山东省滨州市2025年数学中考试卷
1．（2025·滨州）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台.将1.64亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·滨州）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状.关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．（2025·滨州）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”.隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短.下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（2025·滨州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·滨州）当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=-3x B．
C．y=3x+1 D．
6．（2025·滨州）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展，截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个，设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．10（1+2x）=16.9 B．
C． D．10（1+x）=16.9
7．（2025·滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一张纸片被y轴分成矩形ABOC和平行四边形CODE两部分.点A的坐标为（-2，2），点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为（，1）.下列结论：
①纸片的面积是6
②点E的坐标为（，3）；
③若直线l既平分矩形ABOC的面积又平分□CODE的面积，则直线l的解析式为
④若点M是直线OD上的一个动点，连接EM，设EM=m，点C到EM的距离为n，则m与n之间的关系式为
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025·滨州）如果☆，则“☆”表示的数是 .
10．（2025·滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为 .
11．（2025·滨州）在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等.如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 .
12．（2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则 .
13．（2025·滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为 .
14．（2025·滨州）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.华罗庚解释如下：
①由可得10<<100.由此确定是两位数；
②59319的个位上的数是9，因为只有92的个位上的数是9，所以的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，又27<59<64，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39.
已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 .
15．（2025·滨州）两个非零实数：m，n满足且m≠n，则 .
16．（2025·滨州）如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.
（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短.（保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为 .
17．（2025·滨州）
（1）计算：；
（2）解不等式：x-3（x-2）≥4.
18．（2025·滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组.例如，算筹图1表示的方程组为图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项.请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解.
19．（2025·滨州）已知
（1）若求C的值：
（2）当y=1，且3C为整数时，求x的整数值.
20．（2025·滨州） 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛，以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程.
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本.
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组 51≤x<61 a 5%
第2组 61≤x<71 10 m
第3组 71≤x<81 15 15%
第4组 81≤x<91 40 40%
第5组 91≤x<101 b #
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图.
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
（1） ▲ ， ▲ ；请将频数分布直方图补充完整；
（2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
（3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数.
21．（2025·滨州）BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长交BC于点D.
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）当AB=4时，求BC的长.
22．（2025·滨州）如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°.
（1）【问题解决】
请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；（参考数据：）
（2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度.（可提供的测量工具：皮尺、测角仪.）
23．（2025·滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，-3）在抛物线上。
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围；
（3）把直线y=x向下平移n（n>0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围.
24．（2025·滨州）最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用，我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆.
（1）【动手操作】
如图1，△ABC中，∠BAC>90°，请作出△ABC的最小覆盖圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）【迁移运用】正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2，以CE为边向外作正方形CEFG.
如图2，连接AF，DF，求△ADF的最小覆盖圆的直径；
（3）将图2中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°（如图3），⊙O经过A，D，F三点，且与边AB，CD分别交于点I，L，求△ADF的最小覆盖圆的直径；
（4）将正方形CEFG绕点C旋转，分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ（如图4）.在旋转过程中，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化 如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解： 1.64亿 =
故答案为：C
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：圆锥的主视图和左视图都是三角形，
∴ 主视图与左视图相同
故答案为：A
【分析】根据圆锥的三个试图：主视图和左视图都是三角形，俯视图是含圆心的圆，由此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】
解：隧道线形为直线， 里程大大缩短
∴两点之间，线段最短
故答案为：C
【分析】根据两点之间，线段最短的原理解答即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；同类项的概念；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：
A、a4 与a2不是同类项(指数不同)，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、根据积的乘方法则，(2a)5= 25a5 = 32a5，故B错误，不符合题意；
C、根据同底数幂除法法则，a8 ÷a4=a8-4=a4， 故C错误，不符合题意；
D、根据幂的乘方法则，(a4)2 =a4x2=a8， 故D正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同类项的定义，可判断A；根据积的乘方可判断B；根据同底数幂除法法则可判断C；根据幂的乘方法则，可判断D；逐一判断即可解答.
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：
A、 当x>1时， y随x的增大而减小，故A不符合题意；
B、当x>1时， y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、当x>1时， y随x的增大而增大 ，故C不符合题意；
D、当x>1时， y随x的增大而减小，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据各个函数的性质，在自变量x>1时，逐一判断其增减性，解答即可.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解： 设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x
列方程为：
故答案为：B
【分析】设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据增长率公式2023-2025增长了两年，基数为10，因而增长后得结果为，列出方程即可解答.
