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2026北京中考数学专题
突破二 中档题型
题型二 几何结论推断
类型1 几何类
1．[2025朝阳一模]“藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”.某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻井（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知，，，分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转 ，可以得到四边形，，，，分别经过点，，，，且平行于，，，.给出下面四个结论：
，是线段的三等分点；
是线段的中点；
③八边形是正八边形；
的面积是的面积的2倍.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】如图，连接，交于，连接，
设，
四边形是正方形，，，，分别是正方形的四条边的中点，
经过点，在正方形中，， ， ，，
为的中点，， ，
由旋转的性质可得， ，，，三点共线，
是的中点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
又 ，
，是线段的中点，故②正确；
，
， 点不是线段的三等分点，故①错误；
同理可得，，同理可得，，
， 八边形是正八边形，故③正确；
，，
，故④错误.故正确的结论为②③.
2．[2025昌平二模]连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点与交于点，连接，与交于点，连接，，，.
观察后得出如下结论：
；②连接，则有；；.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ①④
【答案】B
【解析】由题意可知正五边形内接于， ，
，
故①不正确；
易知点，，，共线，
， ，
，，
故④正确；
，，
同理得，
，
四边形是菱形，，故②正确；
由题意易得 ，
，
，故③不正确.
综上所述，正确的结论有②④.
类型2 几何与函数综合类
3．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点.给出如下结论：
与的面积相等；
与始终相等；
③四边形的面积不会发生变化；
.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】，是反比例函数的图象上的点，
，故①正确；
只有当的横、纵坐标相等时，，故②错误；
是反比例函数的图象上一动点，
，，不会发生变化，故③正确；
连接，，
，，
，故④正确.
综上所述，正确的结论有①③④，共3个.
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在，轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，.有下列结论：；；③四边形与的面积相等；④若 ，，则点的坐标为.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】 点，都在反比例函数的图象上，由题知,，
四边形为正方形，
， ，
，
，，故①正确；
，
，
的度数不能确定， 不能确定，故②错误；
，，
四边形与的面积相等，故③正确；
作于点，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，，即，
，
，
，，，
为等腰直角三角形，
，
设正方形的边长为，则,，
在中，，
，
或（舍去）.
，
点坐标为，故④正确.
综上，正确的结论是①③④.
题型三 逻辑推理
类型1 推理最佳方案类
1．[2024北京]联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长单位：如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.
若节目按 “”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_ _ _ _ ;若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的先后顺序彩排.
【答案】60；
【解析】若节目按“”的先后顺序彩排，则节目的演员的候场时间为.
由题表得节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面彩排，所以在的前面.节目和彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样总候场时长会短一些，所以在前面.
节目和的演员人数较多且彩排时长较长，所以节目和在节目和的前面.
所以按照的顺序彩排，候场时间之和最小.
方法点睛
对于第二个答题空，根据题意可知，若使这23位演员的候场时间之和最小，则可确定 在 的前面，在 的前面.
2．[2025北京]某企业研发并生产了一种新设备,计划分配给,,,四家经销商销售.一家经销商将分配到的台设备全部售出后,企业从该经销商处获得的利润（单位:万元）与的对应关系如下:
…
40 60
30 55 75 90 100 105
20 40 60 70 80 90 …
14 38 62 86 110 134 …
（1） 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售,且每家经销商至少分配到1台设备,为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大,应向经销商_ _ _ _ 分配2台设备（填“”“”“”或“”）;
（2） 如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售,那么6台设备都售出后,企业可获得的总利润的最大值为_ _ _ _ 万元.
【答案】（1）
（2） 157
【解析】
（1） 当时，
经销商的利润为60万元，比时增加（万元），
经销商的利润为55万元，比时增加（万元），
经销商的利润为40万元，比时增加（万元），
经销商的利润为38万元，比时增加（万元），
，
应向经销商分配2台设备.
（2） 当分配给四家销售时，分配给，经销商各1台，，经销商各2台总利润最大，最大总利润为（万元）；
当分配给三家销售时，分配给经销商1台，经销商2台，经销商3台总利润最大，最大总利润为（万元）；
当分配给两家销售时，分配给经销商2台，经销商4台或分配给经销商1台，经销商5台总利润最大，最大总利润为（万元）或（万元）；
当分配给一家销售时，都分配给经销商总利润最大，最大总利润为134万元.
, 企业可获得的总利润的最大值为157万元.
方法点睛
第（1）问分别计算各经销商销售2台设备比1台的利润的增长量，比较即可得答案；
第（2）问分别求出分配给四家、三家、两家、一家销售时的最大利润，比较即可得答案.
3．[2023北京]学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需，，，，，，七道工序，加工要求如下：
①工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，工序须在工序，都完成后进行.
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序.
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_ _ _ _ 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要_ _ _ _ 分钟.
【答案】53； 28
【解析】由题意得，（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟.假设这两名学生为甲、乙， 工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成， 甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要9分钟；然后甲学生做工序，乙学生同时做工序，乙学生工序完成后接着做工序，需要9分钟；最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要10分钟， 由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）.
方法点睛
要根据加工的规则得到加工顺序，要考虑工序前后顺序和同时能进行工序的数量.
4．[2022北京]甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为，，，，，每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下：
包裹编号 Ⅰ号产品质量/吨 Ⅱ号产品质量/吨 包裹的质量/吨
5 1 6
3 2 5
2 3 5
4 3 7
3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.
（1） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）；
（2） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）.
【答案】（1） （或或或或或）
（2）
【解析】
（1） 首先考虑满足条件“装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨”，装运方案有：，，，，，，，，再考虑满足条件“载重不超过19.5吨”， 装运方案，的包裹总质量为20吨，超过19.5吨，不满足题意， 满足条件的装运方案为，，，，，.
（2） 在（1）的条件下，计算装运Ⅱ号产品的质量，则选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）；选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨），选择时，装运的Ⅱ号产品质量为（吨）.装运的Ⅱ号产品质量最多为9吨.故答案为.
方法点睛
1.要关注两个条件：装运的Ⅰ号产品不少于9吨且不多于11吨，以及载重不超过19.5吨；
2.要在（1）的基础上关注Ⅱ号产品最多这个条件.
5．[2025顺义一模]炼钢厂生产，，三种产品.每种产品加工完成均需生产和冷却两道工序.加工要求如下：
①生产工序每次只能生产一个产品；
②冷却工序可以多个产品同时进行；
③生产产品时可以同时冷却其他产品；
④每种产品的两道工序所需时间如表所示：
产品种类
生产时间/分钟 2 7 6
冷却时间/分钟 2 10 3
已知，，三种产品各生产一个.
（1） 若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要_ _ _ _ 分钟；
（2） 要使完成，，三种产品加工的总时间最短，则应按照_ _ _ _ _ _ _ _ 的顺序生产，并完成冷却.
【答案】（1） 19
（2）
【解析】
（1） 生产产品需要2分钟，生产产品需要7分钟，可在生产产品的同时冷却产品， 先生产1个产品，再生产1个产品，同时冷却1个产品，共需要（分钟）.可在生产产品的同时冷却产品， 冷却产品需要10分钟，生产产品需要6分钟，冷却产品需要3分钟，产品生产完成并冷却完成后，产品还需冷却1分钟， 按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要（分钟）.
（2） 由（1）知按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要19分钟；易知按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要（分钟）；按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要（分钟）；按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要（分钟）；按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要（分钟）；按照“”的顺序生产，并完成冷却，至少需要（分钟）, 应按照“”的顺序生产，并完成冷却.
方法点睛
（1）根据生产和冷却要求以及完成各道工序所需时间列式解答；
（2）根据，，三种产品生产和冷却的时间，分别计算出所有不同顺序下所需的总时间，取得最短时间.
6．[2024通州一模]某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作.具体筹备工作包含以下内容（见表）.其中，相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作.
工作代码 工作名称 持续时间/天 前期工作
张贴海报、收集作品 7 无
购买展览用品 3 无
打扫展厅 1 无
展厅装饰 3 C
展位设计与布置 3 ABD
展品布置 2 E
宣传语与环境布置 2 ABD
展前检查 1 FG
（1） 结束前期工作并完成“展厅装饰”最短需要_ _ _ _ 天；
（2） 完成本次展览会所有筹备工作最短需要_ _ _ _ 天.
【答案】（1） 4
（2） 13
【解析】
（1） 由题表可知，结束前期工作并完成“展厅装饰”最短需（天）.
（2） 完成本次展览会所有筹备工作最短需要的天数为.
方法点睛
（1）根据表格可知完成“展厅装饰”要完成 和 两项工作，从而可得需要的最少天数；
（2）根据表格可知完成 的时间里，可同时完成，，的工作，然后可同时进行，的工作，再进行，最后可进行 的工作，从而完成整个工作，即可得最短总工作时间.
类型2 推理未知元素类
7．[2023西城二模]下表是某市某年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对上一年度名次变化的情况，“ ”表示上升，“”表示下降，“—”表示名次没有变化.已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是_ _ _ _ ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一种符合条件的排序）.
