24.2.1点和圆的位置关系 同步测试 含答案

《24.2.1
点和圆的位置关系》
　
一、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
4．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣1）
C．（﹣1，1）
D．（2，1）
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　）
A．点D在⊙A外
B．点D在⊙A上
C．点D在⊙A内
D．无法确定
6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（5，8），你认为点P的位置为（　　）
A．在⊙A内
B．在⊙A上
C．在⊙A外
D．不能确定
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O的直径为（　　）
A．1
B．
C．2
D．
8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
　
二、填空题
9．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是______．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，
cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有______，在圆上的有______，在圆内的有______．
11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有______个．
12．在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为______．
13．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是______．
14．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______
cm；
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______
cm．
15．若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1=0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是______．
　
三、解答题
16．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3m，AC=4m，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，D、E是AB、AC中点，A、C、D、E分别与⊙O有怎样的位置关系？（画出图形，写过程）
18．（教材变式题）如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
　
《24.2.1
点和圆的位置关系》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
【解答】解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，
B、过两点A、B的圆的圆心在一条直线上，错误，
C、正确，
D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，
故选：B．
　
2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
【解答】解：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．
故选A．
　
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
【解答】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10cm，
∵Rt△ABC的外心为斜边AB的中点，
∴Rt△ABC的外接圆半径为5cm，
∴它的外心与顶点C的距离为5cm．
故选A．
　
4．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）
A．（﹣1，2）
B．（1，﹣1）
C．（﹣1，1）
D．（2，1）
【解答】解：如图所示，
∵AW=1，WH=3，
∴AH==；
∵BQ=3，QH=1，
∴BH==；
∴AH=BH，
同理，AD=BD，
所以GH为线段AB的垂直平分线，
易得EF为线段AC的垂直平分线，
H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH=AH=HC，
H为圆心．
于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．
故选C．
　
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　）
A．点D在⊙A外
B．点D在⊙A上
C．点D在⊙A内
D．无法确定
【解答】解：根据勾股定理求得斜边AB==2，
则AD=，
∵＞2，
∴点在圆外．
故选A．
　
6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（5，8），你认为点P的位置为（　　）
A．在⊙A内
B．在⊙A上
C．在⊙A外
D．不能确定
【解答】解：∵AP==2＜5，
∴点P在⊙A内，
故选A．
　
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O的直径为（　　）
A．1
B．
C．2
D．
【解答】解：作直径AD，连结CD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=30°，
∴AD=2AC=2．
故选D．
　
8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
　
二、填空题
9．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是　0≤d＜3cm　．
【解答】解：∵点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，
∴点A到圆心O的距离d的范围是：0≤d＜3cm．
故答案为：0≤d＜3cm．
　
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，
cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有　点B；　，在圆上的有　点M；　，在圆内的有　点A、C．　．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，
∴AB==2，
∵CM为中线，
∴CM=AB=，
∴AC＜cm，BC＞cm，
∴在圆外的有点B，在圆上的有点M，在圆内的有点C和点A，
故答案为：点B；
点M；
点A、C．
　
11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有　两　个．
【解答】解：这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，
则⊙O1和⊙O2为所求圆．
故答案为：两．
　
12．在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为　　．
【解答】解：过O作OD⊥BC，由垂径定理得，
BD=BC=12cm，
在Rt△OBD中，OD=6cm，BD=12cm，
∴OB==cm，
即△ABC外接圆的半径为cm．
　
13．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是　6.5cm或2.5cm　．
【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9﹣4=5cm，因而半径是2.5cm．
故答案为6.5cm或2.5cm．
　
14．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是　　
cm；
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是　　
cm．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为1cm，则正方形ABCD被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图1，正方形ABCD的外接圆为⊙0，
∵∠B=90°，
∴AC为直径，
∴AC=AB=，
∴OA=，
∴r的最小值是cm；
（2）边长为1cm的等边三角形ABC被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图2，等边三角形ABC的外接圆为⊙0，
连结OB，作OD⊥BC于D，
∵点O为等边三角形ABC的外心，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
在Rt△BOD中，∵cos∠OBD=，
∴OB===，
∴r的最小值是cm．
故答案为；．
　
15．若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1=0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是　π　．
【解答】解：∵圆的半径r=c，
根据两直角边a、b分别是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根，可得
a+b=3，a b=1，
∴c2=a2+b2=（a+b）2﹣2a b=7，
∴Rt△的外接圆的面积为πr2=π×（）2=π．
故答案为：π．
　
三、解答题
16．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
【解答】解：（1）当d=4
cm时，
∵d＜r，
∴点P在圆内；
（2）当d=5
cm时，
∵d=r，
∴点P在圆上；
（3）当d=6
cm时，
∵d＞r，
∴点P在圆外．
　
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3m，AC=4m，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，D、E是AB、AC中点，A、C、D、E分别与⊙O有怎样的位置关系？（画出图形，写过程）
【解答】解：∵BC=3=R，
∴点C在⊙B上，
∵AB=5＞3，
∴点A在⊙B外，
∵D为BA中点，
∴，
∴点D在⊙B内，
∵E为AC中点，
∴，
连结BE，
∴BE===＞3m，
∴E在⊙B外．
　
18．（教材变式题）如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
所以AD==8；
设OA=r，OB2=OD2+BD2，
即r2=（8﹣r）2+62，
解得r=．
答：△ABC外接圆的半径为．
　
19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）
　
20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
【解答】解：
（1）（2）
；
（3）连接OB，OA，并延长AO交BC于D，
∵r=OB==，
∴S⊙O=πr2=≈16.75，
又S平行四边形=2S△ABC=2××42×sin60°=8≈13.86，
∵S⊙O＞S平行四边形，
∴选择建圆形花坛面积较大．