7．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】
解：设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB= 17，EF= 13，
∴AD=CD=CB=AB=17，A=BCD= 90，
设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，
∴
∴GH= EF= 13，
解得m= 5或m= 12，
当m= 5时，则CH =5， CG= 12，
当m= 12时，则CH =12， CG= 5，
∴m= 5或m= 12时，△GCH的形状和大小相同
连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，
设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12
∵
∴
解得r= 2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故答案为：B
【分析】
设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R， 由正方形的性质得AD= CD= CB= AB= 17，A=BCD= 90，设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，利用勾股定理建立关于m的方程，计算求得m= 5或m= 12，从而证明△GCH的形状和大小相同， 连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12，利用面积法求得半径r，计算即可解答.
8．【答案】D
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的面积；中心对称的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：①、过D作DG⊥y轴于点G，
由A(- 2， 2)可知，OC= 2，AC= 2，由D(， 1)可知DG =，
∴ S矩形OBAC= ACOC= 4，
∴纸片的面积= 4 + 2= 6，
故①正确，符合题意；
②、∵DE= OC=2， D(， 1)，
∴E(， 3)，
故②正确，符合题意；
③、如图，连接OA、BC交于点P，连接CD、OE 交于点Q，作直线PQ，
由平行四边形的中心对称性质可知直线PQ平分了矩形OBAC和平行四边形OCED的面积，
根据中点坐标公式可知P(-， 1)，
由P、Q两点坐标可得直线PQ解析式为，
故③正确，符合题意；
如图，连接CM，过C作CT⊥EM于T，
由题意可得： CE//OD，而COD E的面积为
④、EMCT=
∴mn= 2，
∴当EM (m)最小时，CT (n)最大，
∴当EM⊥OD时，EM (m)最小，
∵CE= OD= 2，
∴2m= 2，
解得： m=，此时n= 2，
∴m与n之间的关系式为
故④符合题意；
故答案为：D
【分析】
过D作DG⊥y轴于点G，由A和D坐标，结合矩形和平行四边形的性质即可判断①②；由平行四边形的中心对称性质可知直线l经过矩形OBAC中心和平行四边形OCED中心，即可判断③，连接CM，过C作CT⊥EM于T，根据最大和最小的特殊位置即可判断④，逐一判断即可解答.
9．【答案】
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】
解： ☆
故答案为：
【分析】根据有理数的乘法运算：因数=积另一个因数，计算即可解答.
10．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】
解：由题意，共有A断B通，A断B断， A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：
【分析】先列举出所有的结果共有4种，其中能通电的只有1种，再利用概率公式计算即可解答.
12．【答案】12
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：在Rt△AOB中，点C为AB的中点，OC= 5，
∴AB=2OC=10，
∵点B的坐标为(0， 6)，
∴OB= 6，
∴OA=
∴A(8，0)，
∴点C的坐标为，即(4，3)，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=3x 4= 12，
故答案为：12，
【分析】在Rt△AOB中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到AB= 10，根据点B的坐标得到OB的长度，在利用勾股定理得到OA=8，从而得到A(8， 0)，再利用中点坐标公式得到C(4， 3)，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，解答即可.
13．【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】
解： ∵△ABC的两个外角的平分线AD， CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5，
∵AB=4，
∴△ABO的面积为：x4x3.5= 7；
故答案为：7
【分析】根据角平分线的性质，得到点O到AB的距离等于点O到BC的距离，再利用面积公式进行计算即可解答.
14．【答案】72
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）；立方根的实际应用
【解析】【解答】
解：∵1000 < 373248 < 1000000，
∴373248的立方根是两位数。
∵373248的个位数字是8；23= 8，
∴立方根的个位数字是2
划去373248后面的三位数248，得到前面的数373；
∵73 = 343， 83=512，且343 < 373 < 512，
∴立方根的十位数字是7。
故答案为：72
【分析】根据阅读材料中的估算方法：先估算373248的立方根是两位数，再由个位数8确定实际数位的最后一位数为2，划去373248后面的三位数248，得到前面的数373；，由此估算十位数为7，由此即可解答.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：将两式相减得：
因式分解得：
∵ m，n 为非0实数
∴m+n=
将两式相加得：
∴
由m+n=平方得：
∴mn=-2
∴
故答案为：
【分析】观察给出的等式先将两式相减，然后因式分解并计算得到m+n=，再将两式相加化简得到，再由完全平方公式构造得mn=-2，整体代值，计算即可解答.
16．【答案】（1）解：如图
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
解：(2)如图，找出A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点M，连接MA，
此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，
A'D=
MA + MD的最小值为，
故答案为：
【分析】
（1）先根据格点计算得AB=BC=5，再由点B到AC最短，则时，BD最短，根据等腰三角形的性质得到此时点D为线段AC的中点，因而利用矩形的对角线特征找到网格的对角线交点即为点D，画出图形即可解答；
（2）先利用对称性作出图形，再由两点之间线段最短得到此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，再用勾股定理计算即可解答.
17．【答案】（1）解：原式=1-2-4
=-5.