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县
变化情况 — — —
【答案】； （或，二者之一即可）
【解析】地名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，地名次无变化，地只能是第三名上升而来的，即上一年度地名次是第三名.同理，地名次下降，只能是第一名下降而来的. 上一年度排名第1的区县是，上一年度排名前四名依次是，，，地名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度地排第五，同理，地名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度地排第九.地本年度排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，地上一年度可能是排第六或者第七.若地上一年度排第六，则地上一年度排第七，地上一年度排第八. 上一年度排名从前往后依次是：，，，，，，，，，.若地上一年度排第七，地本年度排第八，名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，地上一年度排第六，地上一年度排第八. 上一年度排名从前往后依次是：，，，，，，，，， 上一年度排在第6，7，8名的区县依次是或.
8．[2025西城一模]某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）.修复每个景点所需的工人数和天数如下：
景点
工人数 4 3 2 5
天数 3 4 5 2
公园计划聘用人，用天的时间完成所有修复工作.
（1） 若，则的最小值是_ _ _ _ ；
（2） 假设每名工人每天的工资为元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_ _ _ _ _ _ 元（用含的式子表示）.
【答案】（1） 8
（2）
【解析】
（1） ， 可以有两种组合：先同时修复或.易知先同时修复用时更短，安排如下：
4个人修复和3个人修复同时进行，3天后修复的工人抽出两个用5天修复，剩下的修复的两个工人等修复的工人完成修复后一起用2天去修复，共需要8天.所以的最小值是8.
（2） 设支付给工人的工资总额为元，， 当的值最小时，工资总额最少，由题表可知，修复所需工人数最少为5，修复所需天数最少为5.当时，5人先用2天修复，然后3人用4天修复和2人用5天修复同时进行，然后让其中4人用3天修复.所需天数最少，为，此时.当时，4人用3天修复和2人用5天修复同时进行，修复的工人先完成后让其中3人用4天修复，完成后让5人用2天修复，所需天数最少，为，此时.由（1）可知当时，最小为8，此时.当时，易知大于上述所有情况.综上，的值最小为.故支付给工人的工资总额最少为元.
方法点睛
面对比较复杂的信息先进行适当的筛选，将能够确定的信息确定下来，降低未知信息的个数.由于每个区县的名次变化都不超过两位，从前、后入手分别确定名次变化的区县上一年的排名可以作为本题突破点，将剩下区县的情况进行分类讨论.
9．[2024房山二模]某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为,,且,,均为正整数.三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 总分
甲 9
乙 22
丙 9
则的值为_ _ _ _ ，三名同学在五轮比赛中，_ _ _ _ （填“甲”“乙”或“丙”）同学获得的第二名最多.
【答案】5； 甲
【解析】 每轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），，，
乙的得分最高为，
，又为正整数，
，，.
，,,均为正整数，
，，，
,
乙有4轮得第一，1轮得第二.
假设甲有一轮得第一，则甲的得分至少为，
与甲的实际得分不相符，
故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一，
，即丙剩下的三轮总分为3分， 剩下的三轮丙都是第三，
丙1轮得第一，4轮得第三，
又 乙4轮得第一，1轮得第二，
甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多.
方法点睛
（1）先修复，用3天，再修复，用1天，接着修复，用2天，最后完成 的修复用时2天，计算总时间即可；
（2）根据 的取值范围，列出符合条件的情况，算出所需的最少天数，比较找出工资总额的最小值.
题型四 平行四边形的证明与计算
类型1 平行四边形的证明与计算
1．[2025朝阳二模]如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若， ，，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，
，.
又，.
.
四边形是平行四边形.
（2） 解： ，，， 在中，.
四边形是平行四边形，
，.
，.
，.
在中，由勾股定理可得.
2．[2024大兴一模]如图，在正方形中，点，分别在边，上，,连接,射线与的延长线交于点.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，,求线段的长.
【答案】
（1） 证明： 四边形是正方形，，.
，
，
即.
又，
四边形是平行四边形.
（2） 解： 四边形是正方形，
， ，.
， ，
.
，，
，，.
，.
3．[2025大兴一模]如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长至点，使，连接交于点，是的中点，连接，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，，求的面积.
【答案】
（1） 证明： 四边形是菱形，
，，，
为的中点，
是的中点，
为的中位线，
，
在中，，，
，，
四边形是平行四边形.
（2） 解： 四边形是菱形，
，，
，，
设，则，在中，，
，解得（负值舍去），，，
设斜边上的高为，则，即，，.
4．[2024顺义一模]如图，在菱形中，，交于点，延长到点，使，连接.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 连接，若，，求的长.
【答案】
（1） 证明： 四边形是菱形，
，.
，.
四边形是平行四边形.
（2） 解： 四边形为菱形，
，.
四边形为平行四边形，
，
.
在中,
，，.
在中,
，.
类型2 特殊平行四边形的证明与计算
5．[2025海淀一模]如图，在中，，点在上，.过点，分别作，的平行线交于点.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
， 四边形是菱形.
（2） 解：过作于，
，
，，
，，
，
，，
，，
.
6．[2025石景山一模]如图，在四边形中，，平分，为的中点，连接，交于点，.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，
.
平分，
.
.
为的中点，.
，.
四边形是平行四边形.
又，
四边形是菱形.
（2） 解：连接交于点.
四边形是菱形，
，，.
在中，.
，.
，.
.
设，则，.
..
7．[2025平谷一模]在矩形中，点是上一点，连接，，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，.
（1） 求证：四边形是矩形；
（2） 连接，若 ，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形， ，
， ， ，
四边形是矩形.
（2） 解： ， ，，
，
，，
四边形是矩形，
，的长为4.
8．[2024西城一模]如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，，求菱形的面积.
【答案】
（1） 证明：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
又，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形.
（2） 解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，即，
，
由（1）知，，
菱形的面积为.
题型五 方程（组）与不等式（组）的实际应用
类型1 方程（组）的实际应用
1．[2025朝阳二模]根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看成绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是指在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积.
某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为.现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的.请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由.
解：能合格.理由如下：
设该小区改造前覆土绿地的面积为，实土绿地的面积为.
根据题意得，
解得
则按照该方案改造后的绿地面积为.
根据规定，该小区的绿地面积不得低于.
因为，
所以按照该方案改造后，该小区的绿地率能合格.
2．[2025房山一模]某校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示.每次活动都会在电子显示屏上显示主题活动的标题.由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：
边空宽∶字宽∶字距.每个字的字宽相等，每相邻两个字之间的字距相等.
若某次主题活动的标题有17个字，求字距是多少.
解：设字距是，则字宽是，边空宽是，
根据题意得，
解得.
答：字距是.
3．[2023北京]对联是中华传统文化的瑰宝.对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.（书法作品选自《启功法书》）
解：设天头长为，地头长为，则边的宽为,
由题意得，
解得，则.
答：边的宽为，天头长为.
4．[2025大兴一模]小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路.走普通公路比走高速公路的路程多60千米，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百千米耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百千米耗电增加，该车选择的充电站充电费用均为1.5元/千瓦时.最终发现走普通公路的充电费用比走高速公路的充电费用少15元，求返回时所走高速公路的路程.
解：设返回时所走高速公路的路程为千米，则去时走普通公路的路程为千米，
根据题意得，
解得.
答：返回时所走高速公路的路程为550千米.
类型2 不等式（组）的实际应用
5．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将，两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件品种柑橘礼盒和15件品种柑橘礼盒的总价共3 500元.
（1） 求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元.
（2） 已知加工，两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元，60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共1 000盒，且售出品种柑橘礼盒的数量不超过品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种柑橘礼盒的销售方案 并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元.
【答案】
（1） 解：设种柑橘礼盒每件的售价为元，则种柑橘礼盒每件的售价为元，
由题意得，
解得，.
答：种柑橘礼盒每件的售价为80元，种柑橘礼盒每件的售价为100元.
（2） 设销售种柑橘礼盒盒，则销售种柑橘礼盒盒，
由题意得
解得，
设收益为元，
由题意得，
，随的增大而减小，
当时，有最大值,最大值为，
此时，.
答：应该安排销售种柑橘礼盒595盒，种柑橘礼盒405盒，最大收益为34 050元.
6．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
（1） 求A，B两种商品每件进价各为多少元.
（2） 该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
【答案】
（1） 解：设A商品每件的进价是元，B商品每件的进价是元，
根据题意得
解得
答：A商品每件的进价是100元，B商品每件的进价是60元.
（2） 设购进件A商品，则购进件B商品，
根据题意得，
解得，
的最大值为20.
答：购进A商品的件数最多为20.
7．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
（1） 求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2） 该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵
【答案】
（1） 解：设脐橙树苗的单价为元，黄金贡柚树苗的单价为元，
由题意得解得
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元.
（2） 设购买脐橙树苗棵，则购买黄金贡柚树苗棵，
由题意得，
解得.
答：最多可以购买脐橙树苗400棵.
8．牡丹江某县级市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题：
（1） 特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2） 某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
【答案】
（1） 解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是元和元，则解得
答：特级鲜品猴头菇每箱的进价为40元，特级干品猴头菇每箱的进价为150元.
