3.1 勾股定理的探究 课件（共31张PPT）2025-2026学年数学苏科版八年级上册

(共31张PPT)
第3章 勾股定理
3.1 勾股定理的探究
第3章 勾股定理
3.1 第1课时 勾股定理
随堂演练
归纳总结
情境引入
例题讲解
新知探索
课堂小结
情境引入
蒹葭苍苍，白露为霜，
所谓伊人，在水一方.
-----引自《诗经·秦风·蒹葭》
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.
引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？
-----引自《九章算术》
探索一：
A
B
C
三个正方形A、B、C的面积有什么关系？（小正方形的边长为单位1）
由三个正方形A、B、C的边长构成的等腰直角三角形的三边之间有怎样的特殊关系？
图1
SC=SA+SB
新知探索
探索二：1、在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边的正方形A、B、C是否也有类似的面积关系？
正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎么样的特殊关系？
图2
图3
“补”
“割”
面积求法：
Sc=S正方形MNPQ-4SΔNEF
M
N
E
Q
P
F
Sc=4SΔMEF+1
M
N
E
Q
P
F
Q
P
探索三：对于网格中的任意格点直角三角形，上述结论是否仍然成立？请大家自己作图探究。
可以猜想：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形这一特殊的三边关系,我国古代称之为勾股定理 .据 《周髀算经》记载:西周时期的商高(约前1100)在与周公(约 前1100)的对话中,就提出了 “勾三股四弦五”.勾股定理的证明从古至今已有数百种方法 .公元3世纪初,我国数学家赵爽(3世纪前期)用剪拼图形的方法完成了证明.
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
符号语言:
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°
∴ a2+b2=c2 .
归纳总结
即直角三角形的两条直角边a，b与斜边c之间满足：a2+b2=c2
例1：如图,已知直角三角形的两边长，求第三边长.
例题讲解
5
12
c
5
2
b
解：（1）根据勾股定理，得
122+52=c2
即c2=169.所以c==13.
解：（2）根据勾股定理，得
22+b2=52
即b2=21.所以b=.
例2：在数轴上画出对应的点.
例题讲解
-1
0
1
2
3
4
解：①画一个直角边分别为2和1的直角三角形；
由勾股定理知，斜边为
②以原点为圆心，斜边长为半径画弧；
P
与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点.
例3：如图,求图形中未知边长x的平方.
例4： 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c
(1)若c=15,b=12,求a的长;
(2)若a=5, b=12,求c的长.
解:(1)∵a2+b2=c2,∴a2=c2-b2=152-122=81.∴a=9.
(2)∵a2+b2=c2,∴c2=a2+b2=52+122=169.∴c=13.
1、求下列图中未知数x、y的值：
随堂演练
y=25
x=225
2、如图,根据图中的标注求各直角三角形中的未知边长x, z的值.
x=　　　　,z=　　　　.
12
15
3、求直角三角形中边AD的长。
AD=13
4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7 cm ，正方形 A的面积为9 cm2 ，则正方形 B，C ，D 面积之和为 cm2 .
本图是由基本图形
迭代生成的勾股树
40
美丽的勾股树
课堂小结
勾股定理
内容
在直角三角形中,两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
注意
必须是在直角三角形中
看清哪个角是直角
第3章 勾股定理
3.1 第2课时 勾股定理的验证
随堂演练
问题探究
知识回顾
情景引入
例题讲解
课堂小结
1、勾股定理的内容是什么？
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方
c
b
a
A
B
C
2、勾股定理的几何描述是什么？
在Rt△ABC中，
∵ ∠C = 90°
∴ a2 + b2 = c2
知识回顾
情境引入
两千多年来，勾股定理的证明一直令人着迷.公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理.
你知道它是怎么验证勾股定理吗？　
把这4张三角形纸片拼成一个边长为c的正方形，它的面积为c2,你能用图3验证勾股定理吗？
如图，大正方形的边长为c，则S大正方形 ＝ c2，
即 S大正方形 ＝ 4S三角形 ＋ S小正方形，
证明：
a
b
c
b-a
图 3
问题探究
因为大正方形是由4个直角三角形和一个边长为（b-a）的小正方形组成的，所以，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与小正方形面积之和.
（1）制作4张如图1所示的直角三角形纸片
（2）用这4张纸片拼成如图2所示的图形.试用两种不同的方法计算图2的面积.你能用这个图形证明勾股定理吗？
a
b
c
∟
图1
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
图2
问题探究
尝试1
则 a2 + b2 = c2 .
S小正方形 = c2,
S小正方形 =S大正方形 -4S直角三角形
= （a+b）2-4 × ab= a2 + b2，
面积表示方法一:
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
面积表示方法二:
早在公元3世纪，我国数学家赵爽曾用上图验证了勾股定理，这个图形被称为“弦图”
2002年数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了“弦图”作为会标的中心图案，如图4所示。
图 4
把一个直立的火柴盒放倒，你能用不同的方法计算梯形ABCD的面积，再次验证勾股定理吗？
A
B
C
D
E
a
b
c
①整体：
②局部：
尝试2
已知，图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请试利用这个图形验证勾股定理。
例1
解：∵S多边形ABEFG= S梯形ABDG+ S梯形DEFG
= ，
S多边形ABEFG= S正方形ACFG+ 2S三角形ABC
=c2+ab，
∴ a2 + b2 = c2.
A
B
E
D
C
G
F
1.下列图形中,不能用来证明勾股定理的是(注:图中所有三角形均为直角三角形) (　　)
D
随堂演练
2.如图，用2个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和1个腰长为c的等腰直角三角形拼接成如图所示的直角梯形，你能通过这个图形验证勾股定理吗？
a
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
课堂小结
知识点　验证勾股定理