（2）解：去括号，得：x-3x+6≥4
移项，合并同类项，得：-2x≥-2
系数化为1，得：x≤1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；解一元一次不等式；有理数的除法法则；开立方（求立方根）
【解析】【分析】(1)先算零指数幂为1，再开立方得，再算除法，最后计算加减，即可解答.
(2)根据一元一次不等式的解法：先去括号，再合并同类项，最后系数化为1，计算即可解答.
18．【答案】解：由题意，得方程组
②×2，得
2x+4y=16.③
③-①，得
y=3
把y=3代入②，得：x+6=8.
x=2
∴这个方程组的解是
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据图1的规律写出图2的方程组，再利用加减消元法计算即可解答.
19．【答案】（1）
∴C=.
（2）由(1)，得
当y=1时，
∵3C与x均为整数，
∴x-1=±1或x-1=±3.
∴x=0，2，4，-2
为使3C有意义，
∴x≠0且x≠1.
∴x=±2或4.
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式的混合运算
【解析】【分析】
(1)将A，B代入，因式分解并约分得到，再通过分式的加减运算得到，从而可计算C的值；
（2）当y=1时，化简得到再根据整数的性质讨论得到x=0，2，4，-2，最后保留符合分式有意义的值，计算即可解答.
20．【答案】（1）解：10％；30％；
因为a=100=5人，b=100-5-10-15-40=30人，
补全直方图如图所示：
（2）4
（3）解：由(1)得，n=30%.
由此估计全校91分以上的同学占比约为30%.
故全校91分以上的同学约有3000×30%=900(人).
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）本次抽样调查的学生共有15 15%= 100(名) .
m=10
n=1-5%-10%-15%-40%=30%
故答案为：10%，30%
（2）有100人，中位数落在49号至50号人之间：即再第4组
故答案为：4
【分析】
(1)用表格中分数段为61< x < 71的频数15除以所占百分比15%可得本次抽样调查的学生人数，
用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为51≤x< 6 1所占百分比5￥可得a的值；用总得百分比减去其余得百分比可得n的值，再用100减去其余组的人数，得到b的值，补全的图形即可解答.
(2)根据偶数个数的中位数排在最中间两位数的平均数，刚好在第4组，解答即可；
(3)根据用样本估计总体，用3000乘以表格中91≤x< 101所占百分比30%，计算即可解答.
21．【答案】（1）证明：由作图可知。
∠DAC=∠B
又∠C=∠C.
∴△ACD∽△BCA
（2）解：∵∠BAC=108°，AB=AC，
∴∠B=∠C=36°.
由(1)得∠DAC=∠B=36°
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=72°.
∴∠ADB=72°.
∴BD=AB=AC
由(1)知△ACD∽△BCA，
∴
∵BD=AC，且CD=BC-BD，
∴BC（BC-BD）=BD2
∵BD=AB=4，设BC=x，则即
解得x=.
∵x=2-2<0不合题意，应舍去.
∴x=2+2
∴BC的长为2+2
【知识点】配方法解一元二次方程；角的运算；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图可知是作一个角等于已知角得∠DAC=∠B，再结合公共角即可判定△ACD∽△BCA，解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=36°，再利用角度的和差运算得到∠BAD=72°，再由相似三角形的性质结合线段的和差运算得到BC（BC-BD）=BD2，设BC=x，建立方程计算得到x的值，解答即可.
22．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则四边形ABDE为矩形.
∴ DE=AB=150，AE=BD.
又CF∥AB.
∴∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°.
，
CE=DE·tan∠CDE=150×tan35°≈150×0.70=105.0.
∴BD=AE=AC-CE=139.5-105.0=34.5≈35(m).
∴建筑物AC，BD的高度分别为140m和35m.
（2）解：设测量得AB=a，
再用测角仪从点B测量得点C的仰角为43，从点D测量得点C的仰角为35，
∴AC=，BD=AC-CH=
【知识点】解直角三角形—两锐角关系；解直角三角形—构造直角三角形；已知正切值求边长；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，判定得到四边形ABDE为矩形，根据平行线的性质得到∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°，再根据正切的定义解直角三角形可得AC，CE的值，再利用线段的和差运算计算可得BD，解答即可；
（2）写出方案，画出示意图，方案与示意图一致，且设计合理即可.
23．【答案】（1）解：把M(2，-3)代入抛物线得
解这个方程，得
m=3.
=(x-1)2-4.
∴抛物线的顶点坐标为(1，-4).
（2）-4≤b<21.
（3）解：∵直线y=x向下平移n(n>0)个单位长度，
∴平移后直线解析式为y=x-n.
由得，即
∵直线：y=x-n与抛物线有两个交点，
∴方程：有两个不相等的实数根.
∴△=9~4(n-3)=21-4n>0.