（2） 设该商店购进特级鲜品猴头菇箱，则购进特级干品猴头菇箱，由题意得，
，,
解得，
为正整数，，41，42.
故该商店有三种进货方案：①购进特级鲜品猴头菇40箱，特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，特级干品猴头菇38箱.
题型六 一次函数综合题
类型1 函数值与函数值比较大小类
1．[2025大兴一模]在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点.
（1） 求与的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】（1） 解： 将函数的图象向上平移2个单位得到直线，， 直线经过点，，.
（2） .
2．[2025门头沟二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1） 求这个一次函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象由函数的图象平移得到，.
又 一次函数图象经过点，
，，
一次函数的表达式为.
（2） 或.
3．[2024北京]在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1） 求,的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解：将代入，
得，
解得，
将，代入中，
得,解得.
（2） .
【解析】
（2） ,， 两个一次函数的解析式分别为,.由题意知，当时，直线在直线和直线的上方，画出图象如图：
由图象得，当直线与直线平行时符合题意，当直线与轴的夹角大于直线与轴的夹角时也符合题意， 当，直线在直线和直线的上方时，的取值范围是.
4．[2025海淀一模]在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1） 求，的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 函数的图象过点，
，解得，
.
将代入得，
解得.
（2） 且.
5．[2025平谷一模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点.
（1） 求一次函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，，
把代入，得,解得，
一次函数的表达式为.
（2） .
6．[2025昌平二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到的，且经过点.
（1） 求一次函数的表达式；
（2） 已知函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象是由的图象平移得到的，.
又 一次函数图象经过点，
，解得.
一次函数的表达式为.
（2） 且.
类型2 函数值与实数比较大小类
7．[2025房山一模]在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点.
（1） 求该函数的解析式及点的坐标；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出的值.
【答案】
（1） 解： 函数的图象经过点和，
解得
该函数的解析式为，
函数的图象与过点且平行于轴的直线交于点，
令，得，解得，
点的坐标为.
（2） 的值为4.
8．[2025大兴二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，.
（1） 求该一次函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象经过点，，
解得
该一次函数的表达式为.
（2） .
9．[2025石景山二模]在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点.
（1） 求，的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：把和代入，得
解得
（2） .
10．[2025通州一模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点.
（1） 求一次函数的表达式及点的坐标；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解：将，代入，得
解得
一次函数的表达式为.
令，得，
.
（2） .
11．[2025房山二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1） 求这个一次函数的解析式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于1，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象由函数的图象平移得到，
.将代入，得，解得，
一次函数的解析式为.
（2） .
12．[2025东城二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和.
（1） 求，的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象过点和，
解得
（2） .
题型七 统计综合题
1．[2025海淀一模改编]某学校生物社团开展了一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验，社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度单位：设置6个重复组，一段时间后测量绿豆幼苗的高度单位：，得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
.不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下：
.生长素浓度为15和20时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下：
生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度
15 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7
20 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2
.同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下：
生长素浓度 5 10 15 20 25
方差 0.108 0.083 0.067 0.041
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 补全统计图，并标明数据.
（2） 从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为_ _ _ _ 时对绿豆幼苗生长的促进作用更大.
（3） 若将每组绿豆幼苗高度的平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是_ _ _ _ （填序号）.
①正比例函数；②一次函数；③反比例函数；④二次函数.
（4） 请判断：_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
【答案】
（1） 解：补全统计图如下.
（2） 15
（3） ④
（4）
【解析】
（4） 生长素浓度为时，绿豆幼苗高度的方差为，
，.
2．[2025大兴二模]为了解，，三款轮胎的最远行驶里程，某汽车制造厂商分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
.测试的轮胎中，两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下：
.测试的轮胎中款轮胎的最远行驶里程如下：
101 90 108 103 97 74 104 95
.测试的轮胎中，，三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如下：
轮胎
平均数 100 100
中位数 99 99
根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） ，，三款轮胎最远行驶里程的平均数越大，轮胎质量越好.若最远行驶里程的平均数相同，则方差越小，轮胎的质量越好.则，，三款轮胎中质量最好的是_ _ _ _ .若该企业引进质量最好的这款轮胎8 000个，则估计最远行驶里程不低于的轮胎有_ _ _ _ 个.
【答案】（1） 96.5；99
（2） ；6 000
【解析】
（2） ，两款轮胎最远行驶里程的平均数相同，且都比款大，所以，两款轮胎质量较好，由题图易知款轮胎最远行驶里程数据的波动比款小，即款轮胎最远行驶里程数据的方差比款轮胎小，所以款轮胎的质量最好.
（个），所以估计最远行驶里程不低于的轮胎有6 000个.
3．[2025顺义一模]某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段.
（1） 初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.专业评委打分：
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98
.群众评委打分的频数分布直方图如下数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
专业评委 91
群众评委 90.2 91
根据以上信息，回答下列问题：
① 写出表中，的值.
② 比赛规定初赛专业评委打分的平均数达到90及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手_ _ _ _ （填“能”或“不能”）直接获得复赛资格.
③ 比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级.当有一半及以上的评委打分超过95时，评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90时，评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过85时，评为三级.那么该选手的受欢迎等级为_ _ _ _ （填“一级”“二级”或“三级”）.
（2） 复赛由5名专家评委打分（百分制）.若某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致.5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91.前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手得分的平均数高于甲选手，且5名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是_ _ _ _ （打分为整数）.
【答案】① 解：，.
② 能
③ 二级
（2） 93
【解析】
③ 群众评委的总人数为50，
，由题图可知，打分为94及以上的人数为， 没有达到一级，打分为91及以上的人数为，， 等级为二级.
（2） 甲选手得分的平均数为,
甲选手得分的方差为,
设第5名评委给乙选手的打分为, 乙选手得分的平均数更高,
,
解得,,
当时,
乙选手得分的平均数为,
方差为,
当时，乙选手得分的平均数为,
方差为，
，易知当时，方差更大，.
故第五名评委给乙选手的打分是93.
4．[2025海淀二模]某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长.下面给出了部分信息.
.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图如下：
.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章.
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_ _ _ _ ，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
（2） 某年级抽取的10名学生综合得分的频数分布直方图如下数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组
① 该频数分布直方图反映的是_ _ _ _ （填“七”或“八”）年级学生的综合得分情况；
② 该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_ _ _ _ 组；
（3） 该校七年级有120名学生，八年级有100名学生.若所有学生都参与了该系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_ _ _ _ .
【答案】（1） ；
（2） ① 八
② 4
（3） 78
【解析】
（3） 综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有100名学生，由题意可知被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， 估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为.
5．[2025大兴一模]为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动.
身体质量指数是衡量人体胖瘦程度的常用指标.计算方法为体重 身高（体重单位：千克；身高单位：米）.我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如表.
分类
体重过低
体重正常
超重
肥胖
某工厂为了解员工的身体质量指数情况，进行了抽样调查，过程如下：
.收集数据：
从该工厂男、女职工中各随机抽取30名职工，计算每名职工的后，按从小到大排序如下.
男职工： 17.3 17.6 17.9 18.7 19.0 19.6 20.2 20.6 20.7 20.8
21.3 21.5 21.6 21.8 22.1 22.3 22.4 23.1 23.2 23.4
23.5 23.5 23.6 23.7 24.0 24.1 25.1 27.7 29.3 30.6
女职工： 15.4 16.6 16.8 17.4 17.6 18.5 18.6 18.7 19.0 19.1
20.1 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.5 21.5 21.6 21.8
22.8 23.3 23.6 24.4 25.2 25.7 26.1 28.1 28.7 30.8
.整理数据：
男职工人数 3 21 4 2
女职工人数 5 4 3
.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
男职工 22.34 22.2
女职工 21.51 21.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 请对该工厂工人提出一条合理的体重管理建议：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】（1） 18；23.5；20.7
（2）
（3） 建议该工厂工人健康饮食，多锻炼身体（答案不唯一，言之有理即可）
6．[2025昌平二模]某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选拔测试，其中一项是“五个位置定点投篮”.以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整理、描述和分析：
.甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图如图：
.甲、乙、丙三位同学五个位置投篮数据的中位数和总进球数如下：
甲 乙 丙
中位数 6 5
总进球数 30 29 30
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 补全条形统计图，表中的值为_ _ _ _ ；
（2） 从投篮进球数条形图中可知，甲、乙两位同学中，投篮水平发挥较稳定的是_ _ _ _ （填“甲”或“乙”）;
（3） 若在五个位置投篮，命中一次对应的得分如下表：
位置 位置一 位置二 位置三 位置四 位置五
命中分值 1 2 2 2 3
则从甲、丙两位同学中选拔出总分更高的同学进入代表队，应选_ _ _ _ （填“甲”或“丙”）.
【答案】
（1） 7；解：补全统计图如图.
（2） 乙
（3） 丙
【解析】
（3） 甲的总分为，由题知，丙在位置三的进球数为， 丙的总分为，
， 应选丙.
