中小学教育资源及组卷应用平台
2026北京中考数学专题
突破一 基础题型
题型一 计算题
类型1 实数的混合运算
1．[2025西城一模]计算：
.
解：原式.
2．[2025海淀一模]计算：
.
解：原式.
3．[2025顺义一模]计算：
.
解：原式.
4．[2025丰台一模]计算：
.
解：原式.
5．[2025房山一模]计算：
.
解：原式.
6．[2025燕山一模]计算：
.
解：原式.
7．[2025通州一模]计算：
.
解：原式.
8．[2025海淀二模]计算：
.
解：原式.
9．[2025顺义二模]计算：
.
解：原式.
10．[2025密云二模]计算：
.
解：原式.
11．[2025平谷二模]计算：
.
解：原式.
12．[2025石景山二模]计算：
.
解：原式.
类型2 解分式方程
13．[2025西城一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
14．[2025朝阳一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
15．[2025石景山一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
16．[2025房山一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
17．[2025大兴一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
18．[2025通州一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
19．[2025顺义一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
20．[2025门头沟一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
21．[2025顺义二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
22．[2025大兴二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
23．[2025丰台二模改编]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
24．[2025密云二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
25．[2025平谷二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
26．[2025东城二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
类型3 解不等式（组）
27．[2025西城一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
28．[2025丰台一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
29．[2025房山二模]求不等式组的所有负整数解.
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
不等式组的所有负整数解为，，.
30．[2025顺义二模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是.
31．[2025大兴二模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
32．[2025丰台二模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
33．[2025密云二模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
34．[2025石景山一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是.
35．[2025房山一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是.
36．[2025大兴一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是.
37．[2025通州一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
38．[2025顺义一模]解不等式组：
解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为.
类型4 代数式化简求值
39．[2025石景山一模]已知，求代数式的值.
解：，， 原式.
40．[2025大兴一模]已知，求代数式的值.
解：原式，，， 原式.
41．[2025顺义一模]已知，求代数式的值.
解：，.
42．[2025朝阳二模]已知，求代数式的值.
解：原式，
，，
原式.
43．[2025门头沟二模]已知，求代数式的值.
解：，.
.
题组训练1（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．下图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 圆柱
【答案】D
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为,则用科学记数法表示的反射面总面积约为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4．整数、在数轴上对应的点的位置如图，实数满足，如果，那么实数应满足 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．将一把直尺与一块含 角的三角尺按如图所示的方式放置，若 ,则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2个，红球6个，黑球4个，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1个球，则取出黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．如图，四边形内接于，为延长线上一点， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．如图，在中， ，，点为边上一动点（不与点，重合），垂直于交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下列结论中正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；
②若平分，则；
③若，则；
的最小值为.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式有意义，那么的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
10．分式方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．有一个反比例函数，它满足：①图象经过点；②在第一象限内随自变量的增大而减小，则这个函数的表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_ _ _ _ .
【答案】6
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若,,则的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】 四边形是矩形，
，，， ，,又，
，.
是边的中点，，
.
在中，由勾股定理得，.
14．一组数据4，5，6，7，8的方差为，另一组数据3，5，6，7，9的方差为，那么_ _ _ _ （填“ ”“”或“ ”）.
【答案】
15．如图，在中，，， ，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点,再分别以,为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，,作直线,分别交,于点,，则线段的长为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【解析】，， ，，
由作图知，垂直平分，，，，
，，
，
，，.
16．小明观看纸牌魔术表演后，对其非常感兴趣，于是做了如下探究：
将几张纸牌摞起来，从上至下分别记为第1张，第2张，第3张， ，先将第1张牌放到整摞牌的最下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的最下面，再去掉第4张牌， 如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止.
例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌.
将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第_ _ _ _ 张纸牌；将张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则_ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示，其中为自然数）.
【答案】1；
【解析】将8张纸牌从上到下编号为1，2,3,4,5,6,7,8,（将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮）前四轮去掉了编号为2,4,6,8的牌，还剩下4张纸牌，从上至下编号分别为1,3,5，7，再经过2轮去掉编号为3，7的牌，还剩2张纸牌，从上至下编号分别为1，5，再经过1轮,去掉编号为5的牌，最终留下的是原来的第1张纸牌;由条件中的“4张纸牌摞起来,按上述规则操作,……最后留下第1张纸牌”，可知将张纸牌摞起来,按上述规则操作,若最终留下的是第1张纸牌，则.
