD,垂足为O,AO=CO,AB=CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是(　　)
A.HL B.SAS C.ASA D.AAS
A
随堂演练
2.如图，∠C ＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，使△ABC≌△ABD，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据．
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
∟
∟
A
B
C
D
∠BAC=∠BAD
AAS
∠ABC=∠ABD
AAS
AC=AD
HL
BC=BD
HL
3.已知：如图，AD=BC，AB⊥AC,CD⊥AC,
求证：△ABC≌△CDA.
证明: ∵ AB⊥AC,CD⊥AC, ∴∠BAC=∠DAC=90 °.
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
AC=CA,
BC=DA.
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
斜边直角边
内 容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
课堂小结