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2026北京中考数学专题
突破三 压轴题型
题型十 二次函数综合
类型1 函数值的大小关系相关问题
角度1 常规的大小比较
1．[2025石景山一模]在平面直角坐标系中.已知抛物线.
（1） 当时，求抛物线的顶点坐标.
（2） 点，，在抛物线上.若对于，都有，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：当时,抛物线为.
抛物线的顶点坐标为.
（2） 抛物线的对称轴为直线,, 当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大.
由题意得,点在对称轴右侧,点在对称轴左侧,
点在抛物线上.
①当时,
点关于直线的对称点为.
,.
,
.
②当时,
点关于直线的对称点为.
,.
,，.
综上所述,的取值范围是或.
2．[2024北京]在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1） 当时，求抛物线的顶点坐标.
（2） 已知和是抛物线上的两点.若对于,，都有,求的取值范围.
【答案】
（1） 解：把代入得，，
抛物线的顶点坐标为.
（2） , 抛物线的对称轴为直线,分两种情况讨论：
①当时，如图，由可得,；
②当时，如图，由可知,解得.
综上，或.
3．[2025海淀二模]在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点.
（1） 当，时，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：当,时,点为.
点在抛物线上,
.解得.
（2） 抛物线的对称轴为直线,则当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小.
对于,
①若,
,,,
,.
,
,.
,
.
,.
②若,则,必有,不符合题意.
③若,
,,,
.
,符合题意.
综上所述,的取值范围是或.
4．[2025东城二模]在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上.
（1） 求的值；
（2） 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围.
【答案】（1） 解：将代入,得,.
（2） 由（1）可知,可得抛物线.
对称轴为直线.
, 抛物线开口向下.
时,随的增大而增大,时,随的增大而减小.
点向左平移2个单位长度,得,则点在抛物线上.
①当时,点关于对称轴的对称点为.
此时,,.
,.
.
②当时，点为顶点，此时最大，不符合题意.
③当时,点关于对称轴的对称点为.
此时,,.
,
.
综上所述,的取值范围是或.
角度2 复杂的大小比较
5．[2025西城一模]在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为直线.
（1） 当时，求的值；
（2） 点，是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：当时,抛物线为，
，.
（2） 抛物线的对称轴为直线,且.
①若,此时,
则当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小.
当时,
,成立.
当时,
当时,对于的每一个值,总存在,使得,,且成立，,
，.
当时,,,不合题意,舍去.
②若,此时,
则当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大.
,,
满足题意.
综上所述,的取值范围是或.
6．[2025朝阳二模]在平面直角坐标系中，点，在抛物线上.
（1） 当时，求抛物线与轴交点的坐标；
（2） 若对于任意的，，总有，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：当时,抛物线为，
令,则.
解得或，
抛物线与轴交点的坐标为,.
（2） 由可知,抛物线的对称轴为直线,抛物线与轴交点的坐标为,.
,.
①若,则当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小. 当或时，；当时，.
当时,,若,
则,不符合题意.
当时,,，
,，,,.
符合题意.
当时,.
若,则,不符合题意.
②若,则当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大. 当或时，；当时，.
,，.
，,,不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
7．[2025昌平二模]在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1） 写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2） 若点，，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；
（3） ，是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围.
【答案】（1） 解：对称轴为直线.
（2） 令,得,.
抛物线与线段必有一个交点.
抛物线与线段只有一个交点,
或或,
或或.
综上所述,的取值范围为或或.
（3） .
【解析】
（3） 将代入，
.
将代入，
.
.
，.
.
,
.
8．[2025石景山二模]在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合.
（1） 直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；
（2） 将抛物线在点，之间的部分含，上所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分含，上所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围.
【答案】（1） 解：,.
（2） 抛物线的对称轴为直线.
由题意得,点在点的左侧,点与关于对称轴对称,.
,,,四点中,任意两点不重合,
,,,,,
,,,,.
,
当时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小.
,,
,,
,.
,.
此时,点在对称轴的左侧.
点关于直线的对称点为.
当时，,成立.
当时，,
,，
，.
综上所述,的取值范围是且且且.
类型2 抛物线中线段长度变化问题
9．在平面直角坐标系中，抛物线为常数且的顶点为.
（1） 求点的坐标.
（2） 当时，抛物线的最高点为，若点的纵坐标为24，求抛物线的表达式.
（3） 若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方.当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：对称轴为直线，
将代入中得， 点的坐标为.
（2） ，， 点的横坐标为，将代入中，
得，解得，
.
（3） 把代入中，得，
将代入中，
得，解得，
，
令，解得,，
点在点的下方，
的取值范围是.
点，的坐标可分别表示为，，
.
，对称轴为直线，
当时，线段的长度随的增大而减小，
.
10．已知抛物线与形状相同，开口方向不同，其中抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），且；抛物线与交于点和点.
（1） 求抛物线，的表达式；
（2） 当抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大时，求的取值范围；
（3） 直线轴，与轴，，分别相交于点，，，当时，求线段的最大值.
【答案】
（1） 解：由题意可知，抛物线的对称轴为直线.
抛物线交轴于，两点（点在点左侧），且，
，.
把代入，解得, 抛物线的表达式为,
把代入，解得,.
抛物线与形状相同，开口方向不同， 设抛物线的表达式为.
把，代入，
得解得
抛物线的表达式为.
（2） 观察图1可知，当在两个抛物线的顶点横坐标之间时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
图1
,,
的取值范围是.
（3） 直线轴，分别交轴，，于点，，，
，
.
①如图1，当时，.
当时，的最大值为4.
图1
②如图2，当时，
图2
.