解得
又当n=3时，直线y=x-n与抛物线的两个交点恰好在坐标轴上，
∴n的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】
解：（2）点N(a， b)在拋物线上，∴b=a2- 2a- 3，
∵点N到y轴的距离小于4，即|a|<4，得-4
∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-4)，最小值为-4。
∴当a=-4时，b=(-4)2-2x(-4)-3= 21；
当a=4时，b=42-2x4-3=5，
∴b的取值范围为-4< b< 21，
故答案为：-4≤b<21.
【分析】
（1）利用待定系数法把M(2，-3)代入抛物线，计算可得m的值，即可得到抛物线的解析式，化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；
(2)先表示出b=a2- 2a- 3，再根据题干信息表示出-4(3)先通过平移得到平移后直线解析式为y=x-n，再联立方程组化简得到再根据直线与与抛物线有两个交点，利用，计算得到，当n=3时，直线y=x-n与抛物线的两个交点恰好在坐标轴上，从而可得n的取值范围，解答即可.
24．【答案】（1）解：△ABC中， ∠BAC>90° ，
△ABC是钝角三角形，
△ABC的最小覆盖圆为以BC为直径的圆，
画出图形，如图所示：
（2）解：连接AC，CF.
易证∠ACD=∠DCF=45°，
∴∠ACF=90°.
在Rt△ABC中，
在Rt△GCF中，
∵∠ADF>90°，
∴△ADF为钝角三角形.
∴△ADF的最小覆盖圆的直径为
（3）解：延长EF交AD于点H，连接DI，FI.
∵正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，
∴点G在CD边上，点E在BC边上.
易证四边形DHFG为矩形，得FH=GD，HD=FG.
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=FG=CE.
∵CE=2，
∴CG=FG=2.
∵四边形DHFG为矩形，
∴DH=FG=2.
∵四边形ABCD为正方形，BC=7，
∴AD=CD=7.
∴AH=AD-DH=7-2=5.
DG=CD-CG=7-2=5.
∴FH=5.
在Rt△AHF中，
∴tan∠HAF=1.
∴∠DAF=45°.
∵∠DIF和∠DAF所对弧都是
∴∠DIF=∠DAF=45°.
在Rt△DFG中，∠DGF=90°，
∴
∵正方形ABCD，
∴∠IAD=90°.
∴DI为直径.
∴∠DFI=90°.
在Rt△DFI中，
即
∴DI=
∴△ADF的外接圆的直径为
易证△ADF为锐角三角形.
∴△ADF的最小覆盖圆的直径为.
（4）.
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线；圆与三角形的综合；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【解答】
解：（4）变化；连接BE，DG，交BC于点H，BE，DG交于点O，连接MP，
分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ，
∴MQ||BE，MQ=，NP||BE，NP=，MN||DG，MN=，
∴MQ||BE，MQ=PN，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵在正方形ABCD中，在正方形CEFG中，
∴CD=CB，CG=CE，，
∴，
∴△BCE△DCG，
∴BE=DG，，
∴MQ=MN，
∴四边形为MNPQ菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形MNPQ为正方形，
∴MP=MQ=BE，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径为MP，
∴MP随着BE的变化而变化，
∵，即，
∴，
∴，
∴d的范围为：.
故答案为：.
【分析】
（1）根据题干要求，作出线段BC的垂直平分线，再以与BC的交点为圆心，到点B的线段长度为半径，画圆，解答即可；
（2）连接AC，CF，利用勾股定理计算得AF，由△ADF为钝角三角形即可判断△ADF的最小覆盖圆的直径，解答即可；
（3）延长EF交AD于点H，连接DI，FI，由旋转的性质得到点G在CD边上，点E在BC边上，由正方形的性质得到CG，FG，由矩形的性质得到DH，再由线段的和差运算得到FH，再根据正切的定义得到tan∠HAF=1，再由勾股定理计算得到DF，在Rt△DFI中解直角三角形得到DI，解答即可；
（4）连接BE，DG，交BC于点H，BE，DG交于点O，连接MP，分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到中点四边形MNPQ，再由中点四边形的性质判定得到四边形MNPQ为平行四边形，再由正方形的性质推导得出四边形为MNPQ菱形，从而推导出四边形MNPQ为正方形，再结合正方的性质推导出四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径为MP，由此即可解答.
1 / 1山东省滨州市2025年数学中考试卷
1．（2025·滨州）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台.将1.64亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解： 1.64亿 =
故答案为：C
【分析】根据科学记数法，将一个大于10数据表示成形式为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
2．（2025·滨州）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状.关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：圆锥的主视图和左视图都是三角形，
∴ 主视图与左视图相同
故答案为：A
【分析】根据圆锥的三个试图：主视图和左视图都是三角形，俯视图是含圆心的圆，由此解答即可.
