广东省中山市华辰实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·中山月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．（2025高二上·中山月考）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
3．（2025高二上·中山月考）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．160，12 B．120，12 C．160，9 D．120，9
4．（2025高二上·中山月考）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高二上·中山月考）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A． B． C． D．
6．（2025高二上·中山月考）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·中山月考）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立
8．（2025高二上·中山月考）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）
A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6
9．（2025高二上·中山月考）下列命题正确的是（ ）
A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2
D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
10．（2025高二上·中山月考）下列选项正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B．“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C．“”是“直线与直线平行”的充要条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
11．（2025高二上·中山月考） 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与相互独立
C． D．
12．（2025高二上·中山月考）在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为 ；身高方差为 .
13．（2025高二上·中山月考）二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ．
14．（2025高二上·中山月考）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为 .
15．（2025高二上·中山月考）已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2，+1)，
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
16．（2025高二上·中山月考）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该样本的第80百分位数；
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率.
17．（2025高二上·中山月考）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
18．（2025高二上·中山月考）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求点到平面的距离．
19．（2025高二上·中山月考）为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.
（1）求甲两轮测试总分为30分的概率；
（2）求乙在第一轮测试中得40分的概率；
（3）试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：，由于为常数，则直线的倾斜角为90°.
故答案为：C.
【分析】根据直线的方程形式，判断其倾斜角.倾斜角是指直线与轴正方向之间的夹角，范围是。对于垂直于轴的直线（为常数），其倾斜角为.
2．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；随机数法
【解析】【解答】解：三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故答案为：B
【分析】明确随机数中命中与不命中的表示，再从25组随机数中找出恰有两次命中的组数，最后利用古典概型概率公式计算.
3．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：样本的容量，抽取的户主对四居室满意的人数为，
故答案为：A.
【分析】通过扇形统计图求出总户主人数，再根据分层抽样的比例求出样本容量；针对四居室户主，结合其满意度百分比，计算出抽取的满意人数.
4．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：设在基底下的坐标为，则，
所以，解得，故在基底下的坐标为.
故答案为：B.
【分析】设向量在新基底下的坐标为，根据空间向量基本定理，将用新基底线性表示，再与原基底表示的对比，列方程组求解.
5．【答案】A
【知识点】直线的斜率；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：为的垂心 ，，
又，，
直线斜率存在且，，
设，则，解得：
故答案为：
【分析】根据垂心的定义，垂心是三角形三条高的交点，故，.用两直线垂直斜率之积为，求出直线和的斜率，再结合斜率公式构造方程组求解顶点的坐标.
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：4名男志愿者用表示，2名女志愿者用表示，从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：共15种情况，其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：共有8个基本事件，
抽取的2名志愿者中有一男一女的概率.
故答案为：.
【分析】确定总的基本事件数，再找出符合“一男一女”的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求解.
7．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：A、由，可得，则事件A与事件B可以同时发生，故A错误；
B、，则，
，，
则，即事件A与事件B相互独立，故B正确；
C 、
则，即事件A与事件C不对立，故C错误；
D、由图可知，所以，易知，则事件A与事件C不相互独立，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐项判断即可.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设增加的数为，，原来的8个数分别为，
则，，所以，
又因为，即，
新的样本数据的方差为
，
因为，，
所以方差的最小值为13.6（当时取到最小值）.
故答案为：D.
【分析】根据平均数公式求出新增两个数的和，再结合原数据的方差公式，将新数据的方差表示为关于新增两个数的表达式，最后利用基本不等式求方差的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：，众数为：2，所以极差与众数之和为，故A正确；
对B：由，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为，
下四分位数是，故B错误；
对C：若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为，故C正确；
对D：右拖尾特征 ：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数 vs 中位数 ：平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.结论 ：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据极差、众数、四分位数、标准差的性质以及频率分布直方图中平均数和中位数的关系逐一分析选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】充要条件；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对A，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对B，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对C，当时，直线与直线化为：与，即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行，解得：，必要性成立，故C正确；
对D，在直线中，该直线的斜率为，
故倾斜角范围为.故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对每个选项，利用直线的方向向量与倾斜角的关系、直线垂直和平行的条件、倾斜角的取值范围等知识点进行分析判断.
11．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A，A与互斥，故，，
则包含事件，故，A正确；
B，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D，
，
因为，故，D正确.
故选：ABD
【分析】本题考查积事件的概率计算公式，并事件的概率计算公式，相互独立事件的概率计算公式.根据互斥的概念可得，据此可得：，代入数据进行计算可判断A选项；利用并事件的概率公式可得：，代入数据可求出，据此可证明，判断B选项；利用互斥事件的定义可得：A与互斥，故与互斥，利用互斥事件的概率计算公式可求出，据此可判断C选项；利用并事件的概率计算公式计算可推出，据此可判断D选项.