当时，的最大值为12.
综上所述，线段的最大值是12.
题型十一 几何综合
类型1 倍长中线构造全等
1．[2025丰台二模]在中，， ，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接.
（1） 如图1，当点与点重合时，求证：；
图1
（2） 如图2，当点在外部时，与交于点，取的中点，连接，，直接写出的大小，并证明.
图2
【答案】
（1） 证明:由题意可知,, .
.
, ,
.
,.
（2） 解：的大小为 .
证明:如图,延长至点,使得,连接,,.
是的中点,
.
,
.
,.
.
, ,
在四边形中, .
,
.
,.
,
,.
,,
.
2．[2025平谷二模]已知线段，将线段绕着点顺时针旋转 得到线段，平面上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转 得到线段，与相交于点.
（1） 求证：.
（2） 连接，取的中点，连接，.依题意补全图形，判断线段与之间的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 证明： ，
，
，
.
（2） 解：.
证明：如图，延长到，使得，连接，，.
，，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，.
类型2 手拉手模型构造全等
3．[2025通州一模]以为斜边在它的同侧分别作和，其中 ，，、交于点.
（1） 如图1，当平分时，求证：.
图1
（2） 如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交，于点，点.
图2
① 依据题意补全图形；
② 求证：是的中点.
【答案】
（1） 证明:过点作于点,平分,, ,,
,,
,
,
,.
（2） ① 补全图形如图.
② 证明:如图,连接，.
, ,
, ,
,
,
,
,
.
在和中,
,
,,,
,,
,是的中点.
4．[2025房山一模]如图，在中， ，，是边上一点.为的中点.将线段绕点顺时针旋转 得到，连接.
（1） 依题意补全图形；
（2） 若点是的中点，连接和，猜想线段与之间的数量关系和位置关系，并证明.
【答案】
（1） 解：补全图形如图.
（2） ，.
证明：连接，，，，延长交于点，连接.设交于点.
由题意得，都是等腰直角三角形， ，，，
，，
，
，
，
，，，
，，
，，
又，，
，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
，.
类型3 利用等边构造全等
5．[2025大兴一模]已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点逆时针旋转 得到射线，过点作交于点，连接.
（1） 求的大小（用含 的式子表示）；
（2） 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 解：延长交的延长线于点，如图1，
图1
，
，
根据题意得 ，
四边形是正方形，
，，
，， ，
.
（2） .
证明：过点作且，连接，，如图2，
图2
则 ，
，，
，，
，
， ，
由（1）得 ，
.
将射线绕点逆时针旋转 得到射线，，
，
，，
，
.
在中，，
.
6．[2025东城一模]如图，在中， ，，点在上，过点作，交的延长线于点，连接，，以为底作等腰直角三角形（点，在直线的异侧），连接.
（1） 依题意补全图形；
（2） 求证：；
（3） 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 解：补全图形如图.
（2） 证明：在中， ，，
.
， .
.
.
.
（3） .
证明：如图，延长到点，使，连接，.
是以为底的等腰直角三角形，， .
.
，.
.
.
.
，.
，
.
由（2）得，
.
.
在中， ，为的中点，
.
类型4 构造中位线转移边
7．[2025丰台一模]如图，在中，，，为延长线上一点，过点作射线，为射线上一点（不与点重合），连接.将线段绕点逆时针旋转 得到线段，连接.
（1） 求证：.
（2） 连接，作，交射线于点.连接交于点，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 证明:由题意可知,, .
,,
,
.
,,
.
, ,
,
,
，
,
.
（2） 解：.
证明:如图，在射线上截取,连接.
由（1）知,
.
,
.
,.
,,
,
,.
, ,
,
,.
,,
是的中位线,
,.
8．[2025房山二模]在和中， ，，，连接，，点是的中点，连接.
（1） 如图1，当点在线段上时，线段与线段之间的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
图2
【答案】（1） .
（2） 解：成立.
证明：延长到，使，连接，设的中点为，连接，如图，
，
，
，
，
，，
，，
，，
点是的中点，点是的中点，，，
，，
，
，点是的中点，
是的中位线，
，.
类型5 构造辅助圆转移角
9．[2025海淀一模]如图，在中，，，于点，将射线绕点顺时针旋转 得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接.
（1） 依题意补全图形，并求的大小（用含 的式子表示）.
（2） 在上取点，使，连接.用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 解：补全图形如图.
由题意可得 ,
.
,,.
,
，,
，
.
.
（2） .
证明:过点作于,连接,如图，
.
,.
由（1）得,,
,,在以为圆心,的长为半径的圆上. .
,,
,
.
,,
,
.
, ,
.
,
.
,
.
10．[2025平谷一模]已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点，，恰好在一条直线上.
（1） 如图1，求 与 的数量关系.
图1
（2） 如图2，当 时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与之间的数量关系，并证明.
图2
【答案】
（1） 解：由题意可得， ， ，
，
，
，
.
（2） 补全图形如图..
证明：过点作于点，连接，，如图.
， ，
， ，
， ，
，，
，
，，，
， ，
，
，
，，，四点共圆，
，为该圆的圆心，
.
， ，
，，
，
，
，，
，
，
，，，
，
.
类型6 先猜后证类
11．[2025朝阳二模]在中， ， ，为射线上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转 得到线段，线段与直线相交于点.
（1） 如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
（2） 若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的 ，画出相应的图形，并证明.
【答案】
（1） 解：.
证明:连接，设与的交点为.
由题意可知,, .
, ,
,，
,,，，， ，在中，，.
（2） .图形如图所示.
证明：如图，作于点.
由题意可知，， .