3．（2025·滨州）如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”.隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短.下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】
解：隧道线形为直线， 里程大大缩短
∴两点之间，线段最短
故答案为：C
【分析】根据两点之间，线段最短的原理解答即可.
4．（2025·滨州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；同类项的概念；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：
A、a4 与a2不是同类项(指数不同)，不能合并，故A错误，不符合题意；
B、根据积的乘方法则，(2a)5= 25a5 = 32a5，故B错误，不符合题意；
C、根据同底数幂除法法则，a8 ÷a4=a8-4=a4， 故C错误，不符合题意；
D、根据幂的乘方法则，(a4)2 =a4x2=a8， 故D正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同类项的定义，可判断A；根据积的乘方可判断B；根据同底数幂除法法则可判断C；根据幂的乘方法则，可判断D；逐一判断即可解答.
5．（2025·滨州）当自变量x>1时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A．y=-3x B．
C．y=3x+1 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；正比例函数的性质
【解析】【解答】
解：
A、 当x>1时， y随x的增大而减小，故A不符合题意；
B、当x>1时， y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、当x>1时， y随x的增大而增大 ，故C不符合题意；
D、当x>1时， y随x的增大而减小，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据各个函数的性质，在自变量x>1时，逐一判断其增减性，解答即可.
6．（2025·滨州）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展，截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个，设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．10（1+2x）=16.9 B．
C． D．10（1+x）=16.9
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】
解： 设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x
列方程为：
故答案为：B
【分析】设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据增长率公式2023-2025增长了两年，基数为10，因而增长后得结果为，列出方程即可解答.
7．（2025·滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】
解：设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB= 17，EF= 13，
∴AD=CD=CB=AB=17，A=BCD= 90，
设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，
∴
∴GH= EF= 13，
解得m= 5或m= 12，
当m= 5时，则CH =5， CG= 12，
当m= 12时，则CH =12， CG= 5，
∴m= 5或m= 12时，△GCH的形状和大小相同
连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，
设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12
∵
∴
解得r= 2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故答案为：B
【分析】
设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R， 由正方形的性质得AD= CD= CB= AB= 17，A=BCD= 90，设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，利用勾股定理建立关于m的方程，计算求得m= 5或m= 12，从而证明△GCH的形状和大小相同， 连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12，利用面积法求得半径r，计算即可解答.
8．（2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一张纸片被y轴分成矩形ABOC和平行四边形CODE两部分.点A的坐标为（-2，2），点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为（，1）.下列结论：
①纸片的面积是6
②点E的坐标为（，3）；
③若直线l既平分矩形ABOC的面积又平分□CODE的面积，则直线l的解析式为
④若点M是直线OD上的一个动点，连接EM，设EM=m，点C到EM的距离为n，则m与n之间的关系式为
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的面积；中心对称的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：①、过D作DG⊥y轴于点G，
由A(- 2， 2)可知，OC= 2，AC= 2，由D(， 1)可知DG =，
∴ S矩形OBAC= ACOC= 4，
∴纸片的面积= 4 + 2= 6，
故①正确，符合题意；
②、∵DE= OC=2， D(， 1)，
∴E(， 3)，
故②正确，符合题意；
③、如图，连接OA、BC交于点P，连接CD、OE 交于点Q，作直线PQ，
由平行四边形的中心对称性质可知直线PQ平分了矩形OBAC和平行四边形OCED的面积，
根据中点坐标公式可知P(-， 1)，
由P、Q两点坐标可得直线PQ解析式为，
故③正确，符合题意；
如图，连接CM，过C作CT⊥EM于T，
由题意可得： CE//OD，而COD E的面积为
④、EMCT=
∴mn= 2，
∴当EM (m)最小时，CT (n)最大，
∴当EM⊥OD时，EM (m)最小，
∵CE= OD= 2，
∴2m= 2，
解得： m=，此时n= 2，
∴m与n之间的关系式为
故④符合题意；
故答案为：D
【分析】
过D作DG⊥y轴于点G，由A和D坐标，结合矩形和平行四边形的性质即可判断①②；由平行四边形的中心对称性质可知直线l经过矩形OBAC中心和平行四边形OCED中心，即可判断③，连接CM，过C作CT⊥EM于T，根据最大和最小的特殊位置即可判断④，逐一判断即可解答.
9．（2025·滨州）如果☆，则“☆”表示的数是 .
【答案】
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】
解： ☆
故答案为：
【分析】根据有理数的乘法运算：因数=积另一个因数，计算即可解答.
10．（2025·滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
11．（2025·滨州）在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等.如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 .
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】
解：由题意，共有A断B通，A断B断， A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：
【分析】先列举出所有的结果共有4种，其中能通电的只有1种，再利用概率公式计算即可解答.
12．（2025·滨州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数的图象经过点C.若点B的坐标为（0，6），OC=5，则 .
