安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高三（上）期中检测数学试题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高三（上）期中检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则中所有元素之和为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.已知：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.若点为的外心，且满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，，，，四点的横坐标依次为，，，，则函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则( )
A. 的图象关于原点对称 B.
C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质如固体、液体、气体中进行传播在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据：
声强
声强级
已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是( )
A. B. 是以为周期的周期函数
C. 的图象关于直线对称 D.
11.设正实数，满足，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数是奇函数，则_______．
13.“中国剩余定理”又称“孙子定理”年英国来华传教伟烈亚利将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲年，英国数学家马西森指出此法符合年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将至这个数中能被除余且被除余的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________．
14.在中，分别是角的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数是一元二次方程、的一个根．
求和的值；
若，求．
16.本小题分
中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
证明：
延长至点，使得，试探究是否为定值并说明理由．
17.本小题分
函数，若在处取得最值．
求的最小值；
当取最小值时，将函数的图象向右平移个单位后得到函数，在内求使得不等式成立的的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
记集合，若中有个元素，求的取值范围；
是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为．
求的取值范围；
证明．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. ． 13. 14.
15.解：因为，
所以，
由题意知：、是一元二次方程、的两个根，
由，
解之得：
设，
则，
，
则有，解得
所以．
16.解：在中，因为，
所以，
所以，
由正弦定理和余弦定理，得，
所以，
即，
所以或，
若，则，又，
所以，，
此时，有，
综上，成立；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
又，
所以，
所以，
所以．
17.【解析】
，
因为在处取得最值，
所以是函数的一条对称轴，即，
所以，，
因为，
所以的最小值为；
由题意，将的图象向右平移个单位后得到函数，
由题意，，
可得，
所以，
当，
又，所以，
当，
又，所以，
综上所述：的取值范围为．
18.解：，
时，，
；
时，，
，
，
是首项为，公比为的等比数列，
，；
由，得，
设，
，，，
，，
且
，
当时，，
数列从第三项开始单调递减．
由函数的图象可知，当时，．
集合中有且仅有个元素，
，解得，
故实数的取值范围是；
设存在等差数列使得
对一切都成立，
时有，
；
时有，
，
等差数列的公差，
，
设，
由，
，
，
存在等差数列且满足题意．
19.解：函数的定义域为，，
又，令，
得．
当，即时，在恒成立，．
当，即时，
方程有两根，
可求得：，
因为，
所以，
当和时，
，单调递增，
当时，
，单调递减．
综上：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减
当时，．
方程有三个不相等的实数根，
即方程在上有三个不相等的实数根．
令，
则，
令，求得：或，
则当或时，，
当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
存在极大值为，存在极小值，
且当时，，
当时，，
要使方程有三个不相等的实数根，
则，即，
的取值范围为
证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且，
由可得，要证，
只需证，即证，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
由，
构造函数，
，
当时，
在上单调递增，
，即在上恒成立，
又，则有：，
，
又，且在上单调递减，
，即．
构造函数，
，当时在上单调递增．
，即在上恒成立．
又，则，即，
由，则，
在上单调递增，．
又，则，
即
．