2025-2026学年北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 单元测试 （含答案）

第二章一元二次方程单元测试
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.以下方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.用公式法解方程，其中的值是
A. 1 B. C. 17 D.
3.解方程的最适当的方法是
A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法
4.一元二次方程的根的情况是
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5.关于x的方程，其中a，b，c满足且，则该方程的根是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.甲、乙两位同学一起解同一道解一元二次方程的题，甲把一次项系数看错了，解得方程的两根为和3；乙把常数项看错了，解得方程的两根为和，则原方程是
A. B. C. D.
7.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示
A. 剩余椽的数量 B. 这批椽的数量 C. 剩余椽的运费 D. 每株椽的价钱
8.如图，在 ABCD中，于点E，，且a是方程的一个根，则 ABCD的周长为
A. B.
C. 或 D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.方程配方得到，则 .
10.已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 .
11.已知关于x的方程有一个根是，则的值为 .
12.如图1，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图2，地毯中央的长方形图案长6 dm，宽3 dm，整个地毯的面积是，则花边的宽为
13.阅读材料：如果a，b分别是一元二次方程的两个实数根，那么有，创新应用：如果m，n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 .
三、计算题：本大题共6分。
14.解方程：
四、解答题：本大题共12小题，共75分。
15.已知关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
16.把化为一元二次方程的一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
17.已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，求m的值．
18.自从“南方小土豆”成网络热词后，哈尔滨中央大街惊现小土豆挂件，圆圆乎乎超级可爱．若这款挂件的价格经历了两次增长，每次增长的百分率相同，且原来每个11元，现在每个元，求每次增长的百分率是多少．
19.张林用因式分解法解一元二次方程时，他的做法如下：
解：方程两边分解因式，得第一步
方程变形为第二步
方程两边同时除以，得第三步
系数化为1，得第四步
张林的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误．
请你用张林的方法完成这道题的解题过程．
20.已知关于x的方程的一个解与方程的解相同．
求k的值．
求方程的另一个根．
21.定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．
下面方程是“完美方程”的是 填序号①；②；③
已知是关于x的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值．
22.陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一．秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元；如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？
23.已知关于x的一元二次方程的两根是一个矩形的两邻边的长．
求证：不论实数m取何值，方程总有实数根．
当矩形的对角线长为5时，求m的值．
当m为何值时，矩形为正方形？
24.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用墙长为，其他的边用总长72 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口出口的门也由栅栏构成，当栅栏小门合上时，栅栏小门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接，不锈钢栅栏状如“山”字形．
若矩形车棚ABCD的面积为，试求出自行车车棚的边BC和AB的长．
请问能围成面积为的矩形车棚ABCD吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
25.请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则，
所以把代入已知方程，得
化简，得故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数．
已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
26.如图，A，B，C，D为矩形的4个顶点，，，动点P，Q分别以，的速度从点A，C同时出发，点P从点A向点B移动，点Q从点C向点D移动．
若点P从点A移动到点B停止，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过2 s时，P，Q两点之间的距离是多少？
若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10 cm？
若点P沿着移动，点P，Q分别从点A，C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】
解：，
方程有两个不相等的实数根.
故选
5.【答案】C
【解析】解：当时，，当时，，
，b，c满足且，
当和当时，均成立，
该方程的根是，，
故选：
根据已知条件可知当和当时，均成立，再由一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是了解方程的根的定义，难度不大．
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】1
10.【答案】4
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】2036
【解析】解：，n满足，，且，
，n为一元二次方程的两个不等实数根，，
，，
故答案为：
14.【答案】解：，，，，
15.【答案】解：关于x的方程是一元二次方程，且，解得且的值为
16.【答案】解：去括号，得，整理，得则二次项系数为1，一次项系数为，常数项为
17.【答案】解：关于x的一元二次方程的两根互为相反数，，即，解得
18.【答案】解：设每次增长的百分率是根据题意，得解得，舍去答：每次增长的百分率是
19.【答案】【小题1】
三
【小题2】
，，，，或，

20.【答案】【小题1】
解：解方程，得经检验，是分式方程的解．把代入方程，得，解得
【小题2】
由知，方程为，解得，方程的另一个根为

21.【答案】【小题1】
③
【小题2】
是关于x的“完美方程”，
，
，
原方程为，
是此“完美方程”的一个根，
，即，
解得或

【解析】 解：①，
，，，
，则方程不是“完美方程”；
②，
，，，
，则方程不是“完美方程”；
③，
，，，
，则方程是“完美方程”；
故答案为：③．
22.【答案】解：，有超过25名员工去旅游．设该单位这次共有x名员工去旅游．根据题意，得，解得，当时，人均费用为1200元，不符合题意，舍去；当时，人均费用为1800元，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去旅游．
23.【答案】【小题1】
解：证明：，无论m取何值，方程总有实数根．
【小题2】
设矩形的两边长分别为a，由题意，得，，，解得，，的值为
【小题3】
由题意，得，解得的值为

24.【答案】【小题1】
解：设，则根据题意，得，整理，得解得，当时，，符合题意；当时，，符合题意．答：自行车车棚的边BC的长为57 m，AB的长为5 m或边BC的长为15 m，AB的长为
【小题2】
不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：假设能围成面积为的自行车车棚，设，则根据题意，得，整理，得，原方程没有实数根．假设不成立．不能围成面积为的自行车车棚．

25.【答案】【小题1】
解：设所求方程的根为y，则把代入方程，得所求方程为
【小题2】
设所求方程的根为y，则把代入方程，得，整理，得所求方程为

26.【答案】【小题1】
解：过点P作于点根据题意，得，在中，根据勾股定理，得，即，故经过2 s时，P，Q两点之间的距离是
【小题2】
设经过x s时，P，Q两点之间的距离是由题意，得，即，解得，经过或时，P，Q两点之间的距离是
【小题3】
连接设经过y s时，的面积为①当时，点P在AB上，则，，解得；②当时，点P在BC上，则，，，解得，舍去；③当时，点P在CD上，则，
，解得不符合题意，舍去综上所述，经过4 s或6 s时，的面积为

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