题型八 圆的证明与计算
类型1 圆基本性质相关的证明与计算
1．如图，在中，直径垂直于弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接.
（1） 若，求的长；
（2） 求证：；
（3） 若，猜想的度数，并证明你的结论.
【答案】
（1） 解：由题意知，
因为，，
所以，所以.
又因为，所以.
（2） 证明：连接.
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，所以.
（3） 解： .证明如下：
延长交于点.
因为，所以.
所以.
因为是直径，所以 .
所以，所以，
所以，所以是等腰直角三角形，
所以 .
2．[2021北京]如图，是的外接圆，是的直径,于点.
（1） 求证:；
（2） 连接并延长，交于点，交于点，连接.若的半径为5，,求和的长.
【答案】
（1） 证明：是的直径，于点，，
.
（2） 解：如图，
是的直径，
于点，.
在中，点、点分别是边，的中点，
是的中位线，
，.
是的直径， .
，
，，
，
，，
又，.
方法点睛
圆综合题目的第二问常考查相似的知识点，当没有思路时可考虑寻找或构造相似三角形解题.
3．[2024石景山一模]如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且，连接.
（1） 求证：；
（2） 连接，，若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，是的直径，，
，，.
（2） 解：连接交于点，
，，
，
，是的中位线，，
，，，
，
，
，
，
.
方法点睛
在一道几何题目中若出现两个中点，常常想到中位线的相关知识，比如圆中涉及垂径定理时，会出现垂足这一个中点，再结合圆心是直径的中点，可想到中位线的应用.
4．[2024东城二模]如图，在中，，于点，交的外接圆于点.连接，于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 当，时，求线段的长及的外接圆的半径长.
【答案】
（1） 证明：，，
，
，，
，，
.
（2） 解：过作于，
，，
设，则，
，，
，解得，
，，
，，
，
设，则，
，，
，
，
解得，
，，.
， ，
，，
，
为外接圆的直径，
的外接圆的半径长为.
类型2 切线相关的证明与计算
5．[2025丰台一模]如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点，.
（1） 求证：.
（2） 过点作的切线交的延长线于点.若，，求的长.
【答案】
（1） 证明:连接.
,,是上的点,
.
,
.
,.
（2） 解：连接.
是的直径, .
, .
.
,.
.
,.
设,则，，.
在中,,
.
（舍负）.
,,，.
是的切线,
.
在中,,
在中,,
，.
.
6．[2019北京]在平面内，给定不在同一条直线上的点，，，如图所示.点到点，，的距离均等于为常数，到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，.
（1） 求证：.
（2） 过点作，垂足为，作，垂足为，延长交图形于点，连接.若，求直线与图形的公共点个数.
【答案】
（1） 证明：由题意可知图形是以为圆心，为半径的圆，点，，，在上.
连接，，，如图.
平分，
.
，
，
.
（2） 解：如图，，，
.
，.
，
，
.
.
为的直径.
点在上.
，.
.
，，
是的半径，
直线为的切线.
直线与只有一个公共点，即直线与图形的公共点个数为1.
7．[2025丰台二模]如图，是的直径，点，在上，于点.
（1） 求证：.
（2） 过点的切线交延长线于点.若，，求的长.
【答案】
（1） 证明:于点,是的半径,.
.
（2） 解：如图，
于点,是的半径,,
, .
,,
.
在中,.
.
设的半径为.
在中,，
，
，.
是的切线,
， ，
.
又，
，
，.
方法点睛
在解决圆综合题目相关计算时，常需要转移边和角，若题目中出现三角函数值，要想到等角的三角函数值相等，从而达到转移角的目的.
8．[2025朝阳二模]如图，为的直径，点，在上，平分，连接.
（1） 求证：.
（2） 过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点.若，，求的长.
【答案】
（1） 证明:,,为上的点,
.
平分,
，
，.
（2） 解：如图，
与相切于点,
.
，
, ，.
,,
在中,，
.
设的半径为,
则，.
,，
，.
,
.
9．[2025门头沟二模]如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点.
（1） 求证：是的切线；
（2） 如果,，求和的长.
【答案】
（1） 证明：连接，，
是的直径，
，
又，，
又，.
，.
又为的半径，
为的切线.
（2） 解：连接，，
在中，，，
设，则，
，
，
，，，
，
，
为的直径，，
，
，，
又，.
在中，，，
由勾股定理得.
在中，由勾股定理得，解得.
方法点睛
在解决圆综合题目时，看到直径要想到利用直径所对圆周角为直角作辅助线，构造直角三角形.
10．[2025石景山一模]如图，是的直径，点在上，交于点，过点作的切线交的延长线于点.
（1） 求证：.
（2） 过点作交于点.若，，求半径的长.
【答案】
（1） 证明:如图，延长交于点.
与相切于点,
.
,
.
是的直径, .
四边形是矩形.
,.
.
（2） 解：如图，
,为的半径，
是的切线.
是的切线,
.
, ,
，.
在中,，
设,则，
.
,.
,，
.
在中,.
半径的长为20.
11．[2025房山一模]如图，是的直径，点是上一点，是的切线.连接交于点，.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明：连接，
.
,
.
是的切线,
，
，
，
.
（2） 解：连接,
, .
,,
,.
是的直径,
, .
,,
，，
，.
12．[2025平谷二模]如图，为半圆所对的直径，为圆心，点在的延长线上，与半圆相切于点，过点作的垂线与的延长线相交于点，与半圆相交于点，连接，与相交于点.
（1） 求证：；
（2） 连接，，，求圆的半径.
【答案】
（1） 证明：连接，如图，则，，
与半圆相切于点，交的延长线于点，
，
， ，
，
，
，.
（2） 解：作于点，如图.
为半圆所对的直径，
，
设，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
圆的半径为.
题型九 探究新函数的图象与性质
类型1 生活背景下的新函数
1．[2025顺义一模]某人工智能模型用于图象识别.共有50 000幅图象，其中45 000幅图象用于模型学习，剩下的5 000幅图象用于模型学习后的评估测试.
下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：
学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13
学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905
学习后评估测试的正确率 0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800
（1） 根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用实线表达变化趋势.请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势.
（2） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率的差约为_ _ _ _ （结果保留小数点后三位）；
② 至少经过_ _ _ _ 次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；
③ 当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图象，估计_ _ _ _ 幅能被正确识别.
【答案】
（1） 解：如图所示.
（2） ① 0.100
② 6
③ 80
2．[2025朝阳二模]科创小组分别用，两台装置提取实验物质，当，两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积单位：和装置提取的实验物质的体积单位:，部分数据如下：
0 5 10 20 30 40 50 60 …
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 …
0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 …
（1） 补全表格（结果保留小数点后一位）.
（2） 通过分析数据，发现可以用函数刻画与,与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
（3） 根据以上信息，解决问题：
① 若装置比装置早启动，则装置启动_ _ _ _ _ _ 时,两台装置提取的实验物质体积相同，约为_ _ _ _ _ _ _ _ （结果保留小数点后一位）；
② 在①的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取_ _ _ _ 实验物质（结果保留小数点后一位）.
【答案】（1） 解：0.5.
（2） 如图所示.
（3） ① 19或55；1.9或5.5
② 0.5
3．[2025平谷二模]在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来.三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作、、，得到如下数据：
0 50 100 150 200 250 300 350 400
0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5
0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8
0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.4 4.8 6.1
（1） 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象；
（2） 以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号；
（3） 根据以上数据与函数图象估算，分别向三个杯子中注入等量的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为_ _ _ _ （精确到小数点后1位），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，则操作完成后三个杯子中水面高度约为_ _ _ _ （精确到小数点后1位）.
【答案】
（1） 解：补全图象如下.
（2） 2；1；3
（3） 5.8；4.5
【解析】
（2） 第一个杯子上下一样宽，则随的增大而匀速增大，所以为2号杯；
第二个杯子下窄上宽，则的变化先急后缓，所以为1号杯；
第三个杯子下宽上窄，则的变化先缓后急，所以为3号杯.
（3） 由图可知,当时,，，
此时三个杯子中总水量约为，由图象可知，当时，,,,, 操作完成后三个杯子中水面高度约为.
类型2 几何相关的新函数
4．[2025房山一模]如图，为半圆，为其所在圆的圆心，点是半圆上一动点，过点作于点.已知，设弦的长为，的面积为（当点与点或点重合时，的值为0）.
小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1） 通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如表：
0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4
0 0.12 0.39 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62
的值为_ _ _ _ ；
（2） 建立平面直角坐标系，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3） 结合画出的函数图象，解决问题：
当的面积为2时，的长度约为_ _ _ _ _ _ _ _ 精确到.
【答案】（1） 0
（2） 解：该函数图象如图.
（3） 2.85或3.85
【解析】
（3） 由函数图象可知,
当时，，当时，，
依据函数图象的变化趋势可得,当时，的值约为2.85或3.85.
5．[2025顺义二模]上部是圆柱形，下部是圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为.先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体单位：和液体下降高度单位：，部分数据如下：
（1） 将表格补全（结果保留小数点后一位）.
