2025-2026学年北师大版九年级上册数学第四章 图形的相似 单元测试 （含答案）

第四章图形的相似单元测试
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.如果，那么下列比例式中错误的是
A. B. C. D.
2.如图，，直线a，b与，，分别交于点A，B，C和点D，E，若，，则EF的长是
A. B. C. 6 D. 10
3.如图，在中，，，，，则BC的长为
A. 6 B. 9 C. 8 D. 12
4.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12 m，由此他就知道了A，B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是
A. B.
C. ∽ D.
5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 六边形ABCDEF的周长等于六边形GHIJKL的周长
D.
6.如图，在中，如果于点D，那么
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，正方形DEFG的顶点E，F在内，顶点D，G分别在AB，AC上，，，则点F到BC的距离为
A. 1 B. 2 C. D.
8.如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D运动的速度为，点E运动的速度为如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是
A. 3 s或 B. 3 s C. D. 或
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.若，且，则 .
10.如图，已知，请添加一个条件，使∽，这个条件可以是 写出一个条件即可
11.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点如果AB的长为8 cm，那么PB的长为 .
12.如图，，点H在边BC上，AC与BD交于点若，则 .
13.如图，在菱形ABCD中，，若M，N分别是边AD，BC上的动点，且，作，，垂足分别为E，F，则的值为 .
三、解答题：本大题共13小题，共81分。
14.已知，求的值．
15.已知的三边长分别为5，12，13，与相似的的最大边长为26，求另两条边的边长、周长以及最大角的度数．
16.如图所示，已知和的相似比是，且的面积是1，求四边形DBCE的面积．
17.如图，在中，，，请你利用尺规在边AC上求作一点P，使得∽保留作图痕迹，不写作法
18.如图，在的网格图中，三个顶点的坐标分别为，，
以点A为位似中心，将放大为原来的2倍得到，请在网格图中画出
直接写出点，的坐标．
19.如图所示，在中，AD是的平分线，点E在边AC上，且，连接求证：∽
20.如图，与的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上．
判断与是否相似，并说明理由．
求的度数．
21.如图，矩形ABCD为台球桌面，，，球目前在点E位置，如果小丁瞄准边BC上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D位置．
求证：∽
求CF的长．
22.如图，D是的边BC上一点，连接AD，过AD上点E作，交AB于点F，过点F作交BC于点G，已知，
求CG的长．
若，在上述条件和结论下，求EF的长．
23.如图，这是位于西安市长安区香积寺内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形式独具一格．数学兴趣小组测量善导塔的高度AB，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底点B45 m远的D处竖立一根高的标杆CD，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在同一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点B，D，F，M在同一条直线上．
方案二：如图2，小华拿着一把长为22 cm的直尺CD站在离善导塔45 m的地方即点E到AB的距离为他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住善导塔即点A，C，E在同一条直线上，点B，D，E在同一条直线上，已知点E到直尺CD的距离为
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求善导塔的高度我选择方案___________.
24.如图，在中，，，点D，E在BC上，连接AD，AE，且
求证：∽
若，求DE的长．
25.如图，在中，，AD是边BC上的高，E是边BC上的一点，，，垂足分别为F，
求证：
与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
26.
问题提出：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE，有求证：∽
问题探究如图2，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处．若，，求DE的长．
问题解决如图3，菱形ABCD是一座避暑山庄的平面示意图，其中，米，现计划在山庄内修建一个三角形花园APQ，点P，Q分别在线段BC，CD上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园APQ，若能，请找出点P，Q的位置即求出DQ与BP的长；若不能，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】12
10.【答案】答案不唯一，如：
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】解：设，则，，
15.【答案】解：的最大边长为13，与相似的的最大边长为26，与对应边的比值为另两边的长分别为10，故的周长为，的最大角的度数为
16.【答案】解：由题意，得
17.【答案】解：如图所示，点P即为要求作的点．

18.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求.
【小题2】
解：由图可得：，

19.【答案】证明：，是的平分线，∽
20.【答案】【小题1】
解：∽理由：根据勾股定理，得，，，，，，，∽
【小题2】
连接，，，是直角三角形，且，

21.【答案】【小题1】
解：证明：在矩形ABCD中，由对称性可得，，∽
【小题2】
∽，，即

22.【答案】【小题1】
解：，，，
【小题2】
，，，，，，∽

23.【答案】解：选择方案一：过点E作，垂足为H，延长EH交AB于点由题意，得，，，，，，∽答：善导塔的高度AB为选择方案二：过点E作，垂足为M，延长EM交AB于点，由题意，得，，，，∽答：善导塔的高度AB为
24.【答案】【小题1】
解：证明：，，，，∽
【小题2】
过点A作于点，，，∽，，即

25.【答案】【小题1】
解：证明：，，∽
【小题2】
证明：在四边形AFEG中，，四边形AFEG为矩形．，，即又为直角三角形，，∽，，即

26.【答案】【小题1】
解：证明：在等腰直角三角形ABC中，，，，∽
【小题2】
四边形ABCD是矩形，，，由折叠的性质可得，，，，∽，即
【小题3】
能建造出符合要求的三角形花园理由如下：在CB上截取CH，使得，连接在菱形ABCD中，，，是等边三角形．，，，∽四边形ABCD是菱形，米．，米，米．米，米综上所述，能建造出符合要求的三角形花园APQ，此时BP，DQ的长分别为60米、100米．

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