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．计算： .
解：原式.
18．解不等式组并求该不等式组的非负整数解.
解：
解不等式①，得,
解不等式②，得,
该不等式组的解集为.
该不等式组的非负整数解为0，1，2.
19．已知关于的一元二次方程
（1） 求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2） 若方程有一个根的平方等于4，求的值.
【答案】
（1） 证明：，
， 无论实数取何值，方程总有两个实数根.
（2） 解：由求根公式可得方程的两根为1,，
方程有一个根的平方等于4，
,解得或.
题组训练2（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
2．毫米是比较常用的长度单位,它相当于千分之一米;微米是比毫米小的长度单位,相当于百万分之一米;纳米是更小的长度单位,相当于十亿分之一米.十亿分之一用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．如图，已知数轴上的点，，，，分别表示数，0，1，2，3，则表示数的点应落在线段（ ）
A. 上 B. 上 C. 上 D. 上
【答案】B
4．若正多边形的一个内角是 ,则该正多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
【答案】B
5．如图，直线，，交于一点，直线，若 ， ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着0， ，，，，背面朝上放在不透明的桌子上，若随机抽取1张，则抽出的卡片上的数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是（ ）
A. B. 1 C. 0 D.
【答案】A
8．如图，在中，， ，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交，于点，，连接.有以下四个结论： ；；的周长等于；④点是线段的中点.其中正确的结论是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
【答案】C
【解析】根据作图可知是的垂直平分线，
， ，
， ，
，
，
，故①正确；
，，
，故②正确；
的周长等于，故③正确；
易知， 点不是线段的中点，故④错误.
正确的结论是①②③.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果二次根式有意义，那么的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
10．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．反比例函数的图象上有两个点，，则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
【答案】
12．分式方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子的长为10米，则大树的高为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 米.
【答案】
【解析】如图，过点作的垂线，交的延长线于点，
易知,
则,
在中，，
设米，则米，
米米，，
米， 米，
， ，
米，
米.
大树的高为米.
14．如图，是的直径，是弦，于点，若的半径是5，，则_ _ _ _ .
【答案】2
15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，若的面积为1，则的面积为_ _ _ _ .
【答案】9
16．在一次数学活动课上，老师将共十个整数依次写在十张背面完全相同的不透明卡片上（每张卡片上只写一个数字，每个数字只写在一张卡片上，且写有数字的一面朝下）.他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲11；乙4；丙15；丁8；戊17，则乙同学手里拿的卡片的数字分别是_ _ _ _ ，丙同学手里拿的卡片的数字分别是_ _ _ _ .
【答案】1和3； 5和10
【解析】由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，每人手里的数字不重复.
由甲11可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙4可知乙手中的数字只能是1和3；由丙15可知丙手中的数字可能是5和10，6和9，7和8；由丁8可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；由戊17可知戊手中的数字可能是7和10，8和 丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9.故答案为1和3；5和10.
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．.
解：原式.
18．解不等式，并写出它的所有正整数解.
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得.
故该不等式的正整数解有1，2，3，4.
19．先化简，再求值：，其中.
解：
.
，
，即.
原式.
题组训练3（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．米饭是我国居民最重要的主食之一，与此同时,我国早稻产量常年稳定在2 000万吨以上，将2 000万用科学记数法表示为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．在数轴上，如果实数，对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，那么下列结论中，正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4．若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】D
5．如图，直线，交于点，射线平分,若 ,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．在一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，如果这些球除颜色外没有任何区别，那么从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．某班开展“用直尺和圆规作角的平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识.某些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）.分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形即勒洛三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法中错误的是（ ）
图1 图2
A. 勒洛三角形是轴对称图形
B. 图1中，点到上任意一点的距离都相等
C. 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等
D. 图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等
【答案】C
【解析】观察图形可知勒洛三角形是轴对称图形，选项说法正确；由勒洛三角形的画法“分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧”，可知点到上任意一点的距离都相等，那么弧上的点到等边三角形的中心的距离就不一定相等，选项说法正确，选项说法错误；设圆的半径为，则圆周长为，等宽的勒洛三角形的周长为，周长相等，选项说法正确.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若代数式的值为0，则实数的值为_ _ _ _ .
【答案】1
10．因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．已知，为两个连续的整数，且，则_ _ _ _ .