【答案】12
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：在Rt△AOB中，点C为AB的中点，OC= 5，
∴AB=2OC=10，
∵点B的坐标为(0， 6)，
∴OB= 6，
∴OA=
∴A(8，0)，
∴点C的坐标为，即(4，3)，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=3x 4= 12，
故答案为：12，
【分析】在Rt△AOB中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到AB= 10，根据点B的坐标得到OB的长度，在利用勾股定理得到OA=8，从而得到A(8， 0)，再利用中点坐标公式得到C(4， 3)，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，解答即可.
13．（2025·滨州）如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O，若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为 .
【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】
解： ∵△ABC的两个外角的平分线AD， CE相交于点O，
∴点O到AB的距离等于点O到AC的距离，且点O到AC的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到AB的距离等于点O到BC的距离，
∴点O到BC的距离为3.5，
∴点O到AB的距离为3.5，
∵AB=4，
∴△ABO的面积为：x4x3.5= 7；
故答案为：7
【分析】根据角平分线的性质，得到点O到AB的距离等于点O到BC的距离，再利用面积公式进行计算即可解答.
14．（2025·滨州）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.华罗庚解释如下：
①由可得10<<100.由此确定是两位数；
②59319的个位上的数是9，因为只有92的个位上的数是9，所以的个位上的数是9；
③如果划去59319后面的三位数319得到59，而，又27<59<64，由此确定的十位上的数是3，从而得到59319的立方根是39.
已知373248是一个整数的立方，请你按照上述方法，确定373248的立方根是 .
【答案】72
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）；立方根的实际应用
【解析】【解答】
解：∵1000 < 373248 < 1000000，
∴373248的立方根是两位数。
∵373248的个位数字是8；23= 8，
∴立方根的个位数字是2
划去373248后面的三位数248，得到前面的数373；
∵73 = 343， 83=512，且343 < 373 < 512，
∴立方根的十位数字是7。
故答案为：72
【分析】根据阅读材料中的估算方法：先估算373248的立方根是两位数，再由个位数8确定实际数位的最后一位数为2，划去373248后面的三位数248，得到前面的数373；，由此估算十位数为7，由此即可解答.
15．（2025·滨州）两个非零实数：m，n满足且m≠n，则 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】
解：将两式相减得：
因式分解得：
∵ m，n 为非0实数
∴m+n=
将两式相加得：
∴
由m+n=平方得：
∴mn=-2
∴
故答案为：
【分析】观察给出的等式先将两式相减，然后因式分解并计算得到m+n=，再将两式相加化简得到，再由完全平方公式构造得mn=-2，整体代值，计算即可解答.
16．（2025·滨州）如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.
（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短.（保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为 .
【答案】（1）解：如图
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
解：(2)如图，找出A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点M，连接MA，
此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，
A'D=
MA + MD的最小值为，
故答案为：
【分析】
（1）先根据格点计算得AB=BC=5，再由点B到AC最短，则时，BD最短，根据等腰三角形的性质得到此时点D为线段AC的中点，因而利用矩形的对角线特征找到网格的对角线交点即为点D，画出图形即可解答；
（2）先利用对称性作出图形，再由两点之间线段最短得到此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，再用勾股定理计算即可解答.
17．（2025·滨州）
（1）计算：；
（2）解不等式：x-3（x-2）≥4.
【答案】（1）解：原式=1-2-4
=-5.
（2）解：去括号，得：x-3x+6≥4
移项，合并同类项，得：-2x≥-2
系数化为1，得：x≤1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；零指数幂；解一元一次不等式；有理数的除法法则；开立方（求立方根）
【解析】【分析】(1)先算零指数幂为1，再开立方得，再算除法，最后计算加减，即可解答.
(2)根据一元一次不等式的解法：先去括号，再合并同类项，最后系数化为1，计算即可解答.
18．（2025·滨州）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组.例如，算筹图1表示的方程组为图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项.请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解.
【答案】解：由题意，得方程组
②×2，得
2x+4y=16.③
③-①，得
y=3
把y=3代入②，得：x+6=8.
x=2
∴这个方程组的解是
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据图1的规律写出图2的方程组，再利用加减消元法计算即可解答.
19．（2025·滨州）已知
（1）若求C的值：
（2）当y=1，且3C为整数时，求x的整数值.
【答案】（1）
∴C=.
（2）由(1)，得
当y=1时，
∵3C与x均为整数，
∴x-1=±1或x-1=±3.
∴x=0，2，4，-2
为使3C有意义，
∴x≠0且x≠1.
∴x=±2或4.
【知识点】分式的基本性质；分式的约分；分式的混合运算
【解析】【分析】
(1)将A，B代入，因式分解并约分得到，再通过分式的加减运算得到，从而可计算C的值；
（2）当y=1时，化简得到再根据整数的性质讨论得到x=0，2，4，-2，最后保留符合分式有意义的值，计算即可解答.
