黑龙江省东宁市第一中学、绥芬河市高级中学2025-2026学年高二上学期联考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省东宁市第一中学、绥芬河市高级中学2025-2026学年高二上学期联考数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 829.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-01 17:35:54 | ||
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文档简介
黑龙江省牡丹江市东宁市第一中学、绥芬河市高级中学2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．8 C． D．
2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知直线和直线平行，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．已知 ：， ：，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若分别是 与 上的点，则的最大值是
B．当时， 与 相交弦所在的直线方程为
C．当时，若 上有且只有3个点到直线的距离为1，则
D．若 与 有3条公切线，则的最大值为4
11．如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线所成角的余弦值为
C．
D．若四点共面，则点是线段的中点
三、填空题
12．已知向量，若，则 .
13．已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则 .
14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 .
四、解答题
15．已知，求：
(1)过点且与垂直的直线方程；
(2)过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程．
16．已知圆.
(1)若点是圆上的一点，求的取值范围；
(2)过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
17．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；
(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
19．椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左 右顶点，的一点.
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值.
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．C
5．B
6．A
7．C
8．C
9．BC
10．AD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率，
由，得，所以，即所求直线的方程为．
（2）直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，
又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即．
16．（1）由圆，可得圆心，半径为.
设，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的取值范围是.
（2）由圆，可得圆心，半径为.
设点到直线的距离为，
因为，所以，解得，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
解得，所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
17．（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
设直线与所成的角为，
则，
即直线与所成角的余弦值是．
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18（1）设圆的圆心为，由得
，解得，
故圆心为，半径为，
故圆的标准方程为；
（2）设，则，
显然过点的切线斜率存在，
过点的切线方程设为，
圆心到切线的距离为1，即，
即，
又，故，即，解得，
故，即，即，
圆心到的距离为2，即，
故或，解得或，
若，联立，解得，与矛盾，舍去，
若，联立，解得或0（舍去），
故，所以，
故的斜率为；
（3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下：
设的方程为，
由题意得，圆心到的距离，解得，
圆心到的距离，解得，
故，
由垂径定理得，
解得或，均不满足要求，
故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.
19.（1）对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
（2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以，
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值．
②由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，
设，易知直线、的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．8 C． D．
2．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．两平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在正三棱锥中，，点为空间中的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆：()的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的延长线交椭圆于点，且，的面积为，记与的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．已知直线和直线平行，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
10．已知 ：， ：，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若分别是 与 上的点，则的最大值是
B．当时， 与 相交弦所在的直线方程为
C．当时，若 上有且只有3个点到直线的距离为1，则
D．若 与 有3条公切线，则的最大值为4
11．如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线所成角的余弦值为
C．
D．若四点共面，则点是线段的中点
三、填空题
12．已知向量，若，则 .
13．已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则 .
14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 .
四、解答题
15．已知，求：
(1)过点且与垂直的直线方程；
(2)过点B且倾斜角为直线倾斜角的的直线方程．
16．已知圆.
(1)若点是圆上的一点，求的取值范围；
(2)过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
17．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；
(3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
19．椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左 右顶点，的一点.
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值.
参考答案
1．A
2．B
3．B
4．C
5．B
6．A
7．C
8．C
9．BC
10．AD
11．BCD
12．
13．
14．
15．（1）设过点且与垂直的直线的斜率为，直线的斜率，
由，得，所以，即所求直线的方程为．
（2）直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，
又，所以，由题意知所求直线的倾斜角为，故所求直线的斜率为，所以，即．
16．（1）由圆，可得圆心，半径为.
设，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的取值范围是.
（2）由圆，可得圆心，半径为.
设点到直线的距离为，
因为，所以，解得，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
解得，所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
17．（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
设直线与所成的角为，
则，
即直线与所成角的余弦值是．
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18（1）设圆的圆心为，由得
，解得，
故圆心为，半径为，
故圆的标准方程为；
（2）设，则，
显然过点的切线斜率存在，
过点的切线方程设为，
圆心到切线的距离为1，即，
即，
又，故，即，解得，
故，即，即，
圆心到的距离为2，即，
故或，解得或，
若，联立，解得，与矛盾，舍去，
若，联立，解得或0（舍去），
故，所以，
故的斜率为；
（3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下：
设的方程为，
由题意得，圆心到的距离，解得，
圆心到的距离，解得，
故，
由垂径定理得，
解得或，均不满足要求，
故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.
19.（1）对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
（2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以，
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值．
②由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，
设，易知直线、的斜率均存在且不为，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以．
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以．
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