(共27张PPT)
第六章 圆
第23讲 与圆有关的位置关系
课标要求
1．探索并掌握点与圆的位置关系．
2．了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念．
3．了解三角形的内心与外心．
4．*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等.
知识点
1．点与圆的位置关系
若⊙O的半径为r，已知点P到圆心的距离OP＝d，则：
①点P在圆外 d___r；
②点P在圆上 d___r；
③点P在圆内 d___r.
＞
＝
＜
2．直线与圆的位置关系
(1)定义：如果直线和圆没有公共点，直线和圆______；直线和圆只有一个公共点，直线和圆______；直线和圆有两个公共点，直线和圆______.
(2)等价条件：设圆半径为r，圆心到直线距离为d，则：
①直线和圆相离 d___r；
②直线和圆相切 d___r；
③直线和圆相交 d___r.
相离
相切
相交
＞
＝
＜
3.切线的性质与判定(5年4考)
(1)切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)切线的判定：
①圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
②与圆只有一个交点的直线是圆的切线；
③过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
4．三角形的外接(内切)圆与外心(内心)
(1)三角形的三个______所确定的圆叫作三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三边_______________的交点，叫作三角形的______.
(2)与三角形各边都______的圆叫作三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形三条____________的交点，叫作三角形的______.
顶点
垂直平分线
外心
相切
角平分线
内心
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外 D．无法确定
C
2．(1)如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．平行
C
(2)⊙O的半径r和圆心O到直线l的距离d分别为关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根和与两根积，则直线l与⊙O的位置关系是______.
相交
3．(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6.以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值 为___.
65°
4．如图，点I为等边三角形ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D.已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为( )
A
典型例题
考查点 切线的性质
1．(2024·浙江)如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为_________.
40°
考查点 切线的判定
2．如图，CD是⊙O的直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB，AC，AD，且∠BAC＝∠ADB.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OA．
∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°.
∴∠OAC＋∠OAD＝90°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠OAD＝∠BAC．∴∠BAC＋∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°.
∴AB⊥OA．又OA为⊙O的半径，∴直线AB是⊙O的切线．
(2)若BC＝2OC，则tan∠ADB的值为___.
4
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.
∴∠ADC＋∠CAD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD.
又∠DCF＝∠CAD，∴∠DCF＋∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°.
∴OC⊥CF. 又OC为⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．
证明切线的常用方法
1．已知直线过半径外端，证直角；
2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角；
3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径．
答题规范
示例：(RJ九上P102第12题)
(6分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
答题规范
证明：如图，连接OC．
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD. …………………………1分
又AD⊥CD，
∴AD∥OC． ………………………2分
∴∠DAC＝∠ACO. ………………………………………………3分
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO. ………………………………………………4分
∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB. …………………………6分
1．(2024·贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE.
(1)写出图中一个与∠DEC相等的角：_________；
(2)求证：OD⊥AB；
∠DCE
证明：连接OC，如图．
∵PC与半圆相切于点C，∴∠OCD＝90°.
∴∠DCE＋∠ACO＝90°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEO.∴∠OAC＋∠AEO＝90°.
∴∠AOE＝90°.∴OD⊥AB.
(3)若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长．
解：∵OA＝2OE，∴设OE＝x，则OA＝2x＝OF.∴EF＝OF－OE＝x.
∴DC＝DE＝x＋2，OD＝2x＋2.
∵OC2＋CD2＝OD2，∴(2x)2＋(x＋2)2＝(2x＋2)2.
∴x＝4或x＝0(不合题意，舍去)．
∴OD＝10，OC＝OB＝8，CD＝6.
∵∠DOP＝∠OCD＝∠PCO＝90°，
∴∠D＋∠DOC＝∠DOC＋∠COP＝90°.∴∠D＝∠COP.
(1)点O与AB的位置关系是________________________，线段CD与线段BD的数量关系是_______________；
点O在线段AB上
CD＝BD
解：补全图形如图．△DEF为等腰三角形．理由如下：
连接OD，如图．
∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ADO＋∠EDF＝90°.
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.
∴∠DAO＋∠EDF＝90°.∵AE⊥EF，∴∠F＋∠DAO＝90°.
∴∠F＝∠EDF.∴ED＝EF.∴△DEF是等腰三角形．
(2)过E点作EF⊥AE，与AD的延长线交于点F，根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为3，DE＝4，求CD的长．
【推理能力】(2024·凉山州)如图，⊙M的圆心为M(4,0)，半径为2，P是直线y＝x＋4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为___________.(共27张PPT)
第六章 圆
第22讲 与圆有关的概念及性质
课标要求
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念．
2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
知识点
1．与圆有关的概念及其性质
(1)弧：圆上任意两点间的部分叫作弧，大于半圆的弧叫作______，小于半圆的弧叫作______.
