2.3 实数 课件（共57张PPT）2025-2026学年数学苏科版八年级上册

(共57张PPT)
第2章 实数的初步认识
2.3 实数
第2章 实数的初步认识
2.3 第1课时 无理数及其大小比较
课堂小结
例题讲解
随堂演练
获取新知
活动 1 领悟无理数的概念
问题情境
我们知道,所有的分数可以写成有限小数或者循环小数的形式.例如:=2.5,=0.625,-=-0.,=0.1,=0.85 71.
是不是所有的数都可以写成有限小数或者循环小数呢
事实上,有很多的数都　　　　用有限小数或者循环小数的形式表示,例如圆周率π.π就是一个无限　　　　小数.
不能
不循环
获取新知
无理数的有关概念:无限不循环小数叫作无理数.
因为分数都可以转化为有限小数或循环小数,所以无理数不能写成分数形式(m,n是整数).
像有理数一样,无理数分为正无理数和负无理数.
判断一个数是不是无理数:一是看它是不是无限小数;二是看它是不是不循环小数.只有满足“无限”和“不循环”这两个条件的小数,才是无理数.
知识要点
例1. 给出下列数:,-,,,,0.,
-0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0),其中是无理数的有 (　　)
A.2个 　　　　 B.3个 　　　
C.4个 　　 D.5个
B
练习 (1)在实数,,3.14159,中,是无理数的是　　　　.
(2)在实数0,,,π,中,是正无理数的是　　　　.
(3)在实数-4,,,-,-,,0.2020020002…(每相邻两个2之间依次多一个0)中,是负无理数的是　　　　.
,π
-,-
无理数的三种主要形式
我们目前所学范围内无理数的三种类型:
①含有根号且被开方数不能被开尽的数,如,等;
②化简后含π的数,如π,等;
③特定结构的无限不循环小数,如-0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0).
归纳总结
如何估计的范围呢
根据章头的问题,可以判断1<<2.由()2=2,进一步可以得到:
因为1.42=1.96,1.52=2.25,
所以1.42<2<1.52.
所以　　　　<<　　　　.
活动 2 比较无理数的大小
问题探究
1.4
1.5
因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以1.412<2<1.422.
所以　　　　<<　　　　.
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以 1.4142<2<1.4152.
所以　　　　<<　　　　.
……
如此下去,我们可以越来越精确地得到的范围.
1.41
1.42
1.414
1.415
例2 (教材典题)判断下面哪个无理数大于4,并且小于5:
,,.
解:这三个数中,大于4且小于5.理由如下:
因为()2=15,
而15<16,所以,
即<4;
因为()2=17,
而16<17<25,
所以,
即4<<5;
因为()2=26,
而26>25,所以,
即>5.
练习1 比较大小:(填“>”“<”或“=”)
(1)　　　 ; (2)　　　　5;
(3)-　　　　-; (4)-　　　　-4.
<
>
<
>
练习2 判断下面哪个无理数大于3,并且小于4:
,,.
解:这三个数中,大于3且小于4.理由如下:
因为()2=7,而7<9,
所以,即<3;
因为()2=10,而9<10<16,
所以,
即3<<4.
因为()2=19,
而19>16,所以,
即>4.
练习3 已知实数2,0,-,-0.4,其中,最小的数是哪个 为什么
解:最小的数是-.
理由如下:四个数中,负数一定小于0和正数,因此只需比较两个负数-和-0.4的大小.
负数-和-0.4中,因为1<,即1<<2,
所以-2<-<-1,所以-<-0.4,
所以最小的数是-.
无理数比较大小的方法
(1)通过比较两个数的平方,进而确定原来两数的大小关系;
(2)用估算的方法求无理数的近似值后再比较两数的大小;
(3)利用计算器计算出它们的近似值,然后再比较大小.
归纳总结
探究 π-3,+1是否为无理数 为什么
解:π-3,+1为无理数.理由如下:
因为π是无理数,即无限不循环小数,它与3的差仍是无限不循环小数,所以π-3是无理数.
因为是无理数,即无限不循环小数,它与1的和仍是无限不循环小数,所以+1是无理数.
1.下列各数中的无理数是 (　　)
A. B.π C.0 D.
B
随堂演练
2.无理数的大小在 (　　)
A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
B
3.下列各数比3小的是 (　　)
A. B. C. D.
D
4.比较大小:(填“>”“<”或“=”)
(1)5　　 ; (2)-　　-.
>
<
5.已知下列7个实数:0,π,-,,-1.1,,.
(1)将它们分成有理数和无理数两组;
解:(1)有理数:0,,-1.1,;
无理数:π,-,
(2)将其中的无理数按从小到大的顺序排列,用“<”连接.
(2)-<π<.
| 总结 |
课堂小结
第2章 实数的初步认识
2.3 第2课时 实数的分类及与数轴的关系
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
活动 1 领悟实数的定义与分类
概括新知
有理数和无理数统称为实数.实数可以分类如下:
分类方法1,实数分为:正实数、　　　　、　　　　.
分类方法2,实数分为:有理数和　　　　.
有理数包括:整数、有限小数或　 　　　　　.
无理数是:　　　　　　小数.