.
，
，
，，
，
，.
, ，
，.
,,
，
，.
，，
，
.
方法点睛
对于先猜后证类的几何综合题，在解决最后一小问时，首先需要考虑到前面小问的证明过程和结论，其次，画图是关键.将两者结合会更容易得出问题中需要猜的元素.
注意猜出的元素是需要作为条件使用的.
12．[2019北京]已知 ，为射线上一定点，，为射线上一点，为线段上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段顺时针旋转 ，得到线段，连接.
（1） 依题意补全图形.
（2） 求证：.
（3） 点关于点的对称点为，连接.写出一个的值，使得对于任意的点总有，并证明.
【答案】
（1） 解：补全图形如图.
（2） 证明：设 ，
由题意可得 ，.
.
，
.
.
（3） .
证明：过点作于点，过点作于点，如图，
.
，，
.
.
，.
，
，
即.
又，
.
，.
设，则，.
点关于点的对称点为，
.
.
.
.
题型十二 新定义
开锦囊
瓜豆模型
思考 如图1，是圆 上一个动点，为定点，连接，点 为线段 的中点，那么当点 在圆 上运动时，点的运动轨迹是什么？
图1
探究 考虑到 点始终为线段 的中点，当，，三点不共线时，如图2，连接，取 的中点，连接，，那么在任意时刻，均有，易得相似比为，故，即，则 点的运动轨迹是以线段 的中点 为圆心，的长为半径的圆.
同理思考，如图3，点 是定点，点 是直线 上的动点，连接，作线段，且使.根据上面的探究，容易知道如果 点的运动轨迹是直线，那么 点的运动轨迹也是直线.
图2 图3
例题 如图4，在 中，， ，是 的中点，是直线 上的一个动点，连接，将线段 绕点 逆时针旋转 得到，连接，在点 运动的过程中，请画出线段 的长最小时，点 的位置.
图4
分析：此题中，点 为定点，线段，长度相等，又是定角，点的运动轨迹为直线，则根据瓜豆模型，可判断 点的运动轨迹也为直线.那么我们就可以找到两点确定出点 所在的直线.如图5，当点 分别与，两点重合时，按题意旋转线段，分别得到，两点，则直线 就是点 的运动轨迹，再根据垂线段最短可知，当点 在如图所示的位置时，线段 的长最小.
图5
总结 若两动点到某定点的距离的比值是定值，两动点与定点连线的夹角是定角，则两动点的运动轨迹形状相同.主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆.这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆模型（瓜豆原理），其本质知识点是全等和相似.
类型1 与三大变换相关的新定义
1．[2024北京]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和不在直线上的点,给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且 ,则称点是弦的“ 可及点”.
（1） 如图，点,.
① 在点,,中，点_ _ _ _ _ _ 是弦的“ 可及点”，其中_ _ _ _ ；
② 若点是弦的“ 可及点”，则点的横坐标的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知是直线上一点，且存在的弦,使得点是弦的“ 可及点”.记点的横坐标为,直接写出的取值范围.
【答案】① ；45.
② .
（2） 或.
【解析】
② 解：如图，取的中点，连接，
，，
点在以为圆心，的长为半径的上方半圆上运动（不包括端点，）， 当轴时，点横坐标最大，如图，
点，，
，，
，
，
点的横坐标的最大值为.
（2） 由题意得点在与关于直线对称的上或其内部，
作出的外接圆，连接,，如图，
点在以为圆心，的长为半径的优弧上运动（不包括端点，）， ， ，
易得点，,在的垂直平分线上，连接，记与交于点，
，
.
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点在上，即为临界状态，此时最大，，
连接,，如图，
， ,是等边三角形，
，的最大值为2.
设，则，令，
解得或，
记直线与交于,，与轴交于点，过点作轴于点，连接，如图，
当时,，当时，，解得，，
， ,又,
为等边三角形，
，,，
，
的取值范围是或.
2．[2022北京]在平面直角坐标系中，已知点,.对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”.
（1） 如图，点,点在线段的延长线上，若点,点为点的“对应点”.
① 在图中画出点；
② 连接,交线段于点，求证：.
（2） 的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接.当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）.
【答案】
① 解：点如图所示.
② 证明：依题意可知的坐标为，的坐标为，
,,
易知，
，
，
和关于点对称，
，，
，，
，，
.
（2） .
【解析】
（2） 是上一点，，在以点为圆心，1为半径的圆上，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，如图，则点在以点为圆心的圆上，
、分别为，的中点，
，
，
，
，
,
在以为圆心，半径的圆上运动，
,,
.
3．[2025丰台一模]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和平面内的点，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点旋转 后得到的对应点在上，则称点是弦的“伴随点”.
（1） 如图，点，.
① 在点，，中，弦的“伴随点”是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若点是弦的“伴随点”，则点的横坐标的最小值为_ _ _ _ .
（2） 已知直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在长度为1的的弦，使得点是弦的“伴随点”.直接写出的取值范围.
【答案】① ，.
② -1.
（2） 或.
【解析】
（2） 解：如图，，
把分别绕，旋转 得到与，连接，，，
此时在上，在上，且，
作，的切线，设，外切于，连接交切线于，
，，
此时，
弦的“伴随点”在以为圆心，3，分别为半径的圆构成的圆环内（包括边界）.
如图，
一定在该圆环内（包括边界），
，
当直线切圆环中的小圆于点时，连接，则，此时，，都为等腰直角三角形，或.
综上，的取值范围为或.
4．[2025门头沟二模]在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点.对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点.
如图，已知点.
（1） 点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过.