【答案】7
12．在平面直角坐标系中，若直线与反比例函数的图象分别交于点和，则的值为_ _ _ _ _ _
【答案】
13．如图，是的直径，切于点，交于点，连接，若 ，则_ _ _ _ .
【答案】26
14．为了估计鱼塘中鱼的尾数,老张从鱼塘中捞起100尾鱼,在每尾鱼身上做好记号后,把这些鱼放归鱼塘,过一段时间,他再从鱼塘中随机打捞200尾鱼,发现其中10尾有记号,则鱼塘中鱼的总尾数大约为_ _ _ _ .
【答案】2 000
15．如图，在中，，分别为，的中点.若,则_ _ _ _ .
【答案】3
16．甲、乙、丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行.半天训练结束时，甲共当5局裁判，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_ _ _ _ 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_ _ _ _ .（填“甲”“乙”或“丙”）
【答案】9； 甲
【解析】 甲共当5局裁判，
乙、丙之间进行了5局比赛，
乙、丙分别进行了8局、6局比赛， 乙与甲进行了局比赛，丙与甲进行了局比赛，
甲、乙、丙三人共进行了局比赛.
甲共当5局裁判，而同一个人不可能连续两局当裁判，
最后一局比赛的裁判是甲.
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．计算：.
解：原式.
18．解不等式组
解：解不等式,得,
解不等式,得,
原不等式组的解集是.
19．已知关于的方程为实数，.
（1） 求证：此方程总有两个实数根；
（2） 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值.
【答案】
（1） 证明：，
关于的方程为一元二次方程.
依题意，得
无论取何实数，总有， 此方程总有两个实数根.
（2） 解：由求根公式，得此方程的两个实数根分别为1，.
方程的两个实数根都为正整数，
整数的值为或.
题组训练4（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列立体图形中，主视图是圆的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道.其中海底隧道由33节巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76 000吨.将数76 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．[2024四川自贡]关于的方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】A
5．如图，直线，，于点，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．某公司的班车在，，从某站发车，小李在7：50和8：30之间到达发车站乘坐班车，如果他到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
7．下面是一道尺规作图题.
如图，已知，求作：，使. 作法:（1）以点为圆心，任意长为半径画,分别交,于点,; （2）以点为圆心,的长为半径画弧,交于点; （3）作射线,即为所求作的角.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．如图，在等腰直角中，， ， ，点是中点，于点，交于点，交的延长线于点，给出下列结论：；；；；平分.上述结论中正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ②④⑤
【答案】C
【解析】 ，
，
， ，
，
，正确；
， ，
，
又，，
，正确；
，不正确；
，，
点是中点，
，，
又 ， ，
, ,
,不正确；
， ，
，
即平分,正确.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
10．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
11．用一组,,的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】1； 2； 0（答案不唯一）
12．已知一组数据，，， ，的方差是，那么另一组数据，，， ，的方差是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．如图，为的直径，弦.如果，，那么的长为_ _ _ _ .
【答案】3
14．如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则与的面积之和为_ _ _ _ .
【答案】1
【解析】由反比例函数比例系数的几何意义可知每一个阴影三角形的面积均为.故面积之和为1.
15．如图1，将矩形和正方形分别沿对角线和剪开，拼成如图2所示的平行四边形，中间空白部分四边形是正方形.如果正方形与正方形的面积分别是16和1，则矩形的面积为_ _ _ _ .
【答案】15
16．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词朗诵”大赛.小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，且，，均为正整数.选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军.三位选手在每轮比赛中的部分得分情况如表所示.
根据题中所给信息，_ _ _ _ ，小奕同学第三轮的得分为_ _ _ _ 分.
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小恩 27
小地 11
小奕 10
【答案】5； 2
【解析】由题意可得，，
若每轮比赛第一名得分为4，则最后得分最高为，
大于4，
又，，，均为正整数，
最小为3，，
，，.
结合题表中信息可知，小恩同学5轮第一，1轮第二；
小地同学1轮第一，1轮第二，4轮第三.又 题表中第二轮比赛结果为小地第一，小奕第三，
第二轮比赛中小恩第二，
第三轮比赛小恩第一，小地第三，小奕第二，
小奕第三轮的得分为2分.
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．计算：.
解：原式
.
18．解不等式组并写出它的所有非负整数解.
解：
解不等式①，得.
解不等式②，得.
原不等式组的解集为.
原不等式组的所有非负整数解为0，1.
19．解分式方程：.
解：去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，.
经检验，是原方程的解.
