2025-2026学年苏科版九年级数学上册第一次月考卷（1-2章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考卷（1-2章）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．的半径为，若点P到圆心的距离为，点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
3．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4．如图，A，B，C是上的三点，若，则的度数是（　 　）
A． B． C． D．
5．2018年海南成立自贸港后，大批外来人口来参与海南自贸港的建设，到2020年海南省的人口增加了150万，达到1000万，设这两年的年平均增长率为x，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1.5
7．关于的方程的两个根是等腰 ABC的两条边长，已知一个根是2，则 ABC的周长为（ ）
A．14 B．10 C．14或10 D．10或12
8．已知是实数，且满足，则的值为（ ）
A．3 B．3或 C．或6 D．6
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9．如图，在半径为的⊙O中，弦长．的度数 ．
10．若是方程的一个根，则 ．
11．如图，四边形内接于，．则的度数是
12．在某种病毒的传播过程中，每轮1人平均会传染人，若最初2人感染该病毒，经过两轮传染，感染总人数达到人，则可列方程为
13．如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则 ABC的外心坐标是 ．
14．设为两相异实数．满足的值是 ．
15．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ．
16．如图，在 ABC中，，，，D是上一个动点，以为直径的圆O交于E，则线段的最小值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．如图，已知，是的直径，，，求的度数．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根为3，求方程的另一个根．
20．如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证： ABC是等边三角形．

21．阅读材料，回答问题．
材料背景
遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为．
问题解决
(1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径．
(2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度．
22．服装店以每件30元的价格购进一批衬衣，以60元每件售出，每周能售出100件，经市场调查，衬衣单价每降1元，每周就能够多卖出10件．
(1)若每件衬衣以50元售出，服装店每周的利润是多少？
(2)服装店每周的利润能达到4200元吗？若能，请求出每件衬衣的售价，若不能，请说明理由．
23． 如图，四边形内接于，点E在的延长线上，垂直平分，连接．
(1)求证：．
(2)连接 ，若，，，求的长．
24．阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
【理解应用】参照上述图的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是______．（从序号①②③中选择）
【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程______，解得原方程的一个根为______；
【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．
已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数______，______，求得方程的正根为______．
25．定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】
（1）点__________“美好点”（填“是”或“不是”）；
若点是第四象限内的一个“美好点”，则__________．
【深入探究】
（2）若“美好点”在双曲线，且为常数）上，则__________；
若第一象限内的“美好点”在直线上，求满足条件的点的坐标．
【拓展延伸】
（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；
对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程；
B、方程整理可得，未知数的次数不是2，不是一元二次方程；
C、方程是一元二次方程，符合题意；
D、方程不是整式方程，不是一元二次方程．
故选：C．
2．
【详解】解：∵点P到圆心的距离为，
而O的半径为，
∴点P到圆心的距离等于圆的半径，
∴点P在圆上，
故选：B．
3．
【详解】解：，，，
，
∴原方程无实数根．
故选：C．
4．
【详解】解：∵A，B，C是上的三点，，
∴．
故选：B
5．
【详解】解：由题意得2018年海南省的人口为（万），
根据增长率公式：，
列式得：，
故选：B．
6．
【详解】解：∵于点E，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
7．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
设另一根为，
，
解得：，
当为腰时，
此种情况不符合；
当为腰时，
，
符合题意，
ABC的周长为：，
故选：A．
8．
【详解】解：设，
原方程变为．
∴．
∴，．
当时，方程的判别式，存在实数解．
当时，方程的判别式，无实数解．
∴满足条件．
故选：A．
二、填空题
9．
【详解】解：∵，，
∴ AOB是等边三角形，
∴，
故答案为：．
10．
【详解】解：是方程的一个根，
代入可得，即，
．
故答案为：．
11．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
12．
【详解】解：根据题意，列方程得：
故答案为： ．
13．
【详解】解：根据三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，然后作和的垂直平分线，如图：
，
通过图像可以明显得到和的垂直平分线交点坐标为：；
故答案为：；
14．
【详解】解：为两相异实数．满足，
是一元二次方程的两个不相等的实数根，
一元二次方程可化为，
，
，
故答案为：．
15．，
【详解】令，则方程可化为，
关于的方程的解是，，
或，
解得，．
故答案为：，．
16．
【详解】解：如图，连接，取的中点，以为直径作，
是直径，
，
，
点在以为直径的上运动，
，
，
，
当点、、三点共线时，有最小值，此时，
，
，
，
线段的最小值是
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，
开方，得或，
解得：，；
（2）解：,
移项，，
配方，得，
即，
开方，得或，
解得：，；
（3）解：，
移项，得，
因式分解，得，
则或，
解得：，；
（4）解：，
其中，，，，
所以，
所以，，
即，．
18．解：，
，
，
，
．
19．（1）解：∵，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为m，则，
解得，
故该方程的另一个根为2．
20．证明：，
，，
是等边三角形．
21．（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接．
是的中点，，
三点在一条直线上，
．
设，则．
在中，由勾股定理，得，
即，解得．
故主桥拱所在圆的半径为．
（2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接．
由题意，得
,
．
在中，由勾股定理，
得,
．
故此时水面的宽度为．
22．（1）解：根据题意可知，
周销售量（件），
则每周利润（元），
答：服装店每周的利润是4000元．
（2）解：每周的利润不能达到4200元，理由如下：
设每件衬衫的售价为x元，
则周销售量件，
每周利润，
则
故无解，
综上所述，每周的利润不能达到4200元．
23． （1）证明：连接．
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，作点，点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
24．解：[理解应用]
变形为，
如图所示，
图①一个长方形的面积为：；图②一个长方形的面积为；图③一个长方形的面积为：；
∴当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
故选：②；
[类比迁移]第一步：将原方程变形为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为；
故答案为：；
[拓展应用]∵
∴，
∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
∵图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴，
解得，，
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为1；
当时，，
∴，
解得，，即方程的一个正根为；
综上所述，方程的一个正根为或，
故答案为：或．
25．解：（）∵，
∴点不是“美好点”，
∵点是第四象限内的一个“美好点”，
∴，
解得：，
故答案为：不是，；
（）∵是“美好点”，
∴，
解得：，
∴，
将代入双曲线，得，
故答案为：；
∵第一象限内的“美好点”在直线上，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∴满足条件的点的坐标为；
（）∵点是第一象限内的“美好点”，
∴，
化简得：，
由题意可得，
∴，
∴；
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为，理由，
∵，
∴，
∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．