0
负实数
无理数
无限循环小数
无限不循环
获取新知
例1 下列说法正确的是 (　　)
A.实数包括有理数、无理数和0
B.有理数就是有限小数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论有理数还是无理数都是实数
D
练习1 下列说法正确的是 (　　)
A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数　　　 D.带根号的数都是无理数
B
练习2 把下列各数填入相应的括号内:
4,-,0.,,,,,
-,0.01001000100001…(每相邻两个1之间依次多一个0).
(1)有理数:{　　　　　　　　　　　　　　　　　　};
(2)无理数:
{　　　　　　　　　　　　　　　　 　 };
4,0.,,,-
-,,,0.01001000100001…(每相邻两个1之间依次多一个0)
4,-,0.,,,,,-,0.01001000100001…(每相邻两个1之间依次多一个0).
(3)正实数:{　　　　　　　　　　　　　　　　　　
};
(4)负实数:{　　　　　　　　　　　　　　　　　　}.
4,0.,,,,0.01001000100001…(每相邻两个
1之间依次多一个0)
-,,-
如何在数轴上找到表示的点
如图2-3-1,以1个单位长度为边长画一个正方形,这个正方形的对角线长为　　　　.以　　　 　为圆心,正方形的对角线的长为半径画弧,与数轴正半轴的交点就表示
　　　　.可见,数轴上并不是所有点
都表示　　　　数.
活动 2 探究实数与数轴的关系
问题探究
图2-3-1
数轴原点
有理
实数与数轴的关系:实数与数轴上的点一一对应.
概括新知
找出下列各数中的无理数,并把它们填入图2-3-2的方框中.
,-,,,-,π+3.
尝试活动
图2-3-2
解:无理数为,-,π+3.和π+3都是正数.
由1<,知1<<2;π+3>6.
所以方框中从左到右依次填-,,π+3.
例2 找一个有理数a,使解:符合条件的有理数有无穷多个.
∵2<1.52<3,∴<1.5<.
∴取a=1.5.
探究 你能找到一个无理数a,使解:符合条件的无理数有无穷多个.
∵2<<3,∴.
∴取a=.
1.和数轴上的点一一对应的是 (　　)
A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
D
随堂演练
2.在实数,,中,分数的个数是 (　　)
A.3 B.2 C.1 D.0
C　
3.如图20-1,点A,B在数轴上表示的实数分别为-和4.1,则A,B两点之间表示整数的点共有　　 个.
6
图20-1
4.把下列各数填入相应的大括号里.
,,-,0,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),1.414,-0.020202…,-.
无理数:{　　　　　　　　　　　　 　　　　　　};
负有理数:{　　　　　　　};
整数:{　　 }.
,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),-
-,-0.020202…
,0
5.在数轴上标出表示下列各数的点(若是无理数,则标出大概位置),并把它们按从小到大的顺序排列,用“<”连接.
2,,0,-,-2,π.
从小到大排列为-2<-<0<2<<π.
解:如图.
课堂小结
| 反思 |
如何看待实数与数轴上点的一一对应的关系
解:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都能表示一个实数.
第2章 实数的初步认识
2.3 第 3 课时 用计算器进行实数运算
课堂小结
例题讲解
获取新知
随堂演练
活动 1 领悟实数范围内的运算法则
领悟新知
在实数范围内,不仅可以进行加、减、乘、除、　　　　运算,而且可以进行开立方运算,任何非负实数还可以进行　　　　运算.有理数的绝对值、倒数、　　　　的意义、有理数的运算法则在实数范围内　　　　　　.
乘方
开平方
相反数
仍然适用
获取新知
例1 计算:
(1)-6+||+( )-1; (2)2-1+|-1|-(-π)0;
解:(1)原式=-6+3+2=-1.
(2)原式=+1-1=.
(3)(-2)2-+(-1)0+( )-1; 　
(3)原式=4-3+1+3=5.
(4)(-2)2++|-2|-.
(4)原式=4+(-2)+(2-)-4
=4-2+2--4
=-.
例2 用计算器比较与的大小.
活动 2 领悟用计算器进行实数运算的一般方法
解:依次按以下各键:
计算器显示的结果为2.080083823.
依次按以下各键:
计算器显示的结果为2.080024038.
因为2.080083823>2.080024038,
所以.
例3 用计算器计算:(1)--π;　　　
解:(1)依次按以下各键:
计算器显示的结果为-5.377660631,
即--π≈-5.377660631.
(2)3×.
(2)依次按以下各键:
计算器显示的结果为2.982719637,
即3×≈2.982719637.
1.某同学在用计算器计算6的算术平方根时,下列四个键中,需要用到的键是 (　　)
A
图21-1
随堂演练
2.-的绝对值是 (　　)
A.-4 B.4 C.-2 D.2
D
3.2-的相反数是 (　　)
A.2+ B.-2+ C.2- D.-2-
B
4.1-的相反数是　　　,的绝对值是　　,
的倒数是　　.
-1
3
-
5.计算:+|1-|.
解:+|1-|
=3-2-(1-)
=.
6.计算:(3.14-π)0+|-1|+-1-.
解:原式=1+-1+2-=2.
课堂小结
| 反思 |
对于带根号及含π的无理数,如何比较它们的大小呢
解:用计算器计算结果,再比较大小.