22.1.5用待定系数法求二次函数解析式同步测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 22.1.5用待定系数法求二次函数解析式同步测试（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 124.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-01 07:10:24 | ||
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文档简介
《22.1.5
用待定系数法求二次函数解析式》
一、选择题：
1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（ ）
A．y=x2+6x+3
B．y=﹣3x2﹣2x+3
C．y=2x2+8x+3
D．y=﹣x2+2x+3
2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣1
B．x=1
C．x=3
D．x=﹣3
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2﹣2x+3
D．y=﹣x2+2x﹣3
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3
D．y=（x+2）2﹣3
5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
A．y=x2﹣x﹣
B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+
D．y=﹣x2+x+
6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x+2
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2+x+2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题：
9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为______．
10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为______．
11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是______．
12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a______b．
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______．
14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是______．
15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______．
16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______．
18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为______．
三、解答题：
19．求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；
（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．
23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
《22.1.5
用待定系数法求二次函数解析式》
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（ ）
A．y=x2+6x+3
B．y=﹣3x2﹣2x+3
C．y=2x2+8x+3
D．y=﹣x2+2x+3
【解答】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
把（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）代入得
解得，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
故选：D．
2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣1
B．x=1
C．x=3
D．x=﹣3
【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，
则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．
故选：B．
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2﹣2x+3
D．y=﹣x2+2x﹣3
【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，
由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
故选B
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3
D．y=（x+2）2﹣3
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴可排除B、D选项，
将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，
代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．
故选：C．
5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
A．y=x2﹣x﹣
B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+
D．y=﹣x2+x+
【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣）和（2，﹣），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把（﹣1，﹣1）代入得4a﹣2=﹣1，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣．
故选A．
6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x+2
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2+x+2
【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；
B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，
而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；
C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；
D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．
故选D．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，
∴a＞0，﹣＞0，因此b＜0，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．
故选：A．
二、填空题：
9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 y=﹣x2+4x﹣3 ．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，
a=﹣1，
函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，
展开得y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为y=﹣x2+4x﹣3．
10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为 y=（x﹣3）2+1 ．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，
因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，
所以a=，
所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．
故答案为y=（x﹣3）2+1．
11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．
【解答】解：
∵y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4=0，解得c=4，
故答案为：4．
12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a ＞ b．
【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a＞0；
又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，
∴a＞b．
故答案是：＞．
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3 ．
【解答】解：据题意得
解得
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是 y=﹣x2﹣2x+3 ．
【解答】解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．
15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 y=（x﹣2）2﹣1 ．
【解答】解：因为开口向上，所以a＞0
∵对称轴为直线x=2，
∴﹣=2
∵y轴的交点坐标为（0，3），
∴c=3．
答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．
16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 ①③④ ．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，
并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故答案为：①③④．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为 y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣ ．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵顶点C到x轴的距离为2，
∴C点坐标为（1，2）或（1，﹣2），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（1，2）代入得a×3×（﹣3）=2，解得a=﹣，所以此时抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+；
把C（1，﹣2）代入得a×3×（﹣3）=﹣2，解得a=，所以此时抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．
故答案为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．
18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为 y=﹣x2+x或y=x2+x． ．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，
把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，
则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；
当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，
则二次函数的解析式为y=x2+x．
所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．
三、解答题：
19．求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；
（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；
（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，
把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，
所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；
（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．
21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．
【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），
把（0，﹣2）代入得a 1 （﹣5）=﹣2，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣x﹣2．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；
（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．
设OP=x，则PA=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=．
23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵m＞0，
∴x=﹣=﹣＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=﹣m＜0，x1 x2=﹣m2＜0，
∴x1与x2异号，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x1＜0，x2＞0，
∴OA=|x1|=﹣x1
，
OB=x2，
代入得：
=，
=，
从而，
解得m=2，
经检验m=2是原方程的根，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）解：当x=0时，y=﹣m2
∴点C（0，﹣
m2），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2
∴﹣2x1 x2=m4
∴﹣2（﹣m2）=m4，
解得m=，
∴S△ABC=×AB OC=|x1﹣x2| =×2m×m2=．
用待定系数法求二次函数解析式》
一、选择题：
1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（ ）
A．y=x2+6x+3
B．y=﹣3x2﹣2x+3
C．y=2x2+8x+3
D．y=﹣x2+2x+3
2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣1
B．x=1
C．x=3
D．x=﹣3
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2﹣2x+3
D．y=﹣x2+2x﹣3
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3
D．y=（x+2）2﹣3
5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
A．y=x2﹣x﹣