12．【答案】166；38
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：总体样本均值为：；
总体样本方差为：.
故答案为：166；38
【分析】用分层随机抽样中总体平均数和方差的计算公式，先根据男、女生的样本量占比计算总体平均数，再结合方差的合成公式计算总体方差.
13．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为，
∴与夹角为，
，
∴，即的长为.
故答案为：.
【分析】将分解为几个向量的和，再利用向量的模长公式和数量积公式，结合二面角的大小来计算的长度.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题
有.由题有.
由题可得可为
，共24种情况.
满足的有共6种，则
对应概率为：.
故答案为：
【分析】设定九宫格中空格的变量，根据第三行与第三列数字和相等的条件建立等式，再通过列举所有排列情况，找出满足条件的情况数，最后利用古典概型概率公式求解.
15．【答案】解：(1)由斜率公式得kAB==0，kAC==.
所以直线AB的斜率为0，直线AC的斜率为．
(2)如图所示．
由斜率公式可得kBC==.设直线CD的斜率为k，
结合图形可得当直线CD由CA的位置按逆时针方向旋转到CB的位置时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，
所以．即k的取值范围为．
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【分析】（1）根据直线斜率公式直接计算；
（2）先求出线段端点对应的直线斜率，结合图形分析斜率的变化范围.
16．【答案】（1）解：由题可得，解得，
因，，
所以样本的第80百分位数位于区间，设为，则，
解得，故该样本的第80百分位数为分.
（2）解：由题可得分，
故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为分.
（3）解：由题可得抽出的6名同学中2名位于区间，4名位于，设2名位于区间的同学为，
4名位于区间的同学为，则6名同学中随机抽取2名同学有：，，，，，
，，，，，，，，，共15种情况，
这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内有：
，，，，，，，共8种情况，
所以有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）先根据频率和为1求出未知组的频率/组距，再结合百分位数的定义求解；
（2）利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均分；
（3）先确定分层抽样的抽取人数，再用古典概型概率公式计算.
（1）由题可得，解得，
因，，
所以样本的第80百分位数位于区间，设为，则，解得，
故该样本的第80百分位数为分.
（2）由题可得分，
故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为分.
（3）由题可得抽出的6名同学中2名位于区间，4名位于，
设2名位于区间的同学为，4名位于区间的同学为，
则6名同学中随机抽取2名同学有：，，，，，
，，，，，，，，，共15种情况，
这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内有：
，，，，，，，共8种情况，
所以有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率为.
17．【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】 (1)分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 根据题意结合互斥事件的概率公式求 ，即可得结果；
(2)（i）用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 根据题意列举样本空间；
（ii） 由（i） 中的结果，结合古典概型分析判断.
18．【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接交于点，则为的中点，连接．为的中点，
，又平面，平面，平面．
（2）解：方法一：四边形是菱形，且，为正三角形，取的中点，连接，，
则，平面平面，平面平面，平面．
是正三角形，．以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立
空间直角坐标系．又，则，，，，，
，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则又，
设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为．
方法二：四边形是菱形，且，为正三角形，取的中点，连接，，则，
又平面平面，平面平面，平面．
，是正三角形，，易得，，连接，
．由，．取的中点，连接．
，，，可得．
设点到平面的距离为h，由，得，
解得，即点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理，通过证明线线平行来证线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法或等体积法求点到平面的距离
（1）解：证明：在四棱锥中，连接交于点，
则为的中点，连接．
为的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）方法一：四边形是菱形，且，
为正三角形，取的中点，连接，，
则，
平面平面，平面平面，
平面．
是正三角形，．
以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
又，则，，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则
又，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．
方法二：四边形是菱形，且，
为正三角形，取的中点，
连接，，则，
又平面平面，平面平面，
平面．
，是正三角形，，易得，
，连接，
．
由，．
取的中点，连接．
，，
，
可得．
设点到平面的距离为h，由，
得，
解得，即点到平面的距离为．
19．【答案】（1）解：设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件；
“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件.
则；
，
（2）解：对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答，则有共10种，
设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有共6种，
则乙在第一轮得40分的概率为：；
（3）解：由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分，当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
甲和乙晋级复赛的概率分别为：；
；当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，甲获得面试资格的概率分别为：，甲获得面试资格的概率为：；
乙获得面试资格的概率为：
乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）分析丙总分为40分的得分构成，利用独立事件概率公式计算；
（2）利用古典概型计算丁第一轮得50分的概率；
（3）分别计算丙、丁总成绩不低于70分的概率，比较大小判断.
