(共41张PPT)
专题三 数学建模
代数类
通过建立方程(组)、 一元一次不等式(组)、函数模型解决实际问题．
1．已知电灯电路两端的电压U为220 V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是( )
A．R至少2 000 Ω
B．R至多2 000 Ω
C．R至少24.2 Ω
D．R至多24.2 Ω
A
2．(2024·枣庄)为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
A．200 B．300
C．400 D．500
3．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有___种购买方案．
B
3
4．如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙足够长)，则这个菜地的最大面积为______m2.
32
5.某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价．
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20 000 元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
解：(1)设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为(x＋25)元．
根据题意，得2(x＋25)＋x＝200.解得x＝50.
可得x＋25＝50＋25＝75.
答：A玩具的单价为50元，B玩具的单价为75元．
(2)设商场可以购置A玩具y个，则购置B玩具2y个．
根据题意，得50y＋75×2y≤20 000.
解得y≤100.
答：最多可以购置A玩具100个．
典型考题
类型一 方程(组)与不等式应用题
1．(2025·铜仁三模)贵州近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建3个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资11万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
(1)求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元；
(2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求投资总额不超过55万元，则最多可以修建A种光伏车棚多少个？
解：(1)设修建每个A种光伏车棚需投资x万元，每个B种光伏车棚需投资y万元．
答：修建每个A种光伏车棚需投资3万元，每个B种光伏车棚需投资2万元．
(2)设可以修建A种光伏车棚m个，则可以修建B种光伏车棚(20－m)个．
根据题意，得3m＋2(20－m)≤55.
解得m≤15.
∴m的最大值为15.
答：最多可以修建A种光伏车棚15个．
变式训练
1.某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，A型车每台进货价格比B型车每台进货价格少3万元，该公司用24万元购买A型车的数量和用30万元购买B型车的数量相同．
(1)求购买一台A型、一台B型新能源汽车的进货价格各是多少万元？
(2)该公司准备用不超过300万，采购A，B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？
解：(1)设一台B型新能源汽车的进货价格是x万元，则一台A型新能源汽车的进货价格是(x－3)万元．
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意．
∴x－3＝12.
答：购买一台A型新能源汽车的进货价格是12万元，购买一台B型新能源汽车的进货价格是15万元．
(2)设需要采购A型新能源汽车a台，则采购B型新能源汽车(22－a)台．
由题意，得12a＋15(22－a)≤300.
解得a≥10.
答：最少需要采购A型新能源汽车10台．
类型二 方程(组)与一次函数应用题
2．(2024·德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A，B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A，B两种组合的进价和售价如下表：
(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？
(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？
价格 A B
进价/(元/件) 94 146
售价/(元/件) 120 188
答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为16元，每个肉粽的进价为5元．
(2)设该超市准备m件A种组合，则B种组合数量是(3m－5)件，利润为w元．
根据题意，得m＋(3m－5)≤95.解得m≤25.
则利润w＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)＝152m－210.
可以看出利润w是m的一次函数，w随着m的增大而增大，
∴当m＝25时，w最大，最大值为152×25－210＝3 590.
答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元．
2.(2025·贵阳一模)贵州玉屏县被誉为“箫笛之乡”．玉屏县某中学举办“箫笛艺术节”活动，现需购买玉箫、玉笛若干支．已知玉箫单价比玉笛单价高10元，用1 000元购买的玉箫数量与800元购买的玉笛数量相同．
(1)玉箫和玉笛的单价各是多少元？
(2)学校计划购买玉箫与玉笛共30支，且玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍，则学校最少需花费多少元？
解：(1)设玉箫的单价是x元，则玉笛的单价是(x－10)元．
解得x＝50.
经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意．
∴x－10＝40.
答：玉箫的单价是50元，玉笛的单价是40元．
(2)设购买玉箫m支，则购买玉笛(30－m)支．
根据题意，得m≥2(30－m)．
解得m≥20.
设学校需花费w元．
根据题意，得w＝50m＋40(30－m)＝10m＋1 200.
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大．
∴当m＝20时，w有最小值， w最小＝10×20＋1 200＝1 400.
