2025-2026学年北师大版九年级上册数学第一章 特殊平行四边形 单元测试 （含答案）

第一章特殊平行四边形单元测试
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.矩形和菱形都具有的性质是( )
A. 邻边相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
2.如图，四边形ABCD是菱形，，则
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是，，，，则四边形ABCD是
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
4.如图，在中，，D是边BC上的一点，P是AD的中点．若AC的垂直平分线经过点D，，则
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
5.关于 ABCD的叙述，正确的是
A. 若，则 ABCD是菱形 B. 若，则 ABCD是正方形
C. 若，则 ABCD是矩形 D. 若，则 ABCD是正方形
6.四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是
A. B. C. D. 1
7.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边AB上，点F在OD上，过点E作，垂足为若，，，则BE的长为
A. 3 B. C. D.
8.如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一个动点，F是AD上一点点F不与点D重合，连接EF，将沿EF翻折，使点A的对应点落在边CD上，连接若，则的面积为
A. 1 B. C. 2 D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.若正方形的一条对角线长为，则该正方形的周长为 .
10.如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且，则菱形ABCD的面积为
11.如图，在矩形ABCD中，，，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，若，则四边形MBND的形状是 .
12.如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形，且G为BC的中点，连接若，则BE的长为 .
13.如图，P为菱形ABCD的对角线AC上的一定点，Q为边AD上的一个动点，AP的垂直平分线分别交AB，AP于点E，G，若PQ的最小值为2，则AE的长为 .
三、解答题：本大题共13小题，共81分。
14.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，，求BD和AD的长．
15.如图，在 ABCD中，的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，求证：四边形ABCD是矩形．
16.如图，四边形ABCD是菱形，交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点求证：
17.如图，在中，，，请用尺规作图法，在边AC上求作一点D，使保留作图痕迹，不写作法
18.如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到点E，使，以AE为一边作菱形若菱形的面积为，求正方形的边长．
19.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，BC上的点，且，连接CE，延长AB至点G，使得，延长GF交CE于点求证：
20.如图，在中，，AD，AE分别是与的外角的平分线，求证：
21.如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，E为AB延长线上一点，，求证：
≌
22.如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，，为锐角．
求证：
若，求的度数．
23.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，
求证：
连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使，连接EG，FG，判断四边形DEGF是不是菱形，并说明理由．
24.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
求证：≌
判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
25.如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且
求证：四边形EFGH是正方形．
连接EG，判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．
26.
问题提出：
如图1，在四边形ABCD中，，对角线，，E，F，G，H分别是各边的中点．求证：四边形EFGH是正方形．
问题解决：如图2，某市有一块四边形土地ABCD，米，米，，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，然后在四边形EFGH的四条边EF，FG，GH，EH铺上人行道地砖人行道宽度不计，铺设地砖成本为20元/米，经测量，，，设计要求是四边形EFGH为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】8
10.【答案】
11.【答案】菱形
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，
15.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，是的平分线，又四边形ABCD是平行四边形，平行四边形ABCD是矩形．
16.【答案】证明：连接四边形ABCD是菱形，平分，，，，在和中，≌
17.【答案】解：如图，线段BD即为所求．

18.【答案】解：设正方形的边长为为正方形ABCD的对角线，，，解得负值舍去故正方形的边长为
19.【答案】证明：四边形ABCD是正方形，，，在和中，≌，
20.【答案】证明：，AE分别是与的平分线，，，AD平分，，四边形AEBD为矩形．
21.【答案】【小题1】
证明：四边形ABCD是菱形，在和中，≌
【小题2】
≌，，四边形ABCD是菱形，，，是等边三角形．又，是等边三角形．

22.【答案】【小题1】
证明：四边形ABCD，ADEF是菱形，又，
【小题2】
，是等边三角形．又，

23.【答案】【小题1】
证明：在正方形ABCD中，，在和中，≌
【小题2】
四边形DEGF是菱形．理由：在正方形ABCD中，，由知，，即≌，垂直平分又，四边形DEGF是平行四边形．又， DEGF是菱形．

24.【答案】【小题1】
证明：四边形ABCD是矩形，，是AD的中点，在和中，≌
【小题2】
四边形MENF是菱形．证明：，F，N分别是BM，CM，CB的中点，，四边形MENF是平行四边形．由可得，，平行四边形MENF是菱形．

25.【答案】【小题1】
解：证明：四边形ABCD是正方形，，，在和中，≌，同理可证四边形EFGH是菱形．，菱形EFGH是正方形．
【小题2】
直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心的交点理由如下：连接AC，交EG于点四边形ABCD是正方形，在和中，≌，即O为AC的中点．正方形的对角线互相平分，为对角线AC，BD的交点，即O为正方形的中心．

26.【答案】【小题1】
证明：，F，G，H分别是各边的中点，，，，，四边形EFGH是菱形．，菱形EFGH是正方形．
【小题2】
符合．连接AC，BD相交于点，，，≌，，由可知，四边形EFGH为正方形．米，米，，由勾股定理，得米，米．元铺设地砖所需的费用为4000元．
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