20．（2025·滨州） 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛，以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程.
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本.
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组 51≤x<61 a 5%
第2组 61≤x<71 10 m
第3组 71≤x<81 15 15%
第4组 81≤x<91 40 40%
第5组 91≤x<101 b #
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图.
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
（1） ▲ ， ▲ ；请将频数分布直方图补充完整；
（2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内；
（3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数.
【答案】（1）解：10％；30％；
因为a=100=5人，b=100-5-10-15-40=30人，
补全直方图如图所示：
（2）4
（3）解：由(1)得，n=30%.
由此估计全校91分以上的同学占比约为30%.
故全校91分以上的同学约有3000×30%=900(人).
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）本次抽样调查的学生共有15 15%= 100(名) .
m=10
n=1-5%-10%-15%-40%=30%
故答案为：10%，30%
（2）有100人，中位数落在49号至50号人之间：即再第4组
故答案为：4
【分析】
(1)用表格中分数段为61< x < 71的频数15除以所占百分比15%可得本次抽样调查的学生人数，
用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为51≤x< 6 1所占百分比5￥可得a的值；用总得百分比减去其余得百分比可得n的值，再用100减去其余组的人数，得到b的值，补全的图形即可解答.
(2)根据偶数个数的中位数排在最中间两位数的平均数，刚好在第4组，解答即可；
(3)根据用样本估计总体，用3000乘以表格中91≤x< 101所占百分比30%，计算即可解答.
21．（2025·滨州）BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接AG并延长交BC于点D.
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）当AB=4时，求BC的长.
【答案】（1）证明：由作图可知。
∠DAC=∠B
又∠C=∠C.
∴△ACD∽△BCA
（2）解：∵∠BAC=108°，AB=AC，
∴∠B=∠C=36°.
由(1)得∠DAC=∠B=36°
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=72°.
∴∠ADB=72°.
∴BD=AB=AC
由(1)知△ACD∽△BCA，
∴
∵BD=AC，且CD=BC-BD，
∴BC（BC-BD）=BD2
∵BD=AB=4，设BC=x，则即
解得x=.
∵x=2-2<0不合题意，应舍去.
∴x=2+2
∴BC的长为2+2
【知识点】配方法解一元二次方程；角的运算；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）根据尺规作图可知是作一个角等于已知角得∠DAC=∠B，再结合公共角即可判定△ACD∽△BCA，解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=36°，再利用角度的和差运算得到∠BAD=72°，再由相似三角形的性质结合线段的和差运算得到BC（BC-BD）=BD2，设BC=x，建立方程计算得到x的值，解答即可.
22．（2025·滨州）如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°.
（1）【问题解决】
请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度（结果保留整数）；（参考数据：）
（2）请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度.（可提供的测量工具：皮尺、测角仪.）
【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则四边形ABDE为矩形.
∴ DE=AB=150，AE=BD.
又CF∥AB.
∴∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°.
，
CE=DE·tan∠CDE=150×tan35°≈150×0.70=105.0.
∴BD=AE=AC-CE=139.5-105.0=34.5≈35(m).
∴建筑物AC，BD的高度分别为140m和35m.
（2）解：设测量得AB=a，
再用测角仪从点B测量得点C的仰角为43，从点D测量得点C的仰角为35，
∴AC=，BD=AC-CH=
【知识点】解直角三角形—两锐角关系；解直角三角形—构造直角三角形；已知正切值求边长；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，判定得到四边形ABDE为矩形，根据平行线的性质得到∠ABC=∠FCB=43°，∠CDE=∠FCD=35°，再根据正切的定义解直角三角形可得AC，CE的值，再利用线段的和差运算计算可得BD，解答即可；
（2）写出方案，画出示意图，方案与示意图一致，且设计合理即可.
23．（2025·滨州）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，-3）在抛物线上。
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）点N（a，b）在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围；
（3）把直线y=x向下平移n（n>0）个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围.
【答案】（1）解：把M(2，-3)代入抛物线得
解这个方程，得
m=3.
=(x-1)2-4.
∴抛物线的顶点坐标为(1，-4).
（2）-4≤b<21.
（3）解：∵直线y=x向下平移n(n>0)个单位长度，
∴平移后直线解析式为y=x-n.
由得，即
∵直线：y=x-n与抛物线有两个交点，
∴方程：有两个不相等的实数根.
∴△=9~4(n-3)=21-4n>0.
解得
又当n=3时，直线y=x-n与抛物线的两个交点恰好在坐标轴上，
∴n的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】
解：（2）点N(a， b)在拋物线上，∴b=a2- 2a- 3，
∵点N到y轴的距离小于4，即|a|<4，得-4∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，-4)，最小值为-4。
∴当a=-4时，b=(-4)2-2x(-4)-3= 21；
当a=4时，b=42-2x4-3=5，
∴b的取值范围为-4< b< 21，
故答案为：-4≤b<21.
