第2章 对称图形——圆 单元测试卷（含答案）苏科版九年级数学上册

第2章《对称图形——圆》单元测试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．与圆心的距离大于半径的点位于（　　）
A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上
2．半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
3．如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是的内接四边形，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．相等的圆周角所对的弧相等
C．弧长相等的弧一定是等弧 D．平分弦的直径必垂直于弦
6．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　）
A． B． C． D．
7．如图， ABC内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
9．在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
10．如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ．
11．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的母线长为 ．
12．如图，在中，，则 ．
13．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了．假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （结果保留）．
14．如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ．
15．如图，点是 ABC的外心，点是 ABC的内心，连接，．若，则的度数为 ．
16．如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．如图，已知、为的两条弦，，求证：．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段．
(1)根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标；
(2)写出线段旋转到的旋转中心的坐标；
(3)若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积．
19．已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点
(1)求证：；
(2)若 ，的度数为，求的度数．
20．如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)在图1中，过点作直线的平行线；
(2)在图2中，过点作直线的垂线．
21．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且．
(1)求的度数；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
22．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米．
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题
(1)求喷泉的半径；
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数）
23．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，与交于点，若，求证：．
24．已知四边形是矩形，，．
(1)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，判定的形状，并说明理由：
(2)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积；
(3)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，取的中点，连接，则线段长度的最大值是_________，最小值是___________．
25．【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：.
【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证.
下面是小亮的部分证明过程：
证明：在的延长线上截取，连结.
四边形是正方形，
.
又，
.
.
证明过程缺失
.
请补全缺失的证明过程.
【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系.
【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______.
【问题拓展】如图③，是 ABC的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______.
参考答案
一、单项选择题
1．
【详解】解：∵点与圆心的距离大于半径，
∴点位于圆的外部；
故选A．
2．
【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且，
∴直线与相离．
故选：A．
3．
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故选：B．
4．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
5．
【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
B.同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等，错误，不符合题意；
C. 弧长相等的弧不一定是等弧，错误，不符合题意；
D. 平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，错误，不符合题意；
故选：A．
6．
【详解】解：如图所示，连接，
设此圆的半径为，则，
∵是弦的中点，经过圆心，
∴，
∵，
∴AD=AB= ×8=4m，，
在中，，
即，
解得：，
即的半径长为．
故选：A．
7．
【详解】解：在上取一点，连接，
∵是的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．
【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可．
【点睛】解：如图，扫过的面积为，
∵，，，半径为，
∴，，，，
∴，
故选：．
二、填空题
9．圆外
【详解】解：∵在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，且，
∴点P与的位置关系是点P在圆外，
故答案为：圆外．
10．36
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴正六边形的中心角是，
故答案为：36．
11．
【详解】解：这个圆锥的母线长为，
故答案为：．
12．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
故答案为：
13．
【详解】解：根据题意，重物上升的距离为半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
14．
【详解】连接，，
、是的切线，切点分别是、，
，
，
，
．
故答案为：．
15．
【详解】解：如图，连接，
点是 ABC的内心，
平分，
，
，
点是 ABC外接圆的圆心，
，
，
，
故答案为：．
16．
【详解】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心．
四边形为正方形，
为的平分线，
点O在上．此时最短．
如图，当点O落在上时，最大．
过点M作于点F，于点G，于点K．
，
，
是等腰直角三角形，
．
，，，，
四边形是正方形，
．
，，，
四边形为矩形，
，
．
∵∠NMP=90°，
，
．
在和中，，
，
，
为等腰直角三角形．
点O为的内心，
，
．
又，
，
，
的取值范围是．
三、解答题
17．解：∵、为的两条弦，
∴
∴
∴
18．（1）画出坐标系如图，，
（2）当点A和C，点B和D为对应点时，
分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，
则点P即为线段与线段的旋转中心，
点P的坐标为；
点A和D，B和C为对应点，
分别作线段，的垂直平分线，相交于点Q，
则点Q即为线段与线段的旋转中心，
点Q的坐标为．
综上所述，旋转中心的坐标为或．
（3）如图，旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积
∵，
∴线段扫过的面积
∵，，
∴，
∴线段扫过的面积
19．（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
即：
（2）∵， =70°，
∴=70°，=180°-70°-70°=40° ，
∴，
∵，
∴．
20．（1）解：如图，直线即为所求：
（2）解：如图，直线即为所求：
21．（1）解：如图，连接，
，
点为的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
（2）解：与的位置关系是相切，理由如下：
由（1）知，，
，
，
是的切线．
22．（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：，
∴，
∵D是弦的中点，
∴平分弦，，
∴，
∴，
∴，
∴米；
答：喷泉的半径为5米；
（2）解：由题意，得：米，
（盏）；
答：大约需要安装25盏景观灯．
23．（1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．（1）解：是等腰直角三角形，理由，
∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：根据矩形的性质和旋转的性质可得，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：连接，取的中点，连接，取的中点为，连接，，，
∵是的中点，
∴且，
∵，
∴，，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
设的中点为，
∴，
如图，当共线时，最小，的最小值，
当共线时，最大，的最大值，
故答案为：，．
25．解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
[问题解决]过点M作于点H，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAE=∠N，
在和中，
，
∴，
∴，
由 [问题探究]知：，
∵，
∴．
故答案为：9；
问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图，
∵四边形为圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：