① 在上述条件下，_ _ _ _ ；
② 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围；
③ 当在轴正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围.
【答案】（1） ，.
（2） ① 2.
② .
③ .
【解析】
② 解：由①得，
如图所示，线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，先中心对称再平移，得到线段，
当时，，则，，
，
， ，
连接，当在上且不与点重合时，则为等边三角形，，
，，
结合图形可得线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部时，.
③ 如图所示，与直线经过反射平移后的直线相切为临界状态.
连接并延长交于点，连接，则轴，， ，，
，
，
轴，
,
，
又，
，解得，
的半径的取值范围为.
类型2 与特殊几何图形相关的新定义
5．[2025西城一模]对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角 的等腰三角形，则称点为点关于的“关联点”.
在平面直角坐标系中，
（1） 如图，已知点，的半径为2.
① 在点,,，中，是点关于的“关联点”的是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若直线上存在点关于的“关联点”，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，点既是点关于的“关联点”，也是点关于的“关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围.
【答案】① ,.
② .
（2） .
【解析】
（2） 解：是轴上一动点，点满足，的半径为2，不妨令也在轴上，如图，
以为底边作等边三角形，，则点关于的“关联点”在以，为圆心，2为半径的与内或上.此时以为底边作顶角为 的等腰三角形，，则点关于的“关联点”在以，为圆心，为半径的与内或上，那么两圆公共部分即为点的可行区域，随着点在以为圆心，半径为4的上运动，公共部分到点的最大距离为，最小距离为，所以的取值范围为.
6．[2025平谷二模]在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若，且，则称点是线段的 美好点.
图1 图2
（1） 如图1，已知半径为2的与坐标轴交于点，，，点为弦上一点.
① 点为弦的中点时，在点，，中，线段的 美好点为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 当点在弦上运动时，若点是线段的 美好点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图2，已知半径为2的，点在上运动，点，若直线上存在线段的 美好点，直接写出的取值范围.
【答案】① ，.
② 或.
（2） .
【解析】
② 解：由，可得直线，
点在线段上运动，
设，且，
当点在左侧时，如图，过作轴，过作于点，过作于点，
易得是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
；
当点在右侧时，如图，
同理可得，
，，
，
.
综上，的取值范围为或.
（2） 在上任取一点，作等腰三角形，且 ，同样方向作等腰三角形，且 ，
易得，
，，
即在以为圆心，为半径的上运动，
同理也可以在以为圆心，为半径的上运动，
直线上存在的 美好点，即直线与或有交点，
当直线与相切时，如图，易得直线过点，
此时;
当直线与相切时，如图，易得直线过点，
此时.
综上所述，.
7．[2025西城二模]给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距.在平面直角坐标系中，已知点.
（1） 如图，点的坐标为.
① 在点,,，中，与点关于线段等角等距的点是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围.
【答案】① ,.
② .
（2） 或.
【解析】
① 解：由定义可知，，且，
，且的垂直平分线与线段交于点，根据定义，显然，与点关于线段等角等距的点是，.
② 由题可知，与点关于线段等角等距的点在上，
根据定义可知，，
，设点的坐标为，
当在轴下方时，
若的垂直平分线刚好过点，此时，
则，
解得或（舍去），
.
类型3 与特殊位置关系相关的新定义
8．[2025北京]在平面直角坐标系中,对于点和给出如下定义:若上存在两个不同的点,,对于上任意满足的两个不同的点,,都有,则称点是的关联点,称的大小为点与的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1） 如图,的半径为1.
① 在点,,中,点_ _ _ _ _ _ 是的关联点且其与的关联角度小于 ,该点与的关联角度为_ _ _ _ ；
② 点在第一象限,若对于任意长度小于1的线段,上所有的点都是的关联点,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 已知点,,,经过原点,线段上所有的点都是的关联点,记这些点与的关联角度的最大值为 .若 ,直接写出的取值范围.
【答案】① ；60.
② .
（2） 或或.
【解析】
① 解:根据定义可知，当点在上时，不存在，，对于上任意满足的点，都有；
当点在内部时，符合题意的，为过点的直径的两端点，此时点与的关联角度为 ；
当点在的外部，且，为的切线时，符合题意.
点在内，
点在外且与的关联角度大于 ，点在外且与的关联角度小于 ， 符合题意的关联点为点.
，的半径为1，
，，
是的切线，
，
，
，即点与的关联角度为 .
② 根据定义可得为外一点，
，的半径为1，，
当时，如图，取点，则 ，
，的最小值为.
（2） 设的关联点为点，半径为,由（1）可得，点在外或内.
当点在圆的外部，且，为圆的切线时，存在符合题意，且越大，点距离圆心越近.
当 时，如图，由 ，
易证四边形是正方形，
，
当 时，.
，，，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，，
线段上所有的点都在的圆环内.
.如图，当线段与半径为的圆相切时，
，,.
.如图，当线段与半径为的圆相切时，.
.
.如图，当线段在半径为的圆内且点在圆上时，,
，
解得，
时，线段上的所有点都在内部，此时 .
.如图，当线段在半径为的圆外且点在圆上时，,
则，，
解得（舍负），
,
时， .
综上所述，或或.
9．[2023北京]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和外一点给出如下定义：
若直线,中一条经过点,另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”.
（1） 如图，点,,.
① 在点,,中，弦的“关联点”是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若点是弦的“关联点”,直接写出的长.
（2） 已知点,.对于线段上一点,存在的弦,使得点是弦的“关联点”,记的长为,当点在线段上运动时，直接写出的取值范围.
【答案】① ，.
② .
（2） 或.