原方程的解是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026北京中考数学专题
突破一 基础题型
题型一 计算题
类型1 实数的混合运算
1．[2025西城一模]计算：
.
2．[2025海淀一模]计算：
.
3．[2025顺义一模]计算：
.
4．[2025丰台一模]计算：
.
5．[2025房山一模]计算：
.
6．[2025燕山一模]计算：
.
7．[2025通州一模]计算：
.
8．[2025海淀二模]计算：
.
9．[2025顺义二模]计算：
.
10．[2025密云二模]计算：
.
11．[2025平谷二模]计算：
.
12．[2025石景山二模]计算：
.
类型2 解分式方程
13．[2025西城一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
14．[2025朝阳一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
15．[2025石景山一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
16．[2025房山一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
17．[2025大兴一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
18．[2025通州一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
19．[2025顺义一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
20．[2025门头沟一模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
21．[2025顺义二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
22．[2025大兴二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
23．[2025丰台二模改编]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
24．[2025密云二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
25．[2025平谷二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
26．[2025东城二模]方程的解为_ _ _ _ _ _ .
类型3 解不等式（组）
27．[2025西城一模]解不等式组：
28．[2025丰台一模]解不等式组：
29．[2025房山二模]求不等式组的所有负整数解.
30．[2025顺义二模]解不等式组：
31．[2025大兴二模]解不等式组：
32．[2025丰台二模]解不等式组：
33．[2025密云二模]解不等式组：
34．[2025石景山一模]解不等式组：
35．[2025房山一模]解不等式组：
36．[2025大兴一模]解不等式组：
37．[2025通州一模]解不等式组：
38．[2025顺义一模]解不等式组：
类型4 代数式化简求值
39．[2025石景山一模]已知，求代数式的值.
40．[2025大兴一模]已知，求代数式的值.
41．[2025顺义一模]已知，求代数式的值.
42．[2025朝阳二模]已知，求代数式的值.
43．[2025门头沟二模]已知，求代数式的值.
题组训练1（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为,则用科学记数法表示的反射面总面积约为（ ）
A． B．
C． D．
4．整数、在数轴上对应的点的位置如图，实数满足，如果，那么实数应满足 （ ）
A． B． C． D．
5．将一把直尺与一块含 角的三角尺按如图所示的方式放置，若 ,则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2个，红球6个，黑球4个，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1个球，则取出黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，为延长线上一点， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中， ，，点为边上一动点（不与点，重合），垂直于交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下列结论中正确的个数是（ ）
①若是边上的中线，则；
②若平分，则；
③若，则；
的最小值为.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果分式有意义，那么的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
10．分式方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ .
11．有一个反比例函数，它满足：①图象经过点；②在第一象限内随自变量的增大而减小，则这个函数的表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_ _ _ _ .
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若,,则的长为_ _ _ _ _ _ .
14．一组数据4，5，6，7，8的方差为，另一组数据3，5，6，7，9的方差为，那么_ _ _ _ （填“ ”“”或“ ”）.
15．如图，在中，，， ，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点,再分别以,为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，,作直线,分别交,于点,，则线段的长为_ _ _ _ _ _ .
16．小明观看纸牌魔术表演后，对其非常感兴趣，于是做了如下探究：
将几张纸牌摞起来，从上至下分别记为第1张，第2张，第3张， ，先将第1张牌放到整摞牌的最下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的最下面，再去掉第4张牌， 如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止.
例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌.
将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第_ _ _ _ 张纸牌；将张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则_ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示，其中为自然数）.
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．计算： .
18．解不等式组并求该不等式组的非负整数解.
19．已知关于的一元二次方程
（1） 求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2） 若方程有一个根的平方等于4，求的值.
题组训练2（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．毫米是比较常用的长度单位,它相当于千分之一米;微米是比毫米小的长度单位,相当于百万分之一米;纳米是更小的长度单位,相当于十亿分之一米.十亿分之一用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知数轴上的点，，，，分别表示数，0，1，2，3，则表示数的点应落在线段（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
4．若正多边形的一个内角是 ,则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
5．如图，直线，，交于一点，直线，若 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着0， ，，，，背面朝上放在不透明的桌子上，若随机抽取1张，则抽出的卡片上的数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．
8．如图，在中，， ，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交，于点，，连接.有以下四个结论： ；；的周长等于；④点是线段的中点.其中正确的结论是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果二次根式有意义，那么的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
10．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
11．反比例函数的图象上有两个点，，则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
12．分式方程的解是_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．如图，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树，当太阳光与水平面的夹角为 时，大树在斜坡上的影子的长为10米，则大树的高为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 米.
