(共16张PPT)
我的理想是————
实现理想
从积极思考开始
引例：
1＜2
＜
＜
＜
求证：当
的一切自然数时都有
＜
成立。
创设情境，引入课题
当n=1时
当n=3时
当n=2时
当n=4时
引例：
＜
=
＜
=
求证：当
的一切自然数时都有
＜
成立。
＜
由n=4时
＜
引例：
1＜2
＜
＜
＜
＜
＜
能不能用简单的语言概括一下这个过程呢？
时结论成立
时结论成立
时结论成立
时结论成立
求证：当
的一切自然数时都有
＜
成立。
引例：
＜
＜
＜
求证：当
的一切自然数时都有
＜
成立。
时结论成立
时结论成立
时结论成立
时结论成立
时结论成立
归纳奠基
归纳递推
阳信一中 屠志敏
意义建构，形成概念
你能用有限步骤将上述过程概括清楚吗？
你还能说出生活或数学中具有上述递推关系的例子吗？
利用相似性规范两步骤
1、当
多米诺骨牌游戏原理 引例的证明步骤
1、第一块骨牌倒下 时不等式成立
2、若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下 2、若当n=k时结论成立，则当n=k+1时结论也成立
3、根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下 3、根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始n0的所有正整数n都正确．
这种证明方法叫做数学归纳法．
(1) 证明当n取第一个值n = n0 时结论正确;
用框图表示为：
验证n=n0时命题成立。
若n = k ( k ≥ n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
命题对所有的自然数n ( n ≥ n 0)都成立。
归纳奠基
归纳递推
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
例 1
对于数列
，已知
，
用数学归纳法证明数列的通项公式
。
用框图表示为：
验证n=n0时命题成立。
若n = k ( k ≥ n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
命题对所有的自然数n ( n ≥ n 0)都成立。
归纳奠基
归纳递推
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
假设一定要用
例 2
证明等差数列通项公式
用框图表示为：
验证n=n0时命题成立。
若n = k ( k ≥ n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
命题对所有的自然数n ( n ≥ n 0)都成立。
归纳奠基
归纳递推
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
假设一定要用
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？
2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？
3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？
4、数学归纳法体现的核心思想的什么？课题：数学归纳法及其简单应用
阳信一中 屠志敏
【教学目标】
1． 使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质．
2． 掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题．
3． 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．
4． 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．
5． 通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学程序】
1、 创设情境，引入新课
数学问题引例：
求证：当
学生思考一段时间后，会发现用以往的证明方法无法证明这个结论。
通过计算可知当1＜2
＜
＜
与呢？通过计算比较出＜
引发学生先证明时不等式成立。有的学生会通过计算证明，有的学生会通过＜，得到＜=＜=。
通过比较，引出递推思想。②那时怎么证呢？依此类推，能不能将这些无限的步骤概括一下呢？即，由 结论成立推出时结论成立？（从特殊到一般，引出数学归纳法）学生分组完成。
③时不通过计算，能不能用这种推导方法推出结论呢？
以上过程可以归纳为时结论成立时结论成立时结论成立时结论成立时结论成立，而且推导方法都是一样的。
④能不能用有限步骤把上述过程概括清楚？（引导学生概括, 形成科学方法）
2、 意义建构，形成概念
引例的证明方法就叫做数学归纳法，这就是这节课我们研究的问题。
数学归纳法中的递推思想在我们身边到处可见，例如多米诺骨牌的游戏。实例：播放多米诺骨牌录像。
比较多米诺骨牌游戏和引例的解决方法。
多米诺骨牌游戏原理 引例的证明步骤
1、第一块骨牌倒下 1、当时不等式成立
2、若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下 2、若当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立
3、根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下 3、根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立
请同学们举一些生活中具有多米诺骨牌效应的例子：推倒自行车, 早操排队对齐等．并写出用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤。
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1) （归纳奠基）证明当n取第一个值时结论正确；
(2) （归纳递推）假设当n＝k (k∈，k≥) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．
这种证明方法叫做数学归纳法．
用框图表示就是：
三、数学运用，巩固知识
例1、对于数列，已知，（）
用数学归纳法证明数列的通项公式。
步骤① 步骤②
时成立 时成立 时成立 …… 时成立
在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命题成立, 必须要用到n＝k时命题成立这个假设。否则就不存在递推关系。
例2、证明等差数列通项公式。
证明：(1) 当n＝1时等式成立； (2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立． 于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式对任何n∈都成立。
4、 课堂小结，提炼知识
1、数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数（）有关的数学命题。
2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？
两个步骤和一个结论，缺一不可。
3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？
关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确。
4、数学归纳法体现的核心思想的什么？
数学归纳法是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳的繁杂、不可行的缺点，又克服了归纳推理不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。其蕴涵的数学思想方法有归纳的思想方法，递推的思想方法，特殊到一般的思想方法，有限到无限的思想方法，等等。
5、 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第95页练习第1, 2题；
(2) 在数学归纳法证明的第二步中，证明n＝k＋1时命题成立, 必须要用到n＝k时命题成立这个假设．这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：
用数学归纳法证明： (n∈)时, 其中第二步采用下面的证法：
设n＝k时等式成立, 即, 则当n＝k＋1时,
．
你认为上面的证明正确吗？为什么？
归纳递推
归纳奠基
命题对从开始所有的正整数都成立
若时命题成立，证明时命题也成立
验证时命题成立
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