【解析】
① 解：与相切，经过点;与相切，经过点；与相切，不经过点.
② 当为的切线且过点时， ， ，；
当经过点且为的切线时， ， ，
.
两种情况中的长都是.
（2） 如图，在上任取一点,作直线,交于点，,过点作的切线，切点为,连接，，.
易得，均为直角三角形，,,
,
,的长越大，则的长越大，越大，的长越大，的长越小，故当的长最小时，的长最小，的长最大，当的长最大时，的长最大，的长最小.
当时，的长最小，如图，
易得,,
,
,,
, ，
为等边三角形，
,.
当点与点重合时，的长最大，如图，
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
解得（舍负）,.
综上，或.
10．[2025石景山一模]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于两点和，其中点在上，给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为，则称点是点的“关联点”.
备用图
（1） 如图，点.
① 在点，，中，点_ _ _ _ _ _ 是点的“关联点”，其中_ _ _ _ _ _ ；
② 若点是点的“1关联点”，则点的横坐标的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 直线与轴，轴分别交于点，.对于线段上任意一点，都存在上的点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围.
【答案】① ；.
② .
（2） .
【解析】
① 解：如图1，
图1
的垂直平分线与相切，的垂直平分线与相离，的垂直平分线交于,，.
② 如图2，
图2
作半径，以为边作等边三角形，则，作 直线，且平分，
作于，则，以为圆心，的长为半径作圆，则小圆的切线截大圆所得的弦的长是1，当轴且在轴右侧时，点的横坐标最大，此时.
（2） 如图3，
图3
由题意得，作的一条弦，作于，以为圆心，为半径作圆，则该圆的切线截大圆所得的弦长是，则，
作大关于该弦的对称的圆，当在这些圆形成的圆内时，满足条件，
不妨作弦，且轴，作关于的对称圆，则，
当点在上时，，解得,（舍去），
当与大相切时，切点与大上点的连线的垂直平分线截大所得的弦是直径，其长是2，但此时，不符合题意.
综上，的取值范围为.
题组训练8 （二次函数+几何综合+新定义）
1．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1） 当时，
① 求抛物线的对称轴；
② 若点，都在抛物线上，且，求的取值范围.
（2） 已知点，将点向右平移3个单位长度，得到点.当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
【答案】
① 解：,
.
对称轴为直线.
② 抛物线过点，且抛物线的对称轴为直线,由抛物线的对称性可知,抛物线也一定经过点关于直线的对称点,
点,都在抛物线上,且,.
（2） 由题意得.
,
,
抛物线过点.
当抛物线的顶点为点时，如图,.
抛物线与线段恰有一个公共点,.
当抛物线的顶点为点时,如图，.
当抛物线过点时,如图，
抛物线与线段恰有一个公共点,.
综上,的取值范围为或或.
2．（7分）在等边中,点是边上一点,作点关于直线的对称点,连接,,作于点.
（1） 若 ,依题意补全图1,并直接写出的度数.
（2） 如图2,若,
① 求证:；
② 用等式表示线段,,之间的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 解：补全图形如图所示， .
（2） ① 证明:连接.
根据题意得.
, .
是等边三角形,
.
.
,,
.
.
② .
证明:如图,在上截取,连接.
是等边三角形,.
又,
.
,.
.
.
.
3．（7分）在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点被称为图形关于直线的最佳射影点.
（1） 如图，已知，，则线段关于轴的最佳射影距离（，轴）_ _ _ _ ；
（2） 已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离（，轴），并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标；
（3） 直接写出点关于直线的最佳射影距离（点，）的最大值.
【答案】（1） 3.
（2） 解：如图,连接,过点作轴于点.
设,
,,
,
,
设,则有,
两边平方整理得,
,,
易得,,
（,轴）,
此时,解得,
,解得或.
点的坐标为或.
（3） .
题组训练9 （二次函数+几何综合+新定义）
1．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点.
（1） 若,
① 求此抛物线的对称轴；
② 当时，直接写出的取值范围.
（2） 已知点，在此抛物线上，其中，若，且，比较，的大小，并说明理由.
【答案】
① 解：,
抛物线经过点,,
解得 此抛物线的对称轴为直线.
② .
（2） .理由如下:
抛物线经过点,
.
,,解得.
设抛物线的对称轴为直线,
则.
..
,.
, 抛物线开口向上.
.若,则,不符合题意;
.若,则;
.若,则,
,可得.
综上,.
2．（7分）如图,是的边上的高,点关于直线的对称点为,连接，为线段上一点（不与点重合）,.
（1） 比较与的大小.
（2） 用等式表示线段,之间的数量关系,并证明.
（3） 连接,取的中点,连接.判断与的位置关系,并证明.
【答案】
（1） 解：如图1,过点作于点.
点关于直线的对称点为,
平分.
,,
.
又,
.
.
图1
（2） .
证明:如图2,连接,在上截取,使得,连接.
图2
,.
点关于直线的对称点为,
,,
.
,,
.
.
又,.
（3） .
证明:如图3,在图2的基础上连接.
图3
点关于直线的对称点为,
,.
由（2）知,
.
由（2）知,
又,.
.
3．（7分）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点，重合），则称为的“点关联三角形”.
（1） 如图，的半径为1，点为的“点关联三角形”.
① 在，这两个点中，点可以与点_ _ _ _ _ _ _ _ 重合；
② 点的横坐标的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 的半径为1，点，点是轴负半轴上的一个动点，点在轴下方，是等边三角形，且为的“点关联三角形”，设点的横坐标为，求的取值范围.
（3） 的半径为，直线与在第一象限内的交点为，点.若平面直角坐标系中存在点，使得是等腰直角三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围.