（1）设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分，
第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件.
则；
（2）对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答，
则有共10种，
设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有
共6种，
则乙在第一轮得40分的概率为：；
（3）由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分，
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
甲和乙晋级复赛的概率分别为：；
；
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：
；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
甲获得面试资格的概率分别为：，
甲获得面试资格的概率为：；
乙获得面试资格的概率为：
乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单.
1 / 1广东省中山市华辰实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题
1．（2025高二上·中山月考）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：，由于为常数，则直线的倾斜角为90°.
故答案为：C.
【分析】根据直线的方程形式，判断其倾斜角.倾斜角是指直线与轴正方向之间的夹角，范围是。对于垂直于轴的直线（为常数），其倾斜角为.
2．（2025高二上·中山月考）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；随机数法
【解析】【解答】解：三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种
∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
故答案为：B
【分析】明确随机数中命中与不命中的表示，再从25组随机数中找出恰有两次命中的组数，最后利用古典概型概率公式计算.
3．（2025高二上·中山月考）已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A．160，12 B．120，12 C．160，9 D．120，9
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：样本的容量，抽取的户主对四居室满意的人数为，
故答案为：A.
【分析】通过扇形统计图求出总户主人数，再根据分层抽样的比例求出样本容量；针对四居室户主，结合其满意度百分比，计算出抽取的满意人数.
4．（2025高二上·中山月考）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：设在基底下的坐标为，则，
所以，解得，故在基底下的坐标为.
故答案为：B.
【分析】设向量在新基底下的坐标为，根据空间向量基本定理，将用新基底线性表示，再与原基底表示的对比，列方程组求解.
5．（2025高二上·中山月考）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜率；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：为的垂心 ，，
又，，
直线斜率存在且，，
设，则，解得：
故答案为：
【分析】根据垂心的定义，垂心是三角形三条高的交点，故，.用两直线垂直斜率之积为，求出直线和的斜率，再结合斜率公式构造方程组求解顶点的坐标.
6．（2025高二上·中山月考）现有4名男志愿者和2名女志愿者报名参加第21届文博会的服务工作，从这6名志愿者中随机抽取2人安排在文博会的A展区工作，则抽取的2名志愿者中有一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：4名男志愿者用表示，2名女志愿者用表示，从这6名男志愿者中随机抽取的2人的基本事件有：共15种情况，其中抽取的2名志愿者中有一男一女的基本事件有：共有8个基本事件，
抽取的2名志愿者中有一男一女的概率.
故答案为：.
【分析】确定总的基本事件数，再找出符合“一男一女”的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求解.
7．（2025高二上·中山月考）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：A、由，可得，则事件A与事件B可以同时发生，故A错误；
B、，则，
，，
则，即事件A与事件B相互独立，故B正确；
C 、
则，即事件A与事件C不对立，故C错误；
D、由图可知，所以，易知，则事件A与事件C不相互独立，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐项判断即可.
8．（2025高二上·中山月考）已知一组样本数据共有8个数，其平均数为8，方差为12，将这组样本数据增加两个未知的数据构成一组新的样本数据，已知新的样本数据的平均数为9，则新的样本数据的方差最小值为（ ）
A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：设增加的数为，，原来的8个数分别为，
则，，所以，
又因为，即，
新的样本数据的方差为
，
因为，，
所以方差的最小值为13.6（当时取到最小值）.
故答案为：D.
【分析】根据平均数公式求出新增两个数的和，再结合原数据的方差公式，将新数据的方差表示为关于新增两个数的表达式，最后利用基本不等式求方差的最小值.
9．（2025高二上·中山月考）下列命题正确的是（ ）
A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2
D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
【答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：，众数为：2，所以极差与众数之和为，故A正确；
对B：由，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为，
下四分位数是，故B错误；
对C：若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为，故C正确；
对D：右拖尾特征 ：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数 vs 中位数 ：平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.结论 ：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据极差、众数、四分位数、标准差的性质以及频率分布直方图中平均数和中位数的关系逐一分析选项.
10．（2025高二上·中山月考）下列选项正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是
B．“”是“直线与直线垂直”的充要条件
C．“”是“直线与直线平行”的充要条件
D．直线的倾斜角的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】充要条件；直线的倾斜角
【解析】【解答】解：对A，在直线中，一个方向向量是，则直线的斜率为
∴直线的倾斜角是，A正确；
对B，当时，直线与直线变为：与
显然垂直，充分性成立.当直线与直线垂直时，
解得：或，必要性不成立，故B错误；
对C，当时，直线与直线化为：与，即与，两直线平行，充分性满足要求.