【分析】
（1）利用待定系数法把M(2，-3)代入抛物线，计算可得m的值，即可得到抛物线的解析式，化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标；
(2)先表示出b=a2- 2a- 3，再根据题干信息表示出-4(3)先通过平移得到平移后直线解析式为y=x-n，再联立方程组化简得到再根据直线与与抛物线有两个交点，利用，计算得到，当n=3时，直线y=x-n与抛物线的两个交点恰好在坐标轴上，从而可得n的取值范围，解答即可.
24．（2025·滨州）最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用，我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆.
（1）【动手操作】
如图1，△ABC中，∠BAC>90°，请作出△ABC的最小覆盖圆.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）【迁移运用】正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2，以CE为边向外作正方形CEFG.
如图2，连接AF，DF，求△ADF的最小覆盖圆的直径；
（3）将图2中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°（如图3），⊙O经过A，D，F三点，且与边AB，CD分别交于点I，L，求△ADF的最小覆盖圆的直径；
（4）将正方形CEFG绕点C旋转，分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ（如图4）.在旋转过程中，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化 如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围.
【答案】（1）解：△ABC中， ∠BAC>90° ，
△ABC是钝角三角形，
△ABC的最小覆盖圆为以BC为直径的圆，
画出图形，如图所示：
（2）解：连接AC，CF.
易证∠ACD=∠DCF=45°，
∴∠ACF=90°.
在Rt△ABC中，
在Rt△GCF中，
∵∠ADF>90°，
∴△ADF为钝角三角形.
∴△ADF的最小覆盖圆的直径为
（3）解：延长EF交AD于点H，连接DI，FI.
∵正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，
∴点G在CD边上，点E在BC边上.
易证四边形DHFG为矩形，得FH=GD，HD=FG.
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=FG=CE.
∵CE=2，
∴CG=FG=2.
∵四边形DHFG为矩形，
∴DH=FG=2.
∵四边形ABCD为正方形，BC=7，
∴AD=CD=7.
∴AH=AD-DH=7-2=5.
DG=CD-CG=7-2=5.
∴FH=5.
在Rt△AHF中，
∴tan∠HAF=1.
∴∠DAF=45°.
∵∠DIF和∠DAF所对弧都是
∴∠DIF=∠DAF=45°.
在Rt△DFG中，∠DGF=90°，
∴
∵正方形ABCD，
∴∠IAD=90°.
∴DI为直径.
∴∠DFI=90°.
在Rt△DFI中，
即
∴DI=
∴△ADF的外接圆的直径为
易证△ADF为锐角三角形.
∴△ADF的最小覆盖圆的直径为.
（4）.
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；尺规作图-垂直平分线；圆与三角形的综合；尺规作图-作三角形的外接圆
【解析】【解答】
解：（4）变化；连接BE，DG，交BC于点H，BE，DG交于点O，连接MP，
分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ，
∴MQ||BE，MQ=，NP||BE，NP=，MN||DG，MN=，
∴MQ||BE，MQ=PN，
∴四边形MNPQ为平行四边形，
∵在正方形ABCD中，在正方形CEFG中，
∴CD=CB，CG=CE，，
∴，
∴△BCE△DCG，
∴BE=DG，，
∴MQ=MN，
∴四边形为MNPQ菱形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形MNPQ为正方形，
∴MP=MQ=BE，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径为MP，
∴MP随着BE的变化而变化，
∵，即，
∴，
∴，
∴d的范围为：.
故答案为：.
【分析】
（1）根据题干要求，作出线段BC的垂直平分线，再以与BC的交点为圆心，到点B的线段长度为半径，画圆，解答即可；
（2）连接AC，CF，利用勾股定理计算得AF，由△ADF为钝角三角形即可判断△ADF的最小覆盖圆的直径，解答即可；
（3）延长EF交AD于点H，连接DI，FI，由旋转的性质得到点G在CD边上，点E在BC边上，由正方形的性质得到CG，FG，由矩形的性质得到DH，再由线段的和差运算得到FH，再根据正切的定义得到tan∠HAF=1，再由勾股定理计算得到DF，在Rt△DFI中解直角三角形得到DI，解答即可；
（4）连接BE，DG，交BC于点H，BE，DG交于点O，连接MP，分别取DB，BG，GE，ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到中点四边形MNPQ，再由中点四边形的性质判定得到四边形MNPQ为平行四边形，再由正方形的性质推导得出四边形为MNPQ菱形，从而推导出四边形MNPQ为正方形，再结合正方的性质推导出四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径为MP，由此即可解答.
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