2025-2026学年北师大版九年级上册数学第三章 概率的进一步认识 单元测试 （含答案）

第三章概率的进一步认识单元测试
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.连续掷两枚质地均匀的硬币，出现一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率为( )
A. B. C. D. 1
2.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
3.小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”．现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同的概率为( )
A. B. C. D.
4.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后任意摸出1个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
5.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
6.某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：A项目必考，再从B，C，D，E四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是C，E两项的概率是
A. B. C. D.
7.甲、乙两人分别从五个数，，0，1，2中任取一个，分别记作，则这些坐标表示的点在直线上的概率为
A. B. C. D.
8.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是 .
10.车辆经过某收费站时，4个收费通道A，B，C，D中，可随机选择其中的一个通过．则两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率是 .
11.甲、乙、丙三人玩“丢飞碟”游戏，飞碟从一人传到另一人记为丢一次．若从乙开始，则丢两次后，飞碟传到丙处的概率为 .
12.如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为 .
13.在长为3 cm，4 cm，6 cm，7 cm的四条线段中任意选取三条线段，这三条线段能构成三角形的概率是 .
三、解答题：本大题共13小题，共81分。
14.一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图或列表的方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．
15.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动，每位参加此次活动的同学从这四个志愿服务中随机抽选一个．小含和小依参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出小含和小依参加同一志愿服务活动的概率．
16.小颖为班级联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成了面积相等的三个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了红色与蓝色能配成紫色请利用画树状图或列表的方法求游戏者获胜的概率是多少．
17.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“陕”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅均匀再摸球．若从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“陕西”的概率．
18.爱数同学发现操场中有一个不规则的封闭图形ABC如图所示，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圆内掷石子，结果记录如下：
石子落在圆内含圆上的次数 14 43 93 150
石子落在阴影内的次数 23 91 186 300
请根据以上信息，估计封闭图形ABC的面积．
19.为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生名男生，2名女生获奖．
老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为 .
老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是1名男生和1名女生的概率．
20.有三张正面分别标有数字，1，3的不透明卡片，它们除数字外都相同，现将它们背面朝上，洗匀后从三张卡片中随机地抽取一张，放回卡片洗匀后，再从三张卡片中随机地抽取一张．
试用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字之积为负数的概率．
求两次抽取的卡片上的数字之和为非负数的概率．
21.如图，小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着楼梯、客厅、走廊三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是
A. 小明打开的一定是楼梯灯 B. 小明打开的一定是卧室灯
C. 小明打开的不可能是客厅灯 D. 小明打开走廊灯的概率是
若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
22.在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注数字1，2，3，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的横坐标；将球放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点M的纵坐标．
写出点M坐标的所有可能的结果．
求点M的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
23.如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数，甲获胜；数字之积为偶数，乙获胜．若指针恰好在分界线上，则需重新转动转盘．
利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平不需要说明理由
24.七年级五班在课外活动时进行乒乓球练习，体育委员根据场地情况，将同学分成3人一组，每组用一个球台，甲、乙、丙三位同学用“手心、手背”游戏游戏时，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”来决定哪两个人首先打球，游戏规则是：每人每次随机伸出一只手，出手心或者手背，若出现“两同一异”即两手心一手背或者两手背一手心的情况，则出手心或手背的两个人先打球，另一人当裁判，否则继续进行，直到出现“两同一异”为止．
请你列出甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况用A表示手心，B表示手背
求甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的概率．
25.小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间分，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图：，B：，C：，D：，根据图中信息，解答下列问题：
这项调查的总人数是 人．
试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图．
如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
26.某超市为了答谢顾客，决定凡在超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图所示的是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”；③若顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同与字的顺序无关，便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率．
有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或画树状图的方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】解：画树状图或列表略．共9种等可能的结果，其中小新同学两次摸出小球上的汉字相同的有5种，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为
15.【答案】解：画树状图或列表略．共有16种等可能的结果，其中他们参加同一志愿服务活动的结果有4种，小含和小依参加同一志愿服务活动
16.【答案】解：画树状图或列表略．共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中能配成紫色的结果有5种．所以游戏者获胜
17.【答案】解：画树状图或列表略．所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“陕西”的情况有4种，则取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“陕西”的概率为
18.【答案】解：观察表格得，随着投掷次数的增大，石子落在圆内的频率稳定在左右．设封闭图形的面积为根据题意，得，解得答：封闭图形ABC的面积为
19.【答案】【小题1】

【小题2】
画树状图或列表略．共有20种等可能的结果，其中选出1名男生和1名女生的结果有12种，恰好选出1名男生和1名女生

20.【答案】【小题1】
解：画树状图或列表略．共有9种等可能的结果，其中数字之积为负数的结果有4种，数字之积为负数
【小题2】
在中所列9种等可能的结果中，数字之和为非负数的结果有6种，数字之和为非负数

21.【答案】【小题1】
D
【小题2】
画树状图或列表略．共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯亮的有2种情况，正好客厅灯和走廊灯亮的概率是

22.【答案】【小题1】
解：点M坐标的所有可能的结果有9个：，，，，，，，，
【小题2】
由知，点M的横坐标与纵坐标之和为偶数的结果有5个，点M的横坐标与纵坐标之和是偶数

23.【答案】【小题1】
解：画树状图或列表略，甲获胜的概率为
【小题2】
指针所在区域的数字之积为偶数的概率为，甲获胜的概率比乙获胜的概率小．这个游戏规则对甲、乙双方不公平．改法不唯一，如：将转盘A上的数字2改为1，则游戏公平．

24.【答案】【小题1】
解：共有8种等可能的结果：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，
【小题2】
由可知，甲、乙、丙三位同学运用“手心、手背”游戏，出手一次出现“两同一异”的共有6种情况，出手一次出现“两同一异”的概率为

25.【答案】【小题1】
50
【小题2】
A组所占圆心角的度数是；C组的人数有人，补图略．
【小题3】
画树状图或列表略．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，恰好选中甲

26.【答案】【小题1】
解：转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样，一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为
【小题2】
画树状图或列表略．共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得“可”“乐”二字的情况有2种，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为

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