24.1圆 同步测试含答案

《24.1
圆》（2）
　
一、选择题
1．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（　　）
A．7cm
B．1cm
C．7cm或4cm
D．7cm或1cm
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM=DM
B．
=
C．∠ACD=∠ADC
D．OM=MD
6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3
B．4
C．3
D．4
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）
A．8
B．10
C．16
D．20
8．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
　
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC=______．
10．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是______度．
11．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为______．
12．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为______．
13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为______．
14．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为______．
15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=4，0C=2，则半径OB的长为______．
16．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是______．
17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是______m．
18．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为______cm．
　
三、解答题
19．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
20．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
21．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
22．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
　
《24.1
圆》（2）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵OC⊥弦AB于点C，
∴AC=BC=AB，
在Rt△OBC中，OB==．
故选B．
　
2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB=8
∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4
∴OM最短为=3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选A．
　
3．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（　　）
A．7cm
B．1cm
C．7cm或4cm
D．7cm或1cm
【解答】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE=BE=AB=3，CF=DF=CD=4，
在Rt△AOE中，∵OA=5，AE=3，
∴OE==4，
在Rt△COF中，∵OC=5，CF=4，
∴OF==3，
当点O在AB与CD之间时，AB和CD的距离EF=OE+OF=4+3=7（cm）；
当点O不在AB与CD之间时，AB和CD的距离EF=OE﹣OF=4﹣3=1（cm），
即AB和CD的距离为1cm或7cm．
故选D．
　
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，∠AOB=120°，则弦AB的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C．
在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC=∠AOB=60°，
∴AC=OA sin60°=，
因此AB=2AC=2．
故选B．
　
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM=DM
B．
=
C．∠ACD=∠ADC
D．OM=MD
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即=，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选：D
　
6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3
B．4
C．3
D．4
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选：C．
　
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）
A．8
B．10
C．16
D．20
【解答】解：连接OC，根据题意，
CE=CD=6，BE=2．
在Rt△OEC中，
设OC=x，则OE=x﹣2，
故：（x﹣2）2+62=x2
解得：x=10
即直径AB=20．
故选D．
　
8．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=×8=4cm，
设OA=r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=5cm．
故选C．
　
二、填空题
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC=　10　．
【解答】解：∵OD⊥BC，
∴D为弦BC的中点，
∵点O为AB的中点，D为弦BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴BC=2OD=10．
故答案为：10．
　
10．如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是　48　度．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．
故答案为：48．
　
11．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为　　．
【解答】解：连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O，
设半径为x，
∵CD=4，EM=8，
∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
即（8﹣x）2+22=x2，
解得：x=．
∴所在圆的半径为：．
故答案为：．
　
12．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为　2　．
【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点，
则AB=2AD=2=2=2．
故答案为：2．
　
13．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　（3，2）　．
【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中，
∵OP=，OD=3，
∴PD===2，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
　
14．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为　5　．
【解答】解：
连接OD，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴由垂径定理得：DE=CE=3，
设⊙O的半径是R，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R﹣1）2+32，
解得：R=5，
故答案为：5．
　
15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=4，0C=2，则半径OB的长为　4　．
【解答】解：连接OB，
∵OC⊥AB于C，AB=，
∴BC=AB=×=，
在Rt△OBC中，
∵OC=2，BC=，
∴OB==4，
故答案为：4．
　
16．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是　6　．
【解答】解：连接OP并延长与圆相交于C．过点P作AB⊥CQ，AB即为最短弦．
因为AO=5，OP=4，
根据勾股定理AP==3，
则根据垂径定理，
AB=3×2=6．
　
17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是　250　m．
【解答】解：设半径为r，
则OD=r﹣CD=r﹣50，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB，
在直角三角形AOD中，AO2=AD2+OD2，
即r2=（×300）2+（r﹣50）2=22500+r2+2500﹣100r，
r=250m．
答：这段弯路的半径是250m．
　
18．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　cm．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2cm，
∴AD===cm，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=cm．
故答案为：2．
　
三、解答题
19．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
【解答】证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
　
20．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．
【解答】证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵AD=AB，AE=AC，∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形．
　
21．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
【解答】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE===8cm，
在Rt△OCF中，
OF===15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
　
22．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵AB=6cm，
∴AD=BD=AB=3，
∴PD=PA+AD=4+3=7．
在Rt△AOD中，
∵OA=5，
∴OD===4．
在Rt△OPD中，OP===．