若直线与直线平行，解得：，必要性成立，故C正确；
对D，在直线中，该直线的斜率为，
故倾斜角范围为.故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对每个选项，利用直线的方向向量与倾斜角的关系、直线垂直和平行的条件、倾斜角的取值范围等知识点进行分析判断.
11．（2025高二上·中山月考） 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与相互独立
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：A，A与互斥，故，，
则包含事件，故，A正确；
B，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D，
，
因为，故，D正确.
故选：ABD
【分析】本题考查积事件的概率计算公式，并事件的概率计算公式，相互独立事件的概率计算公式.根据互斥的概念可得，据此可得：，代入数据进行计算可判断A选项；利用并事件的概率公式可得：，代入数据可求出，据此可证明，判断B选项；利用互斥事件的定义可得：A与互斥，故与互斥，利用互斥事件的概率计算公式可求出，据此可判断C选项；利用并事件的概率计算公式计算可推出，据此可判断D选项.
12．（2025高二上·中山月考）在对某中学高一年级学生身高调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为160和20，则估计高一年级全体学生的平均身高为 ；身高方差为 .
【答案】166；38
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：总体样本均值为：；
总体样本方差为：.
故答案为：166；38
【分析】用分层随机抽样中总体平均数和方差的计算公式，先根据男、女生的样本量占比计算总体平均数，再结合方差的合成公式计算总体方差.
13．（2025高二上·中山月考）二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算；与二面角有关的立体几何综合题；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为，
∴与夹角为，
，
∴，即的长为.
故答案为：.
【分析】将分解为几个向量的和，再利用向量的模长公式和数量积公式，结合二面角的大小来计算的长度.
14．（2025高二上·中山月考）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题
有.由题有.
由题可得可为
，共24种情况.
满足的有共6种，则
对应概率为：.
故答案为：
【分析】设定九宫格中空格的变量，根据第三行与第三列数字和相等的条件建立等式，再通过列举所有排列情况，找出满足条件的情况数，最后利用古典概型概率公式求解.
15．（2025高二上·中山月考）已知A(-1，1)，B(1，1)，C(2，+1)，
(1)求直线AB和AC的斜率.
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
【答案】解：(1)由斜率公式得kAB==0，kAC==.
所以直线AB的斜率为0，直线AC的斜率为．
(2)如图所示．
由斜率公式可得kBC==.设直线CD的斜率为k，
结合图形可得当直线CD由CA的位置按逆时针方向旋转到CB的位置时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，
所以．即k的取值范围为．
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【分析】（1）根据直线斜率公式直接计算；
（2）先求出线段端点对应的直线斜率，结合图形分析斜率的变化范围.
16．（2025高二上·中山月考）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该样本的第80百分位数；
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值为代表）；
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩在内的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出6名同学，再从抽取的这6名同学中随机抽取2名同学了解情况，求这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率.
【答案】（1）解：由题可得，解得，
因，，
所以样本的第80百分位数位于区间，设为，则，
解得，故该样本的第80百分位数为分.
（2）解：由题可得分，
故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为分.
（3）解：由题可得抽出的6名同学中2名位于区间，4名位于，设2名位于区间的同学为，
4名位于区间的同学为，则6名同学中随机抽取2名同学有：，，，，，
，，，，，，，，，共15种情况，
这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内有：
，，，，，，，共8种情况，
所以有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率为.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）先根据频率和为1求出未知组的频率/组距，再结合百分位数的定义求解；
（2）利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均分；
（3）先确定分层抽样的抽取人数，再用古典概型概率公式计算.
（1）由题可得，解得，
因，，
所以样本的第80百分位数位于区间，设为，则，解得，
故该样本的第80百分位数为分.
（2）由题可得分，
故试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为分.
（3）由题可得抽出的6名同学中2名位于区间，4名位于，
设2名位于区间的同学为，4名位于区间的同学为，
则6名同学中随机抽取2名同学有：，，，，，
，，，，，，，，，共15种情况，
这2名同学中，有一人成绩在内，另一人成绩在内有：
，，，，，，，共8种情况，
所以有一人成绩在内，另一人成绩在内的概率为.
17．（2025高二上·中山月考）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.
（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
【答案】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，
因为为两两互斥事件，
由已知得，
解得.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；
（2）解：（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间
.
（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以
所以
因为，所以此游戏不公平.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；样本点与有限样本空间
【解析】【分析】 (1)分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 根据题意结合互斥事件的概率公式求 ，即可得结果；
(2)（i