14．如图，是的直径，是弦，于点，若的半径是5，，则_ _ _ _ .
15．如图，在正方形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长交于点，若的面积为1，则的面积为_ _ _ _ .
16．在一次数学活动课上，老师将共十个整数依次写在十张背面完全相同的不透明卡片上（每张卡片上只写一个数字，每个数字只写在一张卡片上，且写有数字的一面朝下）.他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲11；乙4；丙15；丁8；戊17，则乙同学手里拿的卡片的数字分别是_ _ _ _ ，丙同学手里拿的卡片的数字分别是_ _ _ _ .
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．.
18．解不等式，并写出它的所有正整数解.
19．先化简，再求值：，其中.
题组训练3（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．米饭是我国居民最重要的主食之一，与此同时,我国早稻产量常年稳定在2 000万吨以上，将2 000万用科学记数法表示为 （ ）
A． B． C． D．
3．在数轴上，如果实数，对应的点的位置如图所示，且这两个点关于原点对称，那么下列结论中，正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，直线，交于点，射线平分,若 ,则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，如果这些球除颜色外没有任何区别，那么从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 （ ）
A． B． C． D．
7．某班开展“用直尺和圆规作角的平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识.某些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）.分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形即勒洛三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法中错误的是（ ）
图1 图2
A．勒洛三角形是轴对称图形
B．图1中，点到上任意一点的距离都相等
C．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等
D．图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若代数式的值为0，则实数的值为_ _ _ _ .
10．因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
11．已知，为两个连续的整数，且，则_ _ _ _ .
12．在平面直角坐标系中，若直线与反比例函数的图象分别交于点和，则的值为_ _ _ _ _ _
13．如图，是的直径，切于点，交于点，连接，若 ，则_ _ _ _ .
14．为了估计鱼塘中鱼的尾数,老张从鱼塘中捞起100尾鱼,在每尾鱼身上做好记号后,把这些鱼放归鱼塘,过一段时间,他再从鱼塘中随机打捞200尾鱼,发现其中10尾有记号,则鱼塘中鱼的总尾数大约为_ _ _ _ .
15．如图，在中，，分别为，的中点.若,则_ _ _ _ .
16．甲、乙、丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行.半天训练结束时，甲共当5局裁判，乙、丙分别进行了8局、6局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了_ _ _ _ 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是_ _ _ _ .（填“甲”“乙”或“丙”）
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．计算：.
18．解不等式组
19．已知关于的方程为实数，.
（1） 求证：此方程总有两个实数根；
（2） 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值.
题组训练4（16道选填+3道基础解答题）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．下列立体图形中，主视图是圆的为（ ）
A． B．
C． D．
2．港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道.其中海底隧道由33节巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76 000吨.将数76 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024四川自贡]关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．如图，直线，，于点，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．某公司的班车在，，从某站发车，小李在7：50和8：30之间到达发车站乘坐班车，如果他到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下面是一道尺规作图题.
如图，已知，求作：，使. 作法:（1）以点为圆心，任意长为半径画,分别交,于点,; （2）以点为圆心,的长为半径画弧,交于点; （3）作射线,即为所求作的角.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等腰直角中，， ， ，点是中点，于点，交于点，交的延长线于点，给出下列结论：；；；；平分.上述结论中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．②④⑤
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
10．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
11．用一组,,的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．已知一组数据，，， ，的方差是，那么另一组数据，，， ，的方差是_ _ _ _ _ _ .
13．如图，为的直径，弦.如果，，那么的长为_ _ _ _ .
14．如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则与的面积之和为_ _ _ _ .
15．如图1，将矩形和正方形分别沿对角线和剪开，拼成如图2所示的平行四边形，中间空白部分四边形是正方形.如果正方形与正方形的面积分别是16和1，则矩形的面积为_ _ _ _ .
16．为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词朗诵”大赛.小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，且，，均为正整数.选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军.三位选手在每轮比赛中的部分得分情况如表所示.
根据题中所给信息，_ _ _ _ ，小奕同学第三轮的得分为_ _ _ _ 分.
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小恩 27
小地 11
小奕 10
三、解答题（本题共15分，每小题5分）
17．计算：.
18．解不等式组并写出它的所有非负整数解.
19．解分式方程：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