0 100 160 200 300 350 400 450 500
0 1.5 2.4 _ _ _ _ 4.5 5.3 6.4 7.8 13.5
（2） 通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象.
（3） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则_ _ _ _ （填“ ”“”或“ ”）；
② 如图2，两个该种型号的漏斗和，它们的底部出液口开关均已关闭，装满液体，是空的.先将中的一部分液体倒入中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上.此时，和的出液口距离桌面的高度均为，的液面距离桌面的高度为，则的液面距离桌面的高度约为_ _ _ _ （结果保留小数点后一位）.
【答案】（1） 3.0
（2） 解：函数图象如图所示.
（3） ①
② 11.4
【解析】
（3） ① 从题表中可得，从增加到，增加的量；
从增加到，增加的量约为，
，.
② 由题意得，则 .
则中液面高度为时的高度.
由图象可得，此时,
则中的液面距离桌面的高度约为.
6．[2025大兴一模]【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，那么这个矩形的周长是否存在最大值或最小值
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，因此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）.
图1 图2
如图1，在该反比例函数图象上任取一点，作出矩形.为探究它的周长的最大值或最小值情况，点在不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下：
… 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 …
… 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 …
【思维呈现】
（1） 矩形的面积为_ _ _ _ ；
（2） 根据上面表格中的数据，以的值为横坐标，的值为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接；
（3） 根据以上信息，判断存在最_ _ _ _ 值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为_ _ _ _ （结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】
（4） 若一个面积为6的圆的周长记为，则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
【答案】（1） 6
（2） 解：如图所示.
（3） 小；9.8
（4）
题组训练5（平行四边形+应用题+一次函数+统计）
1．（6分）如图，在四边形中，，，.点在对角线的延长线上，连接，.
（1） 求证：；
（2） 若，，，求的长.
【答案】
（1） 证明：，，
四边形是平行四边形.
， .
四边形是矩形..
（2） 解：过点作交的延长线于点，如图，
则 .
四边形是矩形，，
,.
.
.
设,则.
,,
,.
,.
，.
.
2．（6分）小明同学看了拼木板的魔术后，也找了8块大小、形状均一样的长方形木板，第1次按如图1所示的方式，恰好可以拼成一个大长方形，第2次拼成了如图2所示的正方形，可是中间留下了一个洞，经测量，发现这个洞刚好可以塞进一块边长为的正方形木板.求每块小长方形木板的长和宽.
图1 图2
解：设小长方形木板的长为，宽为，则解得
答：小长方形木板的长和宽分别为、.
3．（5分）在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点,且与函数的图象关于轴对称.
（1） 求这个一次函数的解析式;
（2） 当时,对于的每一个值,函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】（1） 解： 点关于轴的对称点为， 函数的图象经过点， 将代入,得,解得,由对称的性质,得，将代入中，得,解得， 这个一次函数的解析式为.
（2） .
【解析】
（2） 当时,对于的每一个值,函数的值都大于一次函数的值,即当时,函数的图象在一次函数图象的上方,如图.当时,,当过点时,,结合函数图象得的取值范围为.
4．（5分）某校九年级组织600名学生参加了一次 “汉字听写”大赛.赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分（成绩取整数，总分100分），为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：
90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60.
对上述成绩进行了整理，得到以下不完整的统计表：
成绩分 频数 频率
6 0.15
8 0.2
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 请补全频数分布直方图；
（3） 若成绩在90分以上（包括90分）的为“优等”，请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩为“优等”的有多少人.
【答案】（1） 14；0.35；12；0.3
（2） 解：补全频数分布直方图如下.
（3） （人）.
估计参加这次比赛的600名学生中成绩为“优等”的有180人.
题组训练6（一次函数+统计+圆综合+函数图象探究）
1．（5分）在平面直角坐标系中,函数的图象经过点，.
（1） 求该函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围.
【答案】
（1） 解： 函数的图象经过点,,
解得
该函数的表达式为.
（2） .
【解析】
（2） 【提示】由题意得，解得，由此可得.
2．（5分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，相关信息如下：
.30名学生A，B两门课程成绩统计图：
.30名学生A，B两门课程成绩的平均数如下：
A课程 B课程
平均数 85.1 80.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分.请在统计图中用“”圈出代表甲同学成绩的点.
（2） 这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，直接写出，的大小关系.
（3） 若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数.
【答案】
（1） 解：如图所示.
（2） .
（3） 由题图可知在抽取的30名学生中，A，B两门课程成绩都超过平均分的有9人.
故若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数为.
3．（6分）如图，是的直径，是上一点，过点作直线，使.
（1） 求证：是的切线；
（2） 点是弧的中点，连接并延长，分别交,于点,，若，，求线段的长.
【答案】
（1） 证明:是的直径,
,
,
,
,,
是的半径,
是的切线.
（2） 解：,
,,
,
.
点是弧的中点,
,
,,
,
,
设,则,
,
,解得（负值舍去）,
,
.
4．（6分）如图，为的直径上的一个动点，点在上，连接，，过点作的垂线交于点．已知，，设，两点间的距离为，，两点间的距离为.
某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1） 通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组对应值，如下表，将表格补充完整；
0 1 _ _ _ _ 2.5 3 3.5 4 5
4.0 4.7 5.0 4.8 _ _ _ _ 4.1 3.7 _ _ _ _
（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）
（2） 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3） 结合画出的函数图象解决问题：当时，的长度约为_ _ _ _ （结果保留一位小数）.
【答案】（1） 1.8；4.5；3.0
（2） 解：如图所示.
（3） 2.4.
【解析】
（3） 【提示】在（2）问图中画出直线，可得两图象交点横坐标约为2.4.
题组训练7（平行四边形+应用题+圆综合+函数图象探究）
1．（6分）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，， ，求的值.
【答案】
（1） 证明：平分，
.
，，
，.
同理可得.
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
（2） 解：过点作于点，如图.
四边形是菱形， ，是等边三角形.
,，
.
在中，易得 .
，
.
，，
.
2．（6分）为了促进学生加强体育锻炼,某中学从去年开始,每周除体育课外,又开展了“足球俱乐部1小时”活动.去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2 880元,购买B品牌足球共花费2 400元,且购买A品牌足球数量是B品牌足球数量的1.5倍,每个足球的售价,A品牌比B品牌便宜12元.今年由于参加俱乐部人数增加,需要从该店再购买A，B两种品牌的足球共50个,已知该店今年对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年提高了,B品牌比去年降低了,如果今年购买A,B两种品牌的足球的总费用不超过去年总费用的一半,那么学校最多可购买多少个B品牌足球
解：设去年A品牌足球售价为元/个,则B品牌足球售价为元/个.
由题意得,
整理得,
解得,
经检验,是原分式方程的解，且符合题意,
.
去年A品牌足球的售价为48元/个,B品牌足球的售价为60元/个.
设今年购买B品牌足球的个数为,根据题意得，,
整理得,
解得.
是整数，的最大值为33.
答：最多可购买33个B品牌足球.
3．（6分）如图，为的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，为的中点，连接并延长交于点，连接,.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
【答案】
（1） 证明:为的切线,
,
,
是的直径,
,
,
,
,
.
（2） 解：,
,
,,
,,.
在中,
是的中点, ,
.
4．（6分）某蔬菜批发基地为指导2025年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价（单位：元/千克）与相应需求量（单位：吨）以及供给量（单位：吨）的几组数据：
售价（元/千克） … 2 3 4 5 6 …
需求量吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 …
供给量吨 … 1 2 3 4 5 …
（1） 根据表中数据，供给量与售价之间满足_ _ _ _ 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”），它的函数表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；需求量与售价之间近似满足函数关系，它的函数表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3） 结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为_ _ _ _ 元/千克（结果精确到）.
【答案】（1） 一次；；
（2） 解：如图所示.
（3） 6.2.
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2026北京中考数学专题
突破二 中档题型
题型二 几何结论推断
类型1 几何类
1．[2025朝阳一模]“藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”.某校数学小组的同学在研究时发现智化寺藻井（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知，，，分别是正方形的四条边的中点，将四边形绕正方形的中心顺时针旋转 ，可以得到四边形，，，，分别经过点，，，，且平行于，，，.给出下面四个结论：
，是线段的三等分点；
是线段的中点；
③八边形是正八边形；
的面积是的面积的2倍.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．[2025昌平二模]连接正五边形的对角线，形成如图的图形，中心为点与交于点，连接，与交于点，连接，，，.
观察后得出如下结论：
；②连接，则有；；.
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．①④
类型2 几何与函数综合类
3．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点.给出如下结论：
与的面积相等；
与始终相等；
③四边形的面积不会发生变化；
.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在，轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为，连接，，.有下列结论：；；③四边形与的面积相等；④若 ，，则点的坐标为.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
题型三 逻辑推理
类型1 推理最佳方案类
1．[2024北京]联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长单位：如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.
若节目按 “”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_ _ _ _ ;若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的先后顺序彩排.
方法点睛
对于第二个答题空，根据题意可知，若使这23位演员的候场时间之和最小，则可确定 在 的前面，在 的前面.
