课题：类比推理
●教学目标：
知识目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
能力目标：通过感受知识的形成过程，培养学生分析解决问题的能力，数学表达和交流的能力以及抽象概括能力、推理论证能力。
情感目标：
正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教学过程：
一．创设情境，引入课题
完成以下猜想，并说出是什么推理？
1、一列数1，3，5，7，…，由此你猜想出第个数是_______.
2、在等差数列中，
若，则，；
由此你可以猜想出等比数列具有什么性质？
第一个例子是上节课学习的归纳推理，第二个例子就是我们这节课要研究的类比推理。类比推理和归纳推理是两种不同的推理。那么它们在思维方式上有什么差异呢？在具体问题中又是怎么运用的呢？下面我们再看几个类比推理的例子。
二．学生活动，尝试探索
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
学生分组，一组说出等式的性质，另一组根据等式的性质猜想出不等式的相应性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b(a+c=b+c; (1) a＞b(a+c＞b+c;
(2) a=b( ac=bc; (2) a＞b( ac＞bc;
(3) a=b(a2=b2;等等。 (3) a＞b(a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
平面图形的圆可以和空间的什么图形类比呢？为什么？
请根据圆的性质类比出球的有关性质。
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；
与球心距离相等的两截面圆相等；
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
意义建构，形成概念
上述两个例子均是这种由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
（1）通过观察、比较，确定两类具有某些类似的特征的对象；
（2）确定两类对象元素之间的对应关系；
（3）用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；即，
四、数学运用，巩固知识
例3：
1、已知正三角形的边长为，求它的内切圆的半径 ；
2、类比以上过程解决以下问题
已知正四面体的棱长为，求它的内切球的半径 。
用几何画板演示分割过程
前几个例子是两类事物什么的类比，本例也是吗？
探究拓展，培养能力
例4：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想。
六、课堂小结，提炼知识
通过以上几个例子，用自己的语言归纳一个运用类比推理的步骤？运用类比法的关键是什么？
运用类比推理的关键是寻找一个合适的类比对象。基本原则是：要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象。不仅性质可以类比，而且方法也可以类比，如例3，这样我们可以通过类比已有的方法寻找解决类似问题的方法。
合情推理的概念
先根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想; 再进行归纳、类比; 然后提出猜想的推理.统称为合情推理。由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠。但是数学中有不少重大发现乃至于有关解题方法是由合情推理提供线索的，数学本身赖以获得真理的手段就是归纳与类比。所以它具有发现的功能，是获取新知识的工具。正如波利亚所说：“如果没有类比推理，那么无论是在初等数学还是在高等数学中，甚至在其他任何领域中，本来可以发现的东西，也可能无从发现。”
课件14张PPT。 一列数1，3，5，7，…，由此你猜想出第 个数是_______.完成以下猜想，并说出是什么推理？创设情境，引入新课2.1 合情推理与演绎推理——2.1.2类比推理例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质等式不等式(1)(2)(3)学生活动，尝试解决例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：
球的定义： 空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆
弦
直径周长
面积球
截面圆大圆表面积体积平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.几何画板学生活动，尝试解决圆的性质球的性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大经过切点且垂直于切面的直线必经过球心利用圆的性质类比得出球的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心例2：2.类比推理的思维过程观察、比较联想、类比猜测新的结论 1.类比推理的概念 由两类对象具有某些类似的特征和其中一类
对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有
这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。3.类比推理的一般模式:需要证明1、已知正三角形的边长为 ，求它的内切圆的半径 ；2、已知正四面体的棱长为 ，求它的内切球的半径 。例3：几何画板数学运用，巩固知识例4：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．? 2.类比推理的思维过程观察、比较联想、类比猜测新的结论 1.类比推理的概念 由两类对象具有某些类似的特征和其中一类
对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有
这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。观察、分析联想、归纳猜测新的结论 归纳推理课堂小结，提炼知识合情推理 先根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想; 再进行归纳、类比; 然后提出猜想的推理.统称为合情推理.1.合情推理的概念2.合情推理的过程从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳类比提出猜想 数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.3.合情推理的作用 由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.说明:归纳推理与类比推理的区别合情推理归纳推理类比推理由部分到整体,个别到一般的推理由特殊到特殊的推理结论不一定正确，有待进一
步证明波利亚：“如果没有类比推理，
那么无论是在初等数学还是
在高等数学中，甚至在其他
任何领域中，本来可以发现的
东西，也可能无从发现。”谢谢大家！