【答案】① .
② .
（2） 解：是等边三角形,
, .
当 时,如图1,则 .
图1
为的半径，
与相切于点.
当 时,过点作轴于点,连接交于点,如图2,则 .
图2
,
.
.
,垂直平分.
,.
.
.
，
.
的取值范围是.
（3） 或.
题组训练10 （二次函数+几何综合+新定义）
1．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线过点，.
（1） 直接写出的值和此抛物线的对称轴；
（2） 若此抛物线与直线没有公共点，求的取值范围；
（3） 点，在此抛物线上，且当时，都有，直接写出的取值范围.
【答案】（1） 解：,对称轴为直线.
（2） 当时,
此抛物线与直线没有公共点,
此抛物线顶点的纵坐标大于.
抛物线的对称轴为直线,
,即.
当时,,
,
解得.
当时,此抛物线与直线一定有公共点,不符合题意.
综上,的取值范围为.
（3） 或.
2．（7分）已知， ，直线是过点的一条动直线（不与直线，重合），分别过点，作直线的垂线，垂足为，.
（1） 如图，若 .
① 求证：；
② 连接，过点作于，过点作交的延长线于点，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系，并证明.
（2） 在直线运动的过程中，若的最大值为3，直接写出的长.
【答案】
① 证明: ,
.
, .
.
,.
,.
,.
,.
② 解：补全图形如图所示.
线段,,的数量关系为.
证明:,
.
, .
.
, .
.
.
于, .
.
,
.
,,
,.
在中,,
.
（2） .
3．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，，且，两点中至少有一点在外.给出如下定义：平移线段，得到线段（，分别为点，的对应点），若线段上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值被称为线段到的“平移距离”.
图1 图2
（1） 如图1，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为_ _ _ _ ，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2，若点的坐标为，线段到的“平移距离”为1，画出所有满足条件的点形成的图形并加以说明（不需证明）.
【答案】（1） 2；.
（2） 解：如图,,,以点为圆心,1为半径画圆,可知点,在上.所有满足条件的点形成的图形为.
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2026北京中考数学专题
突破三 压轴题型
题型十 二次函数综合
类型1 函数值的大小关系相关问题
角度1 常规的大小比较
1．[2025石景山一模]在平面直角坐标系中.已知抛物线.
（1） 当时，求抛物线的顶点坐标.
（2） 点，，在抛物线上.若对于，都有，求的取值范围.
2．[2024北京]在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1） 当时，求抛物线的顶点坐标.
（2） 已知和是抛物线上的两点.若对于,，都有,求的取值范围.
3．[2025海淀二模]在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点.
（1） 当，时，求的值；
（2） 若对于，，都有，求的取值范围.
4．[2025东城二模]在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上.
（1） 求的值；
（2） 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围.
角度2 复杂的大小比较
5．[2025西城一模]在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为直线.
（1） 当时，求的值；
（2） 点，是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围.
6．[2025朝阳二模]在平面直角坐标系中，点，在抛物线上.
（1） 当时，求抛物线与轴交点的坐标；
（2） 若对于任意的，，总有，求的取值范围.
7．[2025昌平二模]在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1） 写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）；
（2） 若点，，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；
（3） ，是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围.
8．[2025石景山二模]在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合.
（1） 直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）；
（2） 将抛物线在点，之间的部分含，上所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分含，上所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围.
类型2 抛物线中线段长度变化问题
9．在平面直角坐标系中，抛物线为常数且的顶点为.
（1） 求点的坐标.
（2） 当时，抛物线的最高点为，若点的纵坐标为24，求抛物线的表达式.
（3） 若直线与抛物线其中一个交点的横坐标为2，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的下方.当线段的长度随的增大而减小时，求的取值范围.
10．已知抛物线与形状相同，开口方向不同，其中抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），且；抛物线与交于点和点.
（1） 求抛物线，的表达式；
（2） 当抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大时，求的取值范围；
（3） 直线轴，与轴，，分别相交于点，，，当时，求线段的最大值.
题型十一 几何综合
类型1 倍长中线构造全等
1．[2025丰台二模]在中，， ，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接.
（1） 如图1，当点与点重合时，求证：；
图1
（2） 如图2，当点在外部时，与交于点，取的中点，连接，，直接写出的大小，并证明.
图2
2．[2025平谷二模]已知线段，将线段绕着点顺时针旋转 得到线段，平面上一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转 得到线段，与相交于点.
（1） 求证：.
（2） 连接，取的中点，连接，.依题意补全图形，判断线段与之间的数量关系，并证明.
类型2 手拉手模型构造全等
3．[2025通州一模]以为斜边在它的同侧分别作和，其中 ，，、交于点.
（1） 如图1，当平分时，求证：.
图1
（2） 如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交，于点，点.
图2
① 依据题意补全图形；
② 求证：是的中点.
4．[2025房山一模]如图，在中， ，，是边上一点.为的中点.将线段绕点顺时针旋转 得到，连接.
（1） 依题意补全图形；
（2） 若点是的中点，连接和，猜想线段与之间的数量关系和位置关系，并证明.
类型3 利用等边构造全等
5．[2025大兴一模]已知正方形，点是边上一点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，作射线，将射线绕点逆时针旋转 得到射线，过点作交于点，连接.
（1） 求的大小（用含 的式子表示）；
（2） 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明.
6．[2025东城一模]如图，在中， ，，点在上，过点作，交的延长线于点，连接，，以为底作等腰直角三角形（点，在直线的异侧），连接.
