24.4弧长和扇形面积 同步测试 含答案

《24.4
弧长和扇形面积》
　
一、选择题
1．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　）
A．40°
B．45°
C．60°
D．80°
2．如图，已知 ABCD的对角线BD=4cm，将 ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（　　）
A．4π
cm
B．3π
cm
C．2π
cm
D．π
cm
3．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
5．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．π
6．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（　　）
A．
B．
C．π+1
D．
7．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题
9．如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB的长度为______（结果保留π）．
10．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（2013 防城港）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是______m．
12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）
13．如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为______．（结果保留π）
14．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是______．
15．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．
16．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为______．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为______（结果保留根号）．
18．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）
　
三、解答题
19．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
20．如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积是多少？
21．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接
BD，AD，OC，∠ADB=30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
22．（2010 温州）如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．
（1）求⊙O1的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题：
（1）将⊙A向左平移______个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为______，阴影部分的面积S=______；
（2）求BC的长．
　
《24.4
弧长和扇形面积》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　）
A．40°
B．45°
C．60°
D．80°
【解答】解：∵弧长l=，
∴n===40°．
故选A．
　
2．如图，已知 ABCD的对角线BD=4cm，将 ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（　　）
A．4π
cm
B．3π
cm
C．2π
cm
D．π
cm
【解答】解：将 ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为==2πcm．
故选：C．
　
3．如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2，
∵⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，
∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．
故选B．
　
4．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
【解答】解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，
则分针在钟面上扫过的面积是：
=π．
故选：A．
　
5．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．π
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，
∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2
∴S△ABC=AC BC=．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．
∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
=
=．
故选：A．
　
6．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（　　）
A．
B．
C．π+1
D．
【解答】
解：如图所示：
点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=+++2×（×1×1）=π+1．
故选C．
　
7．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，
S半圆=π×（）2=π，
S△AOB=OB×OA=，
S扇形OBA==，
故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．
故选C．
　
8．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵弧BE的长为π，
∴=π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2，
∴BC=AB=，
∴AC==3，
∴S△ABC=×BC×AC=××3=，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣．
故选：D．
　
二、填空题
9．如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB的长度为　2π　（结果保留π）．
【解答】解：∵这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，
∴弧AB的长度为：
=2π．
故答案为：2π．
　
10．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（2013 防城港）如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是　40π　m．
【解答】解：：如图，连接O1O2，CD，CO2，
∵O1O2=C02=CO1=15m，
∴∠C02O1=60°，
∴∠C02D=120°，
则圆O1，O2的圆心角为360°﹣120°=240°，
则游泳池的周长为=2×=2×=40π（m）．
故答案为：40π．
　
12．如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D、E．若∠A=60°，BC=4，则图中阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）
【解答】解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣60°=120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°﹣（∠BDO+∠CEO）﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣120°﹣120°=120°，
∵BC=4，
∴OB=OC=2，
∴S阴影==π．
故答案为：π．
　
13．如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为　π　．（结果保留π）
【解答】解：连接OB，OC，
∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
又OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
则劣弧长为=π．
故答案为：π
　
14．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是　﹣　．
【解答】解：如图，连接OC．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=180°﹣30°﹣30°=120°．
又∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，则AB=2AC=4，BC==2．
∵OC是△ABC斜边上的中线，
∴S△BOC=S△ABC=×AC BC=×2×2=．
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△BOC=﹣=﹣．
故答案是：﹣．
　
15．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　4π　．
【解答】解：弧CD的长是=，
弧DE的长是：
=，
弧EF的长是：
=2π，
则曲线CDEF的长是：
++2π=4π．
故答案为：4π．
　
16．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为　2π﹣4　．
【解答】解：
由题意得，阴影部分面积=2（S扇形AOB﹣S△AOB）=2（﹣×2×2）=2π﹣4．
故答案为：2π﹣4．
　
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为　　（结果保留根号）．
【解答】解：∵图中两个阴影部分的面积相等，
∴S扇形ADF=S△ABC，即：
=×AC×BC，
又∵AC=BC=1，
∴AF2=，
∴AF=．
故答案为．
　
18．如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是　　．（结果保留π）
【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，
则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形BO=S弓形CO，
在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，
∴∠OBD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴S阴影=S扇形AOC==．
故答案为：．
　
三、解答题
19．（2012 义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为．
　
20．如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，以BC的中点E为圆心的与AD相切，则图中阴影部分的面积是多少？
【解答】解：连接PE，
∵AD切⊙E于P点，
∴PE⊥AD，
∵∠A=∠B=90°，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PE=AB=1，
∴ME=1，
∵E为BC的中点，
∴BE=BC=，
在Rt△MBE中，cos∠MEB==，
∴∠MEB=30°，
同理，∠CEN=30°，
∴∠MEN=120°，
S扇形===．
　
21．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接
BD，AD，OC，∠ADB=30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC=6cm，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接OB，
∵BC⊥OA，
∴BE=CE，
=，
又∵∠ADB=30°，
∴∠AOC=∠AOB=2∠ADB，
∴∠AOC=60°；
（2）∵BC=6，
∴CE=BC=3，
在Rt△OCE中，OC==2，
∴OE===，
∵=，
∴∠BOC=2∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC
=×π×（2）2﹣×6×
=4π﹣3（cm2）．
　
22．（2010 温州）如图，在正方形ABCD中，AB=4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2．
（1）求⊙O1的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=90°，
∴BD==4
∴BO1=BD=
∴⊙O1的半径=．
（2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接O1E
∵BD为正方形ABCD的对角线
∴∠ABO=45°
∵O1E=O1B
∴∠BEO1=∠EBO1=45°
∴∠BO1E=90°
∴S1=S扇形O1BE﹣S△O1BE==﹣1
根据图形的对称性得：S1=S2=S3=S4
∴S阴影=4S1=2π﹣4．
　
23．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题：
（1）将⊙A向左平移　3　个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为　（2，1）　，阴影部分的面积S=　6　；
（2）求BC的长．
【解答】
解：（1）根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点A′的坐标是（2，1）；
则移动的距离是5﹣2=3；
根据平移变换的性质，则阴影部分的面积即为图中平行四边形的面积=2×3=6；
（2）如图，连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，
则BC=2DC．
由A（5，1）可得AD=1．
又∵半径AC=2，
∴在Rt△ADC中，
DC=
∴BC=2．