演绎推理
阳信一中 屠志敏
教学目标：
（1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式
（2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系
（3）情感态度价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理论证有据的习惯。注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验努力后的成功，培养学生学习数学的自信心。
教学重点：演绎推理的含义，及合情推理和演绎推理的区别与联系
教学难点：演绎推理的应用
教学设计
创设情境，引入新课
（1）观察
1+3=4=22 ,
1+3+5=9=32 ,
1+3+5+7=16=42 ,
1+3+5+7+9=25=52 ,
……
由上述具体事实能得到怎样的结论？
（2）在平面内，若，则∥.
类比地推广到空间，你会得到什么结论？并判断正误。
通过以上两个例子复习归纳推理和类比推理两种合情推理，并说明合情推理的结论不一定正确，还有待于证明。为这节课学习演绎推理做铺垫。
（3）完成下面的推理，它们是合情推理吗？它们各有什么特点？
所有的金属都能够导电，因为铀是金属，_________ ；
一切奇数都不能被2整除，因为2007是奇数,________。
这种推理方法就是一种名叫演绎推理的方法。问题1：那么它与前面学习的合情推理在推理形式上有什么差异，在具体问题中又是怎么运用的呢？
学生探索，尝试解决
请同学们先证明这样一道初中几何题，注意体会上面两个问题。
例1如图：D、E、F分别是BC、CA、AB上的点， ∠BFD=∠A，DE∥BA， 求证：ED=AF。
证明：（1）因为同位角相等，两直线平行，
∠BFD=∠A
所以DF∥EA
（2）因为两组对边分别平行的四边行是平行四边形，
在四边行AFDE中，DF∥EA，DE∥BA
所以四边形AFDE是平行四边形；
（3）因为平行四边形的两组对边相等，
四边形AFDE是平行四边形，
所以ED=AF。
提示学生把前提写出来，并将证明过程分为三部分。
通过以上三个例子请同学们思考并回答问题1。
三、意义建构，形成概念
1、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。
2、分析前面三个例子的推理过程，总结一下演绎推理的一般模式：
大前提
所有的金属（M）都能够导电（P）
一切奇数（M）都不能被2整除（P）
M是P
小前提
铀（S）是金属（M）
2007（S）是奇数（M）
S是M
结论
铜（S）能够导电（P）
2007（S）不能被2整除（P）.
S是P
证明：（1）因为同位角相等，两直线平行，…………大前提
∠BFD=∠A ………………………小前提
所以DF∥EA …………………………结论
（2）因为两组对边分别平行的四边行是平行四边形，…………大前提
在四边行AFDE中，DF∥EA，DE∥BA ………………小前提
所以四边形AFDE是平行四边形； …………………………结论
（3）因为平行四边形的两组对边相等，…………大前提
四边形AFDE是平行四边形， …………………小前提
所以ED=AF。……………………………………结论
演绎推理的一般模式：
三段论（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情况
（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
练习把下列推理写成三段论的形式
（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（2）一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2整除；
（3）三角函数都是周期函数，余弦函数是三角函数，因此余弦函数是周期函数；
（4）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；
3、问题2：用集合的观点如何理解三段论？
用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。 用图示法表示如图：
分别用文字语言、符号语言、图形语言三种语言表示三段论，使学生加深对三段论的理解。
四、数学运用，巩固知识
例2：把下列推理恢复成三段论的形式：
（1）等边三角形内角和是180°；
（2） 是有理数。
说明：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提。但为了叙述简洁,如果大前提是显然的，则可以省略。
例3：证明函数在(－∞,1]上是减函数。
分析：大前题：减函数的定义。小前提：在(－∞,1]上满足定义
探究拓展，培养能力
下面同学们根据上节课研究归纳推理和类比推理的方法，想一下接下来我们还要研究演绎推理的什么内容？问题3：演绎推理的结论一定正确吗？
例4：分析下面几个推理是否正确，说明为什么？
（1）因为指数函数是增函数，
而是指数函数
所以是增函数
（2）因为指数函数是增函数，
而是指数函数，
所以是增函数
（3）因为无理数是无限小数，
而(=0.333……)是无限小数，
所以是无理数
说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。所以我们在证明问题的过程中一定要言之有理，论之有据。
练习1、下面说法正确的有（ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
练习2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A、5和可以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；
C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；
D、由数列的前几项猜测通项公式。
问题4：比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。
六、课堂小结，提炼知识
1．俗话说，打鱼人识不完鱼，庄稼人识不完草。认识事物的任务十分艰巨，把握规律的道路分外漫长。我们不能事事去亲知，事事去实验。但是我们运用这种演绎方法，你就能以一知十，以近知远，以少知多。演绎推理还使人们产生新的创意或新的发现。如一种被称为“铜草”的植物，是铜矿的“指示剂”，因为它们之间相互依存、相伴而生。发现生长良好的“铜草”，往往就能找到铜矿。
2．演绎方法是一种重要的认识工具，也是科学发现的有用方法。我们面前，一个无限广阔的世界正等待我们去认识，等待着我们去利用，去改造。 许多发明和发现就是运用这一方法得到的，浮法制造玻璃是根据液体自由流平的原理演绎而来，钢笔主要是根据毛细管原理演绎而来等等。
课件19张PPT。案例：（1）观察
1+3=4=22 ,
1+3+5=9=32 ,
1+3+5+7=16=42 ,
1+3+5+7+9=25=52 ,
……
由上述具体事实能得到怎样的结论？（2）在平面内，若a⊥c，b⊥c，则a//b.