2．[2025北京]某企业研发并生产了一种新设备,计划分配给,,,四家经销商销售.一家经销商将分配到的台设备全部售出后,企业从该经销商处获得的利润（单位:万元）与的对应关系如下:
…
40 60
30 55 75 90 100 105
20 40 60 70 80 90 …
14 38 62 86 110 134 …
（1） 如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售,且每家经销商至少分配到1台设备,为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大,应向经销商_ _ _ _ 分配2台设备（填“”“”“”或“”）;
（2） 如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售,那么6台设备都售出后,企业可获得的总利润的最大值为_ _ _ _ 万元.
方法点睛
第（1）问分别计算各经销商销售2台设备比1台的利润的增长量，比较即可得答案；
第（2）问分别求出分配给四家、三家、两家、一家销售时的最大利润，比较即可得答案.
3．[2023北京]学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需，，，，，，七道工序，加工要求如下：
①工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，工序须在工序，都完成后进行.
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序.
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_ _ _ _ 分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要_ _ _ _ 分钟.
方法点睛
要根据加工的规则得到加工顺序，要考虑工序前后顺序和同时能进行工序的数量.
4．[2022北京]甲工厂将生产的Ⅰ号、Ⅱ号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为，，，，，每个包裹的质量及包裹中Ⅰ号、Ⅱ号产品的质量如下：
包裹编号 Ⅰ号产品质量/吨 Ⅱ号产品质量/吨 包裹的质量/吨
5 1 6
3 2 5
2 3 5
4 3 7
3 5 8
甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.
（1） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）；
（2） 如果装运的Ⅰ号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的Ⅱ号产品最多，写出满足条件的装运方案_ _ _ _ _ _ （写出要装运包裹的编号）.
方法点睛
1.要关注两个条件：装运的Ⅰ号产品不少于9吨且不多于11吨，以及载重不超过19.5吨；
2.要在（1）的基础上关注Ⅱ号产品最多这个条件.
5．[2025顺义一模]炼钢厂生产，，三种产品.每种产品加工完成均需生产和冷却两道工序.加工要求如下：
①生产工序每次只能生产一个产品；
②冷却工序可以多个产品同时进行；
③生产产品时可以同时冷却其他产品；
④每种产品的两道工序所需时间如表所示：
产品种类
生产时间/分钟 2 7 6
冷却时间/分钟 2 10 3
已知，，三种产品各生产一个.
（1） 若按照“”的顺序生产，并完成冷却，那么至少需要_ _ _ _ 分钟；
（2） 要使完成，，三种产品加工的总时间最短，则应按照_ _ _ _ _ _ _ _ 的顺序生产，并完成冷却.
方法点睛
（1）根据生产和冷却要求以及完成各道工序所需时间列式解答；
（2）根据，，三种产品生产和冷却的时间，分别计算出所有不同顺序下所需的总时间，取得最短时间.
6．[2024通州一模]某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作.具体筹备工作包含以下内容（见表）.其中，相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作.
工作代码 工作名称 持续时间/天 前期工作
张贴海报、收集作品 7 无
购买展览用品 3 无
打扫展厅 1 无
展厅装饰 3 C
展位设计与布置 3 ABD
展品布置 2 E
宣传语与环境布置 2 ABD
展前检查 1 FG
（1） 结束前期工作并完成“展厅装饰”最短需要_ _ _ _ 天；
（2） 完成本次展览会所有筹备工作最短需要_ _ _ _ 天.
方法点睛
（1）根据表格可知完成“展厅装饰”要完成 和 两项工作，从而可得需要的最少天数；
（2）根据表格可知完成 的时间里，可同时完成，，的工作，然后可同时进行，的工作，再进行，最后可进行 的工作，从而完成整个工作，即可得最短总工作时间.
类型2 推理未知元素类
7．[2023西城二模]下表是某市某年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对上一年度名次变化的情况，“ ”表示上升，“”表示下降，“—”表示名次没有变化.已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是_ _ _ _ ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （写出一种符合条件的排序）.
名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
区县
变化情况 — — —
8．[2025西城一模]某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）.修复每个景点所需的工人数和天数如下：
景点
工人数 4 3 2 5
天数 3 4 5 2
公园计划聘用人，用天的时间完成所有修复工作.
（1） 若，则的最小值是_ _ _ _ ；
（2） 假设每名工人每天的工资为元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为_ _ _ _ _ _ 元（用含的式子表示）.
方法点睛
面对比较复杂的信息先进行适当的筛选，将能够确定的信息确定下来，降低未知信息的个数.由于每个区县的名次变化都不超过两位，从前、后入手分别确定名次变化的区县上一年的排名可以作为本题突破点，将剩下区县的情况进行分类讨论.
9．[2024房山二模]某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为,,且,,均为正整数.三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 总分
甲 9
乙 22
丙 9
则的值为_ _ _ _ ，三名同学在五轮比赛中，_ _ _ _ （填“甲”“乙”或“丙”）同学获得的第二名最多.
方法点睛
（1）先修复，用3天，再修复，用1天，接着修复，用2天，最后完成 的修复用时2天，计算总时间即可；
（2）根据 的取值范围，列出符合条件的情况，算出所需的最少天数，比较找出工资总额的最小值.
题型四 平行四边形的证明与计算
类型1 平行四边形的证明与计算
1．[2025朝阳二模]如图，在四边形中，，相交于点，，点在上，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若， ，，，求的长.
2．[2024大兴一模]如图，在正方形中，点，分别在边，上，,连接,射线与的延长线交于点.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，,求线段的长.
3．[2025大兴一模]如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长至点，使，连接交于点，是的中点，连接，.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若，，求的面积.
4．[2024顺义一模]如图，在菱形中，，交于点，延长到点，使，连接.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 连接，若，，求的长.
类型2 特殊平行四边形的证明与计算
5．[2025海淀一模]如图，在中，，点在上，.过点，分别作，的平行线交于点.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求的长.
6．[2025石景山一模]如图，在四边形中，，平分，为的中点，连接，交于点，.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，求的长.
7．[2025平谷一模]在矩形中，点是上一点，连接，，过点作的平行线，过点作的平行线，两条平行线交于点，.
（1） 求证：四边形是矩形；
（2） 连接，若 ，，求的长.
8．[2024西城一模]如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，，，求菱形的面积.
题型五 方程（组）与不等式（组）的实际应用
类型1 方程（组）的实际应用
1．[2025朝阳二模]根据国家相关规定，新建小区的绿地率不得低于，旧小区改造的绿地率不得低于，一般地，绿地率可以看成绿地面积（包括覆土绿地和实土绿地）与小区总面积的比，其中实土绿地是指绿化层下面为真实的土地，其面积应占总绿地面积的以上，覆土绿地是指在人工铺设的土层上进行绿化，当覆土高度小于时，不算绿地面积；当覆土高度在至时，覆土面积的计入绿地面积；只有当覆土高度超过时，覆土面积才全部计入绿地面积.
某旧小区总面积为，绿地率只有，且其中覆土绿地的覆土高度都约为.现有一种改造方案，计划把原有覆土绿地的覆土高度都增加到以上，并增加实土绿地，从而使实土绿地的面积达到总绿地面积的.请判断按照该方案改造后，该小区的绿地率能否合格，并说明理由.
2．[2025房山一模]某校礼堂舞台正上方有一个长为的长方形电子显示屏，如图所示.每次活动都会在电子显示屏上显示主题活动的标题.由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：
边空宽∶字宽∶字距.每个字的字宽相等，每相邻两个字之间的字距相等.
若某次主题活动的标题有17个字，求字距是多少.
3．[2023北京]对联是中华传统文化的瑰宝.对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的.某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.（书法作品选自《启功法书》）
4．[2025大兴一模]小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路.走普通公路比走高速公路的路程多60千米，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百千米耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百千米耗电增加，该车选择的充电站充电费用均为1.5元/千瓦时.最终发现走普通公路的充电费用比走高速公路的充电费用少15元，求返回时所走高速公路的路程.
类型2 不等式（组）的实际应用
5．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将，两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件品种柑橘礼盒和15件品种柑橘礼盒的总价共3 500元.
（1） 求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元.
（2） 已知加工，两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元，60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共1 000盒，且售出品种柑橘礼盒的数量不超过品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54 050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种柑橘礼盒的销售方案 并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元.
6．某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
（1） 求A，B两种商品每件进价各为多少元.
（2） 该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？
7．某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.
（1） 求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2） 该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵
8．牡丹江某县级市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元.请解答下列问题：
（1） 特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2） 某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1 560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
题型六 一次函数综合题
类型1 函数值与函数值比较大小类
1．[2025大兴一模]在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点.
（1） 求与的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围.
2．[2025门头沟二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1） 求这个一次函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围.
3．[2024北京]在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1） 求,的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围.
4．[2025海淀一模]在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点.
（1） 求，的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围.
5．[2025平谷一模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点.
（1） 求一次函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围.
6．[2025昌平二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到的，且经过点.
（1） 求一次函数的表达式；
（2） 已知函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围.
类型2 函数值与实数比较大小类
7．[2025房山一模]在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点.