答：学校最少需花费1 400元．
类型三 方程(组)与二次函数应用题
3．(2024·遂宁)某酒店有A，B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为 7 200 元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为 3 200 元．
(1)求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲．当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额w最大，最大营业额为多少元？
解：(1)设A 种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元．
答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元．
答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额最大，最大营业额为4 840元．
3.端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时， 每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出 2 盒．
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价x元( 50≤x≤65 )，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求 y关于x 的函数解析式及最大利润．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
(2)由题意，得当猪肉粽每盒售 x元时，每天可售[100－2(x－50)]盒(50≤x≤65)．
∴y＝(x－40)·[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8 000＝－2(x－70)2＋1 800.
∵－2＜0，且50≤x≤65，
∴当x＝65 时，y取最大值，最大值为1 750.
答：y 关于 x 的函数解析式为y＝－2x2＋280x－8 000(50≤x≤65)，最大利润为1 750 元．
类型四 函数应用题
4．(2024·贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数解析式．
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果就向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，则赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
(2)设日销售利润为w元．
根据题意，得w＝(x－10)·y＝(x－10)·(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450.
∴当x＝25时，w有最大值，最大值为450.
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元．
(3)设日销售利润为w′元．
根据题意，得w′＝(x－10－m)·y
＝(x－10－m)·(－2x＋80)
＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m.
4.为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x/天 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y/(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式．
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y关于时间x的函数解析式．
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
1．(2024·甘肃)如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6 的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车___完全停到车棚内(填“能”或“不能”)．
能
2．(2024·云南)A，B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A，B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；若购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．
成本/(元/个) 销售价格/(元/个)
A种型号 35 a
B种型号 42 b(共31张PPT)
专题三 数学建模
几何类
1．了解初中几何常见模型，如手拉手全等相似模型、对角互补模型、倍长中线模型和123模型等．
2．通过图形建模实现知识多元化认知，顺利找到解题的方法．
3．通过观察与联想，构造出图形模型，把复杂的问题转化为简单的问题求解．
1．【手拉手全等模型】如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.
求证：(1)△BEC≌△ADC；
(2)△PQC是等边三角形．
证明：(1)∵△ABC和△DCE为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°.
∴∠ACD＝∠BCE.
∴△BEC≌△ADC(SAS)．
(2)∵△ADC≌△BEC，∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°.
在△DPC和△EQC中，
∴△DPC≌△EQC(ASA)．∴CP＝CQ.
∵∠QCP＝60°，∴△PQC是等边三角形．
解：∵在△ABC和△ADE中，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．
∴∠CAE＝∠BAD＝20°.
3.【倍长中线模型】如图，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．
解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE.
∵AD为BC边上中线，
∴CD＝BD.
在△DAC和△DEB中，
∴△DAC≌△DEB(SAS)．∴AC＝EB＝4.
∵AB－BE＜AE＜AB＋BE，AB＝6，
∴2＜AE＜10.∴1＜AD＜5.
∴BC边上的中线AD的取值范围是1＜AD＜5.
4.【对角互补模型】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为( )
A．15 B．12.5
C．14.5 D．17
B
5.【123模型】如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α＋β＝_________.
45°
典型考题
将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△ADE.
(1)如图①，当点D恰好落在BC上时，连接CE.
①当∠B＝70°，∠ACB＝50°时，求证：AC⊥DE.
②当△ABC满足什么条件时，四边形ABCE是平行四边形？说明理由．
①证明：如图①，设AC，ED相交于点F.
由旋转，可得△ABC≌△ADE.
∴∠B＝∠ADE＝70°，AB＝AD.
∴∠B＝∠ADB＝70°.
∴∠FDC＝180°－∠ADB－∠ADE＝40°.
又∠ACB＝50°，∴∠CFD＝180°－∠FDC－∠ACB＝180°－40°－50°＝90°.∴AC⊥DE.
②解：当△ABC满足BC＝AC时，四边形ABCE是平行四边形．理由如下：
如图．∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠2＝∠DAE－∠2，
即∠1＝∠3.