（1） 依题意补全图形；
（2） 求证：；
（3） 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
类型4 构造中位线转移边
7．[2025丰台一模]如图，在中，，，为延长线上一点，过点作射线，为射线上一点（不与点重合），连接.将线段绕点逆时针旋转 得到线段，连接.
（1） 求证：.
（2） 连接，作，交射线于点.连接交于点，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
8．[2025房山二模]在和中， ，，，连接，，点是的中点，连接.
（1） 如图1，当点在线段上时，线段与线段之间的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
图1
（2） 如图2，当点在内部时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
图2
类型5 构造辅助圆转移角
9．[2025海淀一模]如图，在中，，，于点，将射线绕点顺时针旋转 得到射线，过点作的垂线交于点，交射线于点，连接.
（1） 依题意补全图形，并求的大小（用含 的式子表示）.
（2） 在上取点，使，连接.用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明.
10．[2025平谷一模]已知线段，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，再将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，点，，恰好在一条直线上.
（1） 如图1，求 与 的数量关系.
图1
（2） 如图2，当 时，过点作的垂线交的延长线于点，取的中点，连接，在上截取，连接，依题意补全图形；判断线段与之间的数量关系，并证明.
图2
类型6 先猜后证类
11．[2025朝阳二模]在中， ， ，为射线上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转 得到线段，线段与直线相交于点.
（1） 如图，当时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
（2） 若对于任意的点，上一问的结论总成立，写出满足条件的 ，画出相应的图形，并证明.
方法点睛
对于先猜后证类的几何综合题，在解决最后一小问时，首先需要考虑到前面小问的证明过程和结论，其次，画图是关键.将两者结合会更容易得出问题中需要猜的元素.
注意猜出的元素是需要作为条件使用的.
12．[2019北京]已知 ，为射线上一定点，，为射线上一点，为线段上一动点，连接，满足为钝角，以点为中心，将线段顺时针旋转 ，得到线段，连接.
（1） 依题意补全图形.
（2） 求证：.
（3） 点关于点的对称点为，连接.写出一个的值，使得对于任意的点总有，并证明.
题型十二 新定义
开锦囊
瓜豆模型
思考 如图1，是圆 上一个动点，为定点，连接，点 为线段 的中点，那么当点 在圆 上运动时，点的运动轨迹是什么？
图1
探究 考虑到 点始终为线段 的中点，当，，三点不共线时，如图2，连接，取 的中点，连接，，那么在任意时刻，均有，易得相似比为，故，即，则 点的运动轨迹是以线段 的中点 为圆心，的长为半径的圆.
同理思考，如图3，点 是定点，点 是直线 上的动点，连接，作线段，且使.根据上面的探究，容易知道如果 点的运动轨迹是直线，那么 点的运动轨迹也是直线.
图2 图3
例题 如图4，在 中，， ，是 的中点，是直线 上的一个动点，连接，将线段 绕点 逆时针旋转 得到，连接，在点 运动的过程中，请画出线段 的长最小时，点 的位置.
图4
分析：此题中，点 为定点，线段，长度相等，又是定角，点的运动轨迹为直线，则根据瓜豆模型，可判断 点的运动轨迹也为直线.那么我们就可以找到两点确定出点 所在的直线.如图5，当点 分别与，两点重合时，按题意旋转线段，分别得到，两点，则直线 就是点 的运动轨迹，再根据垂线段最短可知，当点 在如图所示的位置时，线段 的长最小.
图5
总结 若两动点到某定点的距离的比值是定值，两动点与定点连线的夹角是定角，则两动点的运动轨迹形状相同.主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线；主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆.这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆模型（瓜豆原理），其本质知识点是全等和相似.
类型1 与三大变换相关的新定义
1．[2024北京]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和不在直线上的点,给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且 ,则称点是弦的“ 可及点”.
（1） 如图，点,.
① 在点,,中，点_ _ _ _ _ _ 是弦的“ 可及点”，其中_ _ _ _ ；
② 若点是弦的“ 可及点”，则点的横坐标的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知是直线上一点，且存在的弦,使得点是弦的“ 可及点”.记点的横坐标为,直接写出的取值范围.
2．[2022北京]在平面直角坐标系中，已知点,.对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”.
（1） 如图，点,点在线段的延长线上，若点,点为点的“对应点”.
① 在图中画出点；
② 连接,交线段于点，求证：.
（2） 的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接.当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）.
3．[2025丰台一模]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和平面内的点，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点旋转 后得到的对应点在上，则称点是弦的“伴随点”.
（1） 如图，点，.
① 在点，，中，弦的“伴随点”是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若点是弦的“伴随点”，则点的横坐标的最小值为_ _ _ _ .
（2） 已知直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在长度为1的的弦，使得点是弦的“伴随点”.直接写出的取值范围.
4．[2025门头沟二模]在平面直角坐标系中，的半径为，点是上一点.对平面内的一点，先将点关于点作中心对称变换得到点，再将点沿射线的方向平移半径的长度得到点，称为一次关于半径的反射平移，点称为点关于半径的反射平移点.
如图，已知点.
（1） 点是上的动点，当时，在，，，中，可能是点关于半径的反射平移点的是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 设直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过.
① 在上述条件下，_ _ _ _ ；
② 当的坐标为时，如果线段上一点关于半径的反射平移点在上或内部，直接写出点的横坐标的取值范围；
③ 当在轴正半轴上时，如果线段上存在点，使点关于半径的反射平移点在上，直接写出的半径的取值范围.
类型2 与特殊几何图形相关的新定义
5．[2025西城一模]对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角 的等腰三角形，则称点为点关于的“关联点”.
在平面直角坐标系中，
（1） 如图，已知点，的半径为2.