（1） 求该函数的解析式及点的坐标；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出的值.
8．[2025大兴二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，.
（1） 求该一次函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围.
9．[2025石景山二模]在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点.
（1） 求，的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求的取值范围.
10．[2025通州一模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点.
（1） 求一次函数的表达式及点的坐标；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围.
11．[2025房山二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点.
（1） 求这个一次函数的解析式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于1，直接写出的取值范围.
12．[2025东城二模]在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和.
（1） 求，的值；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围.
题型七 统计综合题
1．[2025海淀一模改编]某学校生物社团开展了一项关于“探究不同浓度生长素对绿豆幼苗生长的影响”的实验，社团成员将绿豆种子分别放置在5种不同浓度生长素溶液的培养皿中培养，每种浓度单位：设置6个重复组，一段时间后测量绿豆幼苗的高度单位：，得到相关的数据，对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
.不同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的平均数与中位数统计图如下：
.生长素浓度为15和20时，各重复组绿豆幼苗高度的数据如下：
生长素浓度 各重复组绿豆幼苗高度
15 9.9 10.0 10.1 10.2 10.7 10.7
20 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.2
.同浓度生长素溶液中的绿豆幼苗高度的方差如下：
生长素浓度 5 10 15 20 25
方差 0.108 0.083 0.067 0.041
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 补全统计图，并标明数据.
（2） 从不同生长素浓度下绿豆幼苗高度的平均数的变化趋势来看，生长素浓度为_ _ _ _ 时对绿豆幼苗生长的促进作用更大.
（3） 若将每组绿豆幼苗高度的平均数与生长素浓度看作两个变量，根据这组数据，尝试建立一个简单的函数模型来描述它们之间的关系，你认为可以选择的是_ _ _ _ （填序号）.
①正比例函数；②一次函数；③反比例函数；④二次函数.
（4） 请判断：_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
2．[2025大兴二模]为了解，，三款轮胎的最远行驶里程，某汽车制造厂商分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
.测试的轮胎中，两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下：
.测试的轮胎中款轮胎的最远行驶里程如下：
101 90 108 103 97 74 104 95
.测试的轮胎中，，三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如下：
轮胎
平均数 100 100
中位数 99 99
根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ .
（2） ，，三款轮胎最远行驶里程的平均数越大，轮胎质量越好.若最远行驶里程的平均数相同，则方差越小，轮胎的质量越好.则，，三款轮胎中质量最好的是_ _ _ _ .若该企业引进质量最好的这款轮胎8 000个，则估计最远行驶里程不低于的轮胎有_ _ _ _ 个.
3．[2025顺义一模]某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段.
（1） 初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.专业评委打分：
84 86 88 90 90 90 91 91 92 95 97 98
.群众评委打分的频数分布直方图如下数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
专业评委 91
群众评委 90.2 91
根据以上信息，回答下列问题：
① 写出表中，的值.
② 比赛规定初赛专业评委打分的平均数达到90及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手_ _ _ _ （填“能”或“不能”）直接获得复赛资格.
③ 比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级.当有一半及以上的评委打分超过95时，评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90时，评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过85时，评为三级.那么该选手的受欢迎等级为_ _ _ _ （填“一级”“二级”或“三级”）.
（2） 复赛由5名专家评委打分（百分制）.若某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致.5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91.前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手得分的平均数高于甲选手，且5名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是_ _ _ _ （打分为整数）.
4．[2025海淀二模]某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长.下面给出了部分信息.
.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图如下：
.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章.
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_ _ _ _ ，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
（2） 某年级抽取的10名学生综合得分的频数分布直方图如下数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组
① 该频数分布直方图反映的是_ _ _ _ （填“七”或“八”）年级学生的综合得分情况；
② 该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_ _ _ _ 组；
（3） 该校七年级有120名学生，八年级有100名学生.若所有学生都参与了该系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_ _ _ _ .
5．[2025大兴一模]为提高全民体重管理意识和技能，普及健康生活方式，建立体重管理支持性环境，国家卫生健康委、教育部、民政部等16个部门联合开展“体重管理年”活动.
身体质量指数是衡量人体胖瘦程度的常用指标.计算方法为体重 身高（体重单位：千克；身高单位：米）.我国规定18岁以上的成年人体重分类标准如表.
分类
体重过低
体重正常
超重
肥胖
某工厂为了解员工的身体质量指数情况，进行了抽样调查，过程如下：
.收集数据：
从该工厂男、女职工中各随机抽取30名职工，计算每名职工的后，按从小到大排序如下.
男职工： 17.3 17.6 17.9 18.7 19.0 19.6 20.2 20.6 20.7 20.8
21.3 21.5 21.6 21.8 22.1 22.3 22.4 23.1 23.2 23.4
23.5 23.5 23.6 23.7 24.0 24.1 25.1 27.7 29.3 30.6
女职工： 15.4 16.6 16.8 17.4 17.6 18.5 18.6 18.7 19.0 19.1
20.1 20.2 20.3 20.5 20.6 20.8 21.5 21.5 21.6 21.8
22.8 23.3 23.6 24.4 25.2 25.7 26.1 28.1 28.7 30.8
.整理数据：
男职工人数 3 21 4 2
女职工人数 5 4 3
.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
男职工 22.34 22.2
女职工 21.51 21.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 估计该工厂工人体重正常的人数占总人数的百分比为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 请对该工厂工人提出一条合理的体重管理建议：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
6．[2025昌平二模]某班级为组建“篮球班班赛”的代表队，对报名学生进行选拔测试，其中一项是“五个位置定点投篮”.以下是对甲、乙、丙三位同学投篮数据进行的整理、描述和分析：
.甲、乙、丙三位同学的投篮进球数条形图如图：
.甲、乙、丙三位同学五个位置投篮数据的中位数和总进球数如下：
甲 乙 丙
中位数 6 5
总进球数 30 29 30
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 补全条形统计图，表中的值为_ _ _ _ ；
（2） 从投篮进球数条形图中可知，甲、乙两位同学中，投篮水平发挥较稳定的是_ _ _ _ （填“甲”或“乙”）;
（3） 若在五个位置投篮，命中一次对应的得分如下表：
位置 位置一 位置二 位置三 位置四 位置五
命中分值 1 2 2 2 3
则从甲、丙两位同学中选拔出总分更高的同学进入代表队，应选_ _ _ _ （填“甲”或“丙”）.
题型八 圆的证明与计算
类型1 圆基本性质相关的证明与计算
1．如图，在中，直径垂直于弦于点，连接，，，作于点，交线段于点（不与点，重合），连接.
（1） 若，求的长；
（2） 求证：；
（3） 若，猜想的度数，并证明你的结论.
2．[2021北京]如图，是的外接圆，是的直径,于点.
（1） 求证:；
（2） 连接并延长，交于点，交于点，连接.若的半径为5，,求和的长.
方法点睛
圆综合题目的第二问常考查相似的知识点，当没有思路时可考虑寻找或构造相似三角形解题.
3．[2024石景山一模]如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且，连接.
（1） 求证：；
（2） 连接，，若，，求的长.
方法点睛
在一道几何题目中若出现两个中点，常常想到中位线的相关知识，比如圆中涉及垂径定理时，会出现垂足这一个中点，再结合圆心是直径的中点，可想到中位线的应用.
4．[2024东城二模]如图，在中，，于点，交的外接圆于点.连接，于点，交的延长线于点.
（1） 求证：；
（2） 当，时，求线段的长及的外接圆的半径长.
类型2 切线相关的证明与计算
5．[2025丰台一模]如图，，是的直径，点在上，连接交于点，连接交于点，.
（1） 求证：.
（2） 过点作的切线交的延长线于点.若，，求的长.
6．[2019北京]在平面内，给定不在同一条直线上的点，，，如图所示.点到点，，的距离均等于为常数，到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连接，.
（1） 求证：.
（2） 过点作，垂足为，作，垂足为，延长交图形于点，连接.若，求直线与图形的公共点个数.
7．[2025丰台二模]如图，是的直径，点，在上，于点.
（1） 求证：.
（2） 过点的切线交延长线于点.若，，求的长.
方法点睛
在解决圆综合题目相关计算时，常需要转移边和角，若题目中出现三角函数值，要想到等角的三角函数值相等，从而达到转移角的目的.
8．[2025朝阳二模]如图，为的直径，点，在上，平分，连接.
（1） 求证：.
（2） 过点作的切线，分别交，的延长线于点，，连接，交于点.若，，求的长.
9．[2025门头沟二模]如图，在中，，以为直径的与边、分别交于、两点，于点.
（1） 求证：是的切线；
（2） 如果,，求和的长.
方法点睛
在解决圆综合题目时，看到直径要想到利用直径所对圆周角为直角作辅助线，构造直角三角形.
10．[2025石景山一模]如图，是的直径，点在上，交于点，过点作的切线交的延长线于点.
（1） 求证：.
（2） 过点作交于点.若，，求半径的长.