∵BC＝AC，∴∠B＝∠BAC．∴∠5＝180°－2∠B.
同理，可得∠1＝180°－2∠B.
∴∠5＝∠1.∴∠5＝∠3.∴AE∥BC．
又BC＝AC，AC＝AE，∴BC＝AE.
∴四边形ABCE是平行四边形．
(2)如图②，当旋转角为60°时，DE交BC于点P，连接AP.当AC＝6，∠C＝45°时，求PE的长．
解：如图②，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥DE于点N.设DE与AC交于点H.
∴∠ANE＝∠AMC＝90°.
∵∠C＝∠E＝45°，AC＝AE，
∴△AMC≌△ANE(AAS)．
∴AM＝AN.
变式训练
课题学习：三角形旋转问题中的“转化思想”．
(1)如图①，在等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，点D在△ABC内部，连接AD，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，CD，BE.请写出BE和CD的数量关系：_________，位置关系：________，并证明．
BE＝CD
BE⊥CD
证明：∵AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°.
∵∠CAD＋∠DAB＝∠CAB＝90°，∠DAB＋∠BAE＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE.
∴△CAD≌△BAE(SAS)．
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE.
延长CD交BE于点F，如图①所示．
∵∠FCB＋∠ABC＋∠ABE
＝∠FCB＋∠ABC＋∠ACD
＝∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠CFB＝180°－(∠FCB＋∠ABC＋∠ABE)＝180°－90°＝90°.
∴BE⊥CD.
(2)如图②，在等腰△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，AD＝2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接DE，BD，BE，取BD的中点M，连接CM.
①当点D在△ABC内部，猜想并证明BE与CM的数量关系和位置关系；
②当B，M，E三点共线时(M，E在AB的下方)，请直接写出CM的长度．
解：①BE＝2CM，BE⊥CM.证明如下：
如图②，取AB的中点为F，BE的中点为P，连接FC，FP，FM，延长CM交BE于点O.
又BD的中点为M，
∴FP是△ABE的中位线，FM是△ABD的中位线．
∴∠PFM＝90°.
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，AB的中点为F，
∴CF⊥AB，CF＝BF.∴∠CFB＝90°.
∵∠CFM＝∠CFB－∠BFM＝90°－∠BFM，∠BFP＝∠PFM－∠BFM＝90°－∠BFM，∴∠CFM＝∠BFP.
又CF＝BF，FM＝FP，∴△CFM≌△BFP(SAS)．
∴CM＝BP，∠FCM＝∠FBP.
∵BE的中点为P，∴BE＝2BP＝2CM.
∵∠FBP＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCM＋∠CBA＋∠MCB＝∠FCB＋∠CBA＝180°－∠CFB＝180°－90°＝90°，
∴∠COB＝180°－(∠FBP＋∠CBA＋∠MCB)＝180°－90°＝90°.
∴BE⊥CM.
图形建模就是指建立几何图形模型的整个过程，对真实原型进行提炼、抽象、简单化，以及确立、检验、解释、应用、向外拓展的过程．
利用观察与联想等思想，准确恰当构造出一个或者多个同源问题相关的辅助条件或问题．建立图形模型，把复杂的问题化为简单的问题求解．
(2025·遵义模拟)综合与探究
问题情境：如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，连接BE，F是BE的中点，连接AF.
(1)【问题发现】
90
(2)【进阶探究】
如图②，当点E在边BC上时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展延伸】
如图③，将图①中△EDC绕点C逆时针旋转α度(0°<α<360°)，若AB＝4，CD＝2.直接写出AF的最小值．
解：(2)(1)中的结论成立．理由如下：
如图②，延长AF至G，使FG＝AF，连接GE，GD.
∵F是BE的中点，∴BF＝EF.
∵∠AFB＝∠GFE，∴△AFB≌△GFE(SAS)．
∴GE＝AB，∠BAF＝∠EGF，∠B＝∠GEF.
∵△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDC＝90°，
∴GE＝AB＝AC，∠B＝∠GEF＝45°，DE＝DC，∠CED＝∠ECD＝∠ACB＝45°.