B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+
D．y=﹣x2+x+
6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x+2
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2+x+2
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题：
9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为______．
10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为______．
11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是______．
12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a______b．
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______．
14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是______．
15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式______．
16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是______．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为______．
18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为______．
三、解答题：
19．求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；
（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．
23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
《22.1.5
用待定系数法求二次函数解析式》
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．二次函数的图象经过（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）三点，则它的解析式为（ ）
A．y=x2+6x+3
B．y=﹣3x2﹣2x+3
C．y=2x2+8x+3
D．y=﹣x2+2x+3
【解答】解：设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
把（0，3），（﹣2，﹣5），（1，4）代入得
解得，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
故选：D．
2．已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（ ）
A．x=﹣1
B．x=1
C．x=3
D．x=﹣3
【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，
则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．
故选：B．
3．抛物线y=ax2+bx+c经过点（3，0）和（2，﹣3），且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3
B．y=x2﹣2x﹣3
C．y=x2﹣2x+3
D．y=﹣x2+2x﹣3
【解答】解：把（3，0）与（2，﹣3）代入抛物线解析式得：，
由直线x=1为对称轴，得到﹣=1，即b=﹣2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b=﹣2，c=﹣3，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
故选B
4．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ）
A．y=（x﹣2）2+1
B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3
D．y=（x+2）2﹣3
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴可排除B、D选项，
将点（0，1）代入A中，得（x﹣2）2+1=（0﹣2）2+1=5，故A选项错误，
代入C中，得（x﹣2）2﹣3=（0﹣2）2﹣3=1，故C选项正确．
故选：C．
5．根据下表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的解析式为（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
A．y=x2﹣x﹣
B．y=x2+x﹣
C．y=﹣x2﹣x+
D．y=﹣x2+x+
【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣）和（2，﹣），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把（﹣1，﹣1）代入得4a﹣2=﹣1，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2=x2﹣x﹣．
故选A．
6．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
7．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y=x2﹣x﹣2
B．y=﹣x2﹣x+2
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2+x+2
【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；
B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，
而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；
C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；
D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．
故选D．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：从图象得出，二次函数的对称轴在一，四象限，且开口向上，
∴a＞0，﹣＞0，因此b＜0，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴a＞0，＞0，则点M（，a）在第一象限．
故选：A．
二、填空题：
9．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 y=﹣x2+4x﹣3 ．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，
将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，
a=﹣1，
函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，
展开得y=﹣x2+4x﹣3．
故答案为y=﹣x2+4x﹣3．
10．与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，顶点为（3，1）的二次函数解析式为 y=（x﹣3）2+1 ．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+1，
因为抛物线y=a（x﹣3）2+1与抛物线y=x2的形状和开口方向相同，
所以a=，
所以所求抛物线解析式为y=（x﹣3）2+1．
故答案为y=（x﹣3）2+1．
11．若抛物线y=x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．
【解答】解：
∵y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4=0，解得c=4，
故答案为：4．
12．已知二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值1，则a ＞ b．
【解答】解：∵二次函数y=a（x+1）2﹣b（a≠0）有最小值，
∴抛物线开口方向向上，即a＞0；
又最小值为1，即﹣b=1，∴b=﹣1，
∴a＞b．
故答案是：＞．
13．抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3 ．
【解答】解：据题意得
解得
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
14．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是 y=﹣x2﹣2x+3 ．
【解答】解：可先从抛物线y=x2﹣2x﹣3上找三个点（0，﹣3），（1，﹣4），（﹣1，0）．它们关于原点对称的点是（0，3），（﹣1，4），（1，0）．可设新函数的解析式为y=ax2+bx+c，则c=3，a﹣b+c=4，a+b+c=0．解得a=﹣1，b=﹣2，c=3．故所求解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．
15．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 y=（x﹣2）2﹣1 ．
【解答】解：因为开口向上，所以a＞0
∵对称轴为直线x=2，
∴﹣=2
∵y轴的交点坐标为（0，3），
∴c=3．
答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．
16．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是 ①③④ ．（填写序号）
①抛物线与x轴的一个交点为（3，0）；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
【解答】解：根据图表，当x=﹣2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣=，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x=时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，
并且在直线x=的左侧，y随x增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故答案为：①③④．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，顶点C到x轴的距离为2，则此抛物线的解析式为 y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣ ．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵顶点C到x轴的距离为2，
∴C点坐标为（1，2）或（1，﹣2），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（1，2）代入得a×3×（﹣3）=2，解得a=﹣，所以此时抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+；
把C（1，﹣2）代入得a×3×（﹣3）=﹣2，解得a=，所以此时抛物线解析式为y=（x+2）（x﹣4）=x2﹣x﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．
故答案为y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣．
18．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为 y=﹣x2+x或y=x2+x． ．
【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，
把（0，0）、（1，0）、（﹣，﹣）代入得，解方程组得，
则二次函数的解析式为y=﹣x2+x；
当图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0）时，把得，解方程组得，
则二次函数的解析式为y=x2+x．
所以该二次函数解析式为y=﹣x2+x或y=x2+x．
三、解答题：
19．求出符合条件的二次函数解析式：
（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；
（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．
【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得，解得，
所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；
（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，
把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，
所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；
（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，
所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．
20．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），
把（0，3）代入得a×3×（﹣5）=3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣5）=﹣x2+x+3．
21．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．
【解答】解：∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣5），
把（0，﹣2）代入得a 1 （﹣5）=﹣2，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣x﹣2．
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；
（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．
设OP=x，则PA=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，
解得，x=，即OP=．
23．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵m＞0，
∴x=﹣=﹣＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=﹣m＜0，x1 x2=﹣m2＜0，
∴x1与x2异号，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x1＜0，x2＞0，
∴OA=|x1|=﹣x1
，
OB=x2，
代入得：
=，
=，
从而，
解得m=2，
经检验m=2是原方程的根，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）解：当x=0时，y=﹣m2
∴点C（0，﹣
m2），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2
∴﹣2x1 x2=m4
∴﹣2（﹣m2）=m4，
解得m=，
∴S△ABC=×AB OC=|x1﹣x2| =×2m×m2=．
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