11．[2025房山一模]如图，是的直径，点是上一点，是的切线.连接交于点，.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
12．[2025平谷二模]如图，为半圆所对的直径，为圆心，点在的延长线上，与半圆相切于点，过点作的垂线与的延长线相交于点，与半圆相交于点，连接，与相交于点.
（1） 求证：；
（2） 连接，，，求圆的半径.
题型九 探究新函数的图象与性质
类型1 生活背景下的新函数
1．[2025顺义一模]某人工智能模型用于图象识别.共有50 000幅图象，其中45 000幅图象用于模型学习，剩下的5 000幅图象用于模型学习后的评估测试.
下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：
学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13
学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905
学习后评估测试的正确率 0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800
（1） 根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用实线表达变化趋势.请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势.
（2） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率的差约为_ _ _ _ （结果保留小数点后三位）；
② 至少经过_ _ _ _ 次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；
③ 当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图象，估计_ _ _ _ 幅能被正确识别.
2．[2025朝阳二模]科创小组分别用，两台装置提取实验物质，当，两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积单位：和装置提取的实验物质的体积单位:，部分数据如下：
0 5 10 20 30 40 50 60 …
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 …
0 2.1 2.9 4.0 4.8 5.5 6.1 6.6 …
（1） 补全表格（结果保留小数点后一位）.
（2） 通过分析数据，发现可以用函数刻画与,与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
（3） 根据以上信息，解决问题：
① 若装置比装置早启动，则装置启动_ _ _ _ _ _ 时,两台装置提取的实验物质体积相同，约为_ _ _ _ _ _ _ _ （结果保留小数点后一位）；
② 在①的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取_ _ _ _ 实验物质（结果保留小数点后一位）.
3．[2025平谷二模]在科技活动中，数学小组的同学用所学数学知识和人工智能软件设计了三个形状不同的新水杯，并将其制作出来.三个水杯分别记为1号杯、2号杯和3号杯，当3个水杯中都有水时，测量并记录水面高度，分别记作、、，得到如下数据：
0 50 100 150 200 250 300 350 400
0 1.4 2.7 3.6 4.4 5.1 5.7 6.1 6.5
0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8
0 0.3 0.7 1.2 1.8 2.6 3.4 4.8 6.1
（1） 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，已经给出部分图象，描出其余各点，补全函数的图象；
（2） 以下是某同学绘制的三个杯子的轮廓示意图，根据表中数据和函数图象，填上三个杯子对应的杯号；
（3） 根据以上数据与函数图象估算，分别向三个杯子中注入等量的水，当2号杯与3号杯中的水面高度相同时，1号杯的水面高度约为_ _ _ _ （精确到小数点后1位），此时，若从1号杯中向2号杯和3号杯中各倒入一些水，使得三个杯子中的水面高度相同，则操作完成后三个杯子中水面高度约为_ _ _ _ （精确到小数点后1位）.
类型2 几何相关的新函数
4．[2025房山一模]如图，为半圆，为其所在圆的圆心，点是半圆上一动点，过点作于点.已知，设弦的长为，的面积为（当点与点或点重合时，的值为0）.
小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1） 通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如表：
0 1 1.5 2 2.5 3 3.45 3.5 3.8 3.9 4
0 0.12 0.39 0.87 1.52 2.23 2.60 2.59 2.13 1.62
的值为_ _ _ _ ；
（2） 建立平面直角坐标系，描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3） 结合画出的函数图象，解决问题：
当的面积为2时，的长度约为_ _ _ _ _ _ _ _ 精确到.
5．[2025顺义二模]上部是圆柱形，下部是圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为.先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体单位：和液体下降高度单位：，部分数据如下：
（1） 将表格补全（结果保留小数点后一位）.
0 100 160 200 300 350 400 450 500
0 1.5 2.4 _ _ _ _ 4.5 5.3 6.4 7.8 13.5
（2） 通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象.
（3） 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则_ _ _ _ （填“ ”“”或“ ”）；
② 如图2，两个该种型号的漏斗和，它们的底部出液口开关均已关闭，装满液体，是空的.先将中的一部分液体倒入中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上.此时，和的出液口距离桌面的高度均为，的液面距离桌面的高度为，则的液面距离桌面的高度约为_ _ _ _ （结果保留小数点后一位）.
6．[2025大兴一模]【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，那么这个矩形的周长是否存在最大值或最小值
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，因此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）.
图1 图2
如图1，在该反比例函数图象上任取一点，作出矩形.为探究它的周长的最大值或最小值情况，点在不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下：
… 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 …
… 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 …
【思维呈现】
（1） 矩形的面积为_ _ _ _ ；
（2） 根据上面表格中的数据，以的值为横坐标，的值为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接；
（3） 根据以上信息，判断存在最_ _ _ _ 值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为_ _ _ _ （结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】
（4） 若一个面积为6的圆的周长记为，则_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
题组训练5（平行四边形+应用题+一次函数+统计）
1．（6分）如图，在四边形中，，，.点在对角线的延长线上，连接，.
（1） 求证：；
（2） 若，，，求的长.
2．（6分）小明同学看了拼木板的魔术后，也找了8块大小、形状均一样的长方形木板，第1次按如图1所示的方式，恰好可以拼成一个大长方形，第2次拼成了如图2所示的正方形，可是中间留下了一个洞，经测量，发现这个洞刚好可以塞进一块边长为的正方形木板.求每块小长方形木板的长和宽.
图1 图2
3．（5分）在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点,且与函数的图象关于轴对称.
（1） 求这个一次函数的解析式;
（2） 当时,对于的每一个值,函数的值都大于一次函数的值，直接写出的取值范围.
4．（5分）某校九年级组织600名学生参加了一次 “汉字听写”大赛.赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于60分（成绩取整数，总分100分），为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本，成绩如下：
90，92，81，82，78，95，86，88，72，66，62，68，89，86，93，97，100，73，76，80，77，81，86，89，82，85，71，68，74，98，90，97，100，84，87，73，65，92，96，60.
对上述成绩进行了整理，得到以下不完整的统计表：
成绩分 频数 频率
6 0.15
8 0.2
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） _ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（2） 请补全频数分布直方图；
（3） 若成绩在90分以上（包括90分）的为“优等”，请你估计参加这次比赛的600名学生中成绩为“优等”的有多少人.
题组训练6（一次函数+统计+圆综合+函数图象探究）
1．（5分）在平面直角坐标系中,函数的图象经过点，.
（1） 求该函数的表达式；
（2） 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围.
2．（5分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，相关信息如下：
.30名学生A，B两门课程成绩统计图：
.30名学生A，B两门课程成绩的平均数如下：
A课程 B课程
平均数 85.1 80.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1） 在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分.请在统计图中用“”圈出代表甲同学成绩的点.
（2） 这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，直接写出，的大小关系.
（3） 若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数.
3．（6分）如图，是的直径，是上一点，过点作直线，使.
（1） 求证：是的切线；
（2） 点是弧的中点，连接并延长，分别交,于点,，若，，求线段的长.
4．（6分）如图，为的直径上的一个动点，点在上，连接，，过点作的垂线交于点．已知，，设，两点间的距离为，，两点间的距离为.
某同学根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1） 通过取点、画图、测量及分析，得到了与的几组对应值，如下表，将表格补充完整；
0 1 _ _ _ _ 2.5 3 3.5 4 5
4.0 4.7 5.0 4.8 _ _ _ _ 4.1 3.7 _ _ _ _
（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）
（2） 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3） 结合画出的函数图象解决问题：当时，的长度约为_ _ _ _ （结果保留一位小数）.
题组训练7（平行四边形+应用题+圆综合+函数图象探究）
1．（6分）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若，， ，求的值.
2．（6分）为了促进学生加强体育锻炼,某中学从去年开始,每周除体育课外,又开展了“足球俱乐部1小时”活动.去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2 880元,购买B品牌足球共花费2 400元,且购买A品牌足球数量是B品牌足球数量的1.5倍,每个足球的售价,A品牌比B品牌便宜12元.今年由于参加俱乐部人数增加,需要从该店再购买A，B两种品牌的足球共50个,已知该店今年对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年提高了,B品牌比去年降低了,如果今年购买A,B两种品牌的足球的总费用不超过去年总费用的一半,那么学校最多可购买多少个B品牌足球
3．（6分）如图，为的直径，为上一点，过点作的切线，交的延长线于点，为的中点，连接并延长交于点，连接,.
（1） 求证：；
（2） 若，，求的长.
4．（6分）某蔬菜批发基地为指导2025年的番茄销售，对历年的市场行情和供求情况进行了调查统计，得到番茄的售价（单位：元/千克）与相应需求量（单位：吨）以及供给量（单位：吨）的几组数据：
售价（元/千克） … 2 3 4 5 6 …
需求量吨 … 9.5 8.875 8 6.875 5.5 …
供给量吨 … 1 2 3 4 5 …
（1） 根据表中数据，供给量与售价之间满足_ _ _ _ 函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”），它的函数表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；需求量与售价之间近似满足函数关系，它的函数表达式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3） 结合函数图象，解决问题：为使番茄的供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为_ _ _ _ 元/千克（结果精确到）.
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