① 在点,,，中，是点关于的“关联点”的是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若直线上存在点关于的“关联点”，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，点既是点关于的“关联点”，也是点关于的“关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围.
6．[2025平谷二模]在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若，且，则称点是线段的 美好点.
图1 图2
（1） 如图1，已知半径为2的与坐标轴交于点，，，点为弦上一点.
① 点为弦的中点时，在点，，中，线段的 美好点为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 当点在弦上运动时，若点是线段的 美好点，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 如图2，已知半径为2的，点在上运动，点，若直线上存在线段的 美好点，直接写出的取值范围.
7．[2025西城二模]给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距.在平面直角坐标系中，已知点.
（1） 如图，点的坐标为.
① 在点,,，中，与点关于线段等角等距的点是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围.
类型3 与特殊位置关系相关的新定义
8．[2025北京]在平面直角坐标系中,对于点和给出如下定义:若上存在两个不同的点,,对于上任意满足的两个不同的点,,都有,则称点是的关联点,称的大小为点与的关联角度.（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1） 如图,的半径为1.
① 在点,,中,点_ _ _ _ _ _ 是的关联点且其与的关联角度小于 ,该点与的关联角度为_ _ _ _ ；
② 点在第一象限,若对于任意长度小于1的线段,上所有的点都是的关联点,则的最小值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 已知点,,,经过原点,线段上所有的点都是的关联点,记这些点与的关联角度的最大值为 .若 ,直接写出的取值范围.
9．[2023北京]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于的弦和外一点给出如下定义：
若直线,中一条经过点,另一条是的切线，则称点是弦的“关联点”.
（1） 如图，点,,.
① 在点,,中，弦的“关联点”是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
② 若点是弦的“关联点”,直接写出的长.
（2） 已知点,.对于线段上一点,存在的弦,使得点是弦的“关联点”,记的长为,当点在线段上运动时，直接写出的取值范围.
10．[2025石景山一模]在平面直角坐标系中，的半径为1.对于两点和，其中点在上，给出如下定义：若线段的垂直平分线与相交，且两交点之间的距离为，则称点是点的“关联点”.
备用图
（1） 如图，点.
① 在点，，中，点_ _ _ _ _ _ 是点的“关联点”，其中_ _ _ _ _ _ ；
② 若点是点的“1关联点”，则点的横坐标的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 直线与轴，轴分别交于点，.对于线段上任意一点，都存在上的点，使得点是点的“关联点”，直接写出的取值范围.
题组训练8 （二次函数+几何综合+新定义）
1．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
（1） 当时，
① 求抛物线的对称轴；
② 若点，都在抛物线上，且，求的取值范围.
（2） 已知点，将点向右平移3个单位长度，得到点.当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.
2．（7分）在等边中,点是边上一点,作点关于直线的对称点,连接,,作于点.
（1） 若 ,依题意补全图1,并直接写出的度数.
（2） 如图2,若,
① 求证:；
② 用等式表示线段,,之间的数量关系，并证明.
3．（7分）在平面直角坐标系中，对于图形及过定点的直线，有如下定义：过图形上任意一点作于点，若有最大值，那么称这个最大值为图形关于直线的最佳射影距离，记作，此时点被称为图形关于直线的最佳射影点.
（1） 如图，已知，，则线段关于轴的最佳射影距离（，轴）_ _ _ _ ；
（2） 已知点，的半径为，求关于轴的最佳射影距离（，轴），并写出此时关于轴的最佳射影点的坐标；
（3） 直接写出点关于直线的最佳射影距离（点，）的最大值.
题组训练9 （二次函数+几何综合+新定义）
1．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点.
（1） 若,
① 求此抛物线的对称轴；
② 当时，直接写出的取值范围.
（2） 已知点，在此抛物线上，其中，若，且，比较，的大小，并说明理由.
2．（7分）如图,是的边上的高,点关于直线的对称点为,连接，为线段上一点（不与点重合）,.
（1） 比较与的大小.
（2） 用等式表示线段,之间的数量关系,并证明.
（3） 连接,取的中点,连接.判断与的位置关系,并证明.
3．（7分）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点，重合），则称为的“点关联三角形”.
（1） 如图，的半径为1，点为的“点关联三角形”.
① 在，这两个点中，点可以与点_ _ _ _ _ _ _ _ 重合；
② 点的横坐标的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 的半径为1，点，点是轴负半轴上的一个动点，点在轴下方，是等边三角形，且为的“点关联三角形”，设点的横坐标为，求的取值范围.
（3） 的半径为，直线与在第一象限内的交点为，点.若平面直角坐标系中存在点，使得是等腰直角三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围.
题组训练10 （二次函数+几何综合+新定义）
1．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线过点，.
（1） 直接写出的值和此抛物线的对称轴；
（2） 若此抛物线与直线没有公共点，求的取值范围；
（3） 点，在此抛物线上，且当时，都有，直接写出的取值范围.
2．（7分）已知， ，直线是过点的一条动直线（不与直线，重合），分别过点，作直线的垂线，垂足为，.
（1） 如图，若 .
① 求证：；
② 连接，过点作于，过点作交的延长线于点，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系，并证明.
（2） 在直线运动的过程中，若的最大值为3，直接写出的长.
3．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，，且，两点中至少有一点在外.给出如下定义：平移线段，得到线段（，分别为点，的对应点），若线段上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值被称为线段到的“平移距离”.
图1 图2
（1） 如图1，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为_ _ _ _ ，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图2，若点的坐标为，线段到的“平移距离”为1，画出所有满足条件的点形成的图形并加以说明（不需证明）.
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