(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作______.
(3)圆心角：顶点在______的角叫作圆心角．
(4)圆周角：顶点在______，并且角的两边都与圆相交，这样的角叫作圆周角．
优弧
劣弧
直径
圆心
圆上
(5)弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中，相等的_________所对的弧相等，所对的弦相等．
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
圆心角
弧
弦
2.圆周角定理及其推论(5年4考)
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的______角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角______.
推论2：直径所对的_________是直角，_________的圆周角所对的弦是直径．
推论3：圆内接四边形定理：___________________________.
圆心
相等
圆周角
90°
圆内接四边形的对角互补
3．垂径定理
(1)垂直于弦的______平分弦，并且平分弦所对的两条___.
(2)垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且______弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且______弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径____________弦，并且______弦所对的另一条弧．
直径
弧
平分
平分
垂直平分
平分
对点训练
1．(1)如图，若点O为⊙O的圆心，则线段____________________是⊙O的半径；线段__________________是⊙O的弦，其中最长的弦是______；________是劣弧．
OA，OB，OC
AC，AB，BC
AC
A．25° B．30°
C．50° D．60°
B
2．(1)如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
B
(2)如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，∠BAC的平分线与⊙O交于点D，若∠ADC＝20°，则∠BAD＝______°.
35
3．(1)(2024·长沙)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为( )
B
(2)(2024·赤峰)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是( )
A．61° B．63°
C．65° D．67°
B
典型例题
考查点 圆周角定理及其推论
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝______度．
24
8
变式训练
1．(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为( )
A．100° B．110°
C．120 D．130°
B
2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
有关圆周角定理及其推论的常见辅助线作法
1．构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角；
2．连接半径构造等腰三角形或等边三角形；
3．当题目中有直径时，构造直径所对的圆周角；
4．在圆中求锐角的三角函数值时，通常利用圆周角定理，将所求角转化为直角三角形中的角或圆心角．
答题规范
示例：(RJ九上P87例4)
(9分)如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．
答题规范
解：如图，连接OD. ………………………1分
∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. ………2分
1．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D.若∠A＝20°，则∠ABC＝( )
A．20° B．30°
C．35° D．55°
C
2．如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
A
3．如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为___.
1
4．(2024·包头)如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点(OE>BE)，连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE.
∵BD＝2OE，∴OE＝BF.
又OC＝OB，∠OEC＝∠BFO＝90°，
∴Rt△CEO≌Rt△OFB(HL)．
∴∠COE＝∠OBF.
∴BD∥OC．(共24张PPT)
第六章 圆
第24讲 与圆有关的计算、证明
知识点
1．弧长的计算(5年1考)
3．与圆锥有关的计算
已知圆锥的底面圆的半径为r，母线长为R，将圆锥的侧面展开得到一个扇形，该扇形的圆心角的度数为n°，那么
①圆锥底面圆的周长＝侧面展开扇形的弧长，即l＝2πr＝_______；
②圆锥的侧面积＝侧面展开扇形的面积，即S＝_____＝_______.
(2)圆内接正n边形中边长、边心距的计算要用到半径、中心角等条件及三角函数、勾股定理、垂径定理等知识．
3
4π
3．(1)(2024·宿迁)已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为______°.
(2)用半径为24 cm，面积为120π cm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为___cm.
90
5
4.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______(结果保留π)．
6π
典型例题
考查点 与圆有关的计算
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE.以点E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积为_________(结果保留π)．
4－π
变式训练
1．(2025·成都)如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ___.
C
1.计算扇形面积时，圆心角、半径、弧长、面积这四个相关元素是“知二求二”的．
2．计算面积的主要方法有公式法、和差法、等积转化法和容斥原理法等．
答题规范
示例：(RJ九上P112例2)
(9分)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m．求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位)．
答题规范
答题规范
A．30π B．25π
C．20π D．10π
C
2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
D
3．(2025·山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为( )
A．2π－4 B．4π－4
C．8π－8 D．4π－8
D
4．(2021·贵阳)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是( )
A．144° B．130°
C．129° D．108°
A
(1)求证：∠DCP＝∠DPC；
(2)当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；
(3)在(2)的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．
(1)证明：连接OC，如图．
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠DCO＝90°，即∠OCB＋∠DCP＝90°.
∵DE⊥OB，∴∠DEB＝90°.∴∠OBC＋∠BPE＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∴∠DCP＝∠BPE.
∵∠BPE＝∠DPC，∴∠DCP＝∠DPC．
(2)证明：连接OF，如图．
∵ED垂直平分OB，∴OF＝BF.
∵OF＝OB，∴BF＝OF＝OB.∴△BOF是等边三角形．
【几何直观】如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为( )
D
