2025-2026学年苏科版九年级数学上学期期中测试卷（1-4章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上学期期中测试卷（1-4章）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（ ）
A． B．5 C． D．1
2．已知的半径，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定
3．某小组5人在一次数学测验中的成绩分别是：110，105，105，100，98，则他们的成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．110和105 B．110和100 C．105和100 D．105和105
4．嘉嘉掷一枚质地均匀的骰子，前三次抛掷的点数都是6，那么第四次抛掷的点数还是6的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）．
A． B． C．3 D．
7．一个直角三角形的一条直角边长是，另一直角边的长是一元二次方程的根，则该三角形的面积是（　　）
A． B．或 C．或 D．
8．1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？
问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是 ．
10．在某合唱比赛中，七位评委给某参赛队打的分数分别为92，86，88，87，92，94，86，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数是 ．
11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ．
12．某景区2024年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ．
13．如图，四边形为的内接四边形，已知，则度数为 ．
14．物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了 ．
15．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 ．
16．在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．解下列方程：
(1)； (2)．
18．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）．
(1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________；
(2)的半径为__________；
(3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”）
19．定义新运算“”，对于实数、、有．例如：．
(1)若实数满足，求的值；
(2)关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
20．如图，为的直径，点在上，延长至点，使．延长与的另一个交点为，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，东北育才学校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7 2
(1)在以上成绩统计表中，=_______，=______，=______．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
22．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球．
(1)从袋子中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为___________；
(2)从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）；
23．如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求平行四边形的面积．
24．某百货大楼服装专柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果童装单价每降价4元，那么平均每天就可多售出8件．
(1)若降价8元，可售出______件
(2)要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
25．定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题：
(1)若、，请写出这一个“经典方程”： ；
(2)求证：关于的“经典方程”必有实数根；
(3)如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数．
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：设另一个根为a，
由根与系数的关系得，
∴．
故选：C．
2．
【详解】解：∵的半径，
∴
∴点P与的位置关系是：点P在外．
故选：B．
3．
【详解】解：这5个数从小到大排列为：98，100，105，105，110，
中位数为排在第三位的105，
105出现次数最多，故众数为105，
故选：D．
4．
【详解】解：因为掷一枚质地均匀的骰子共有6种等可能的结果，
所以第四次抛掷的点数还是6的概率是．
故选：B．
5．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
6．
【详解】解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，
则正六边形的周长为，
由于圆的周长为，当半径为1时，，
解得．
故选：C．
7．
【详解】解：解方程得：，舍去，
该直角三角形的另一条直角边长是，
故该三角形的面积，
故选：A．
8．
【详解】根据米勒定理可知，当的外切圆相切时，最大，如图，设的外接圆的圆心为，过点作，垂足分别为，连接，当与点重合时，最大
∴四边形是矩形，则，即张角最大时，则
∵宽大约为米，球门长大约为，
根据对称性可得，
∴，
在中，
∴
即大约为
故选：C．
二、填空题
9．
【详解】解：设方程的另一个根是t，
则，
解得，
故答案为：．
10．89
【详解】解：根据去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数为：
，
则所剩五个分数的平均数是；
故答案为：．
11．
【详解】解：总面积为，
其中阴影部分的面积为，
飞镖停留在阴影部分的概率是．
故答案为：．
12．
【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：该景区这两年接待游客的年平均增长率为．
故答案为：
13．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了．
故答案为：．
15．2021
【详解】解：∵是两个不相等的实数，且满足，，
∴可将看作是一元二次方程即的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴原式
，
故答案为：．
16．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，，
∵，，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴最大值为，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，，
故答案为：；
（2）如图，连接，即为半径，
，
故答案为：；
（3）∵，，
，
∴点在内．
19．（1）解：∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
即一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得.
20．（1）证明：为的直径，
，即．
，
是线段的垂直平分线．
．
．
又同弧所对的圆周角相等，，
；
（2）解：设，
，
．
在中，根据勾股定理，已知，则有：
，
解得（线段长度不能为负，舍去），
，
由（1）知，
，
又，
．
21．（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
∴，
∵乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，
∴众数．
故答案为：6，7，7
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
∵甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
∴小明在小组中属中游略偏上．
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
∵甲、乙两组学生平均数相同，
而，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
22．（1）解：由题知，袋子中随机摸出1个球，恰好是红球的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图得：

共有12种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白球的有6种情况，
随机从袋中摸出两个球，都是白球的概率是：．
23．（1）解：∵是的切线，
∴，
连接，如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：过作于，如图，

∵四边形是平行四边形，
∴，
由（）得
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形的面积．
24．（1）解：设每件童装降价x元，
∵每降价4元可多售出8件，
∴多售出的件数为（件），
∴降价后的销量为（件），
当时，；
∴若降价8元，可售出36件．
故答案为：36．
（2）解：设每件童装降价x元，
，
，
，
，
或，
，
∵要尽快减少库存，
，
答：每件童装应降价20元．
25．（1）解：由题意可得，
∵，
∴，
故答案为：或；
（2）证明：∵，
∴，
∴关于的“经典方程”必有实数根；
（3）解：过作的垂线，分别交、于点E、F，
∵，，
∴，，，，
∵关于的方程是“经典方程”，
∴，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．