类比地推广到空间，你会得到什么结论？并判断正误.归纳推理类比推理创设情境，引入课题 完成下列推理，1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以2007不能被2整除.因为2007是奇数,它们是合情推理吗？案例：创设情境，引入课题2.1 合情推理与演绎推理——演绎推理例1：如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点, ∠BFD=∠A，DE∥BA, 求证:ED=AF.}四边形AFDE是平行四边形ED=AF∠BFD=∠ADF∥EADE∥BA证明:ABCDEF学生活动，尝试探索1 从一般性的命题推演出特殊命题的推理方法称为演绎推理．1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以2007不能被2整除.因为2007是奇数,一般性的原理特殊情况结论一般性的原理特殊情况结论意义建构，形成概念演绎推理的思维方式是什么？
推理形式怎样？进一步观察上述例子有几部分组成？各有什么特点？大前提小前提结论一般性的命题特殊性的结论特殊对象2007
不能被2整除铜 能导电奇数 都不能被2整除2007
是奇数
铜 是金属(S)所有金属
都能导电(P)(P)(P)(P)(M)(M)(M)(M)(S)(S)(S)请同学们观察 有几个概念组成?
前提大小结论M……PS……MS……P三段论常用格式这里的S一定是蕴涵在M中的一个特殊部分或个体.三部分组成1（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
（3）三角函数都是周期函数，余弦函数是三角函数，因此余弦函数是周期函数；（4）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；练习把下列推理写成三段论的形式 1用集合论的观点分析：若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。 用集合的观点如何理解三段论大前提: M是P.
小前提: S是M.
结 论: S是P.“三段论” 的表示1大前提:所有三角形内角和是180°，
（2） 是有理数。大前提：所有的循环小数都是有理数,小前提：等边三角形是三角形,结论:所以等边三角形内角和是180°。结论: 所以 是有理数。解:解:例2：把下列推理恢复成三段论的形式:
（1）等边三角形内角和是180° ；
数学运用，巩固知识1小前提大前提：减函数的定义；结论数学运用，巩固知识1错因：大前提是错误的，所以结论是错误的。 演绎推理的结论一定正确吗？ 例4：判断下列推理是否正确,如果错误,请指
出错因.探究拓展，培养能力1②指数函数 是增函数,而 是指数函数所以 是增函数③无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.错因:小前提错误错因:推理形式错误在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。探究拓展，培养能力练习1例5：证明：通项公式为
的数列{an}是等比数列。并分析证明过程中的三段论。
探究拓展，培养能力1练习1、下面说法正确的有（ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个C探究拓展，培养能力1练习2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A、5和 可以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；
C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；
D、由数列的前几项猜测通项公式。A探究拓展，培养能力1合情推理与演绎推理的区别合情推理归纳推理类比推理由部分到整体,个别到一般的推理由特殊到特殊的推理结论不一定正确，有待进一
步证明演绎推理由一般到特殊的
推理在前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的探究拓展，培养能力小结：演绎推理的一般模式——三段论.课堂小结，提炼知识课堂小结：
1．俗话说，打鱼人识不完鱼，庄稼人识不完草。认识事物的任务十分艰巨，把握规律的道路分外漫长。我们不能事事去亲知，事事去实验。但是我们运用这种演绎方法，你就能以一知十，以近知远，以少知多。演绎推理还使人们产生新的创意或新的发现。
2．演绎方法是一种重要的认识工具，也是科学发现的有用方法。我们面前，一个无限广阔的世界正等待我们去认识，等待着我们去利用，去改造。课堂小结，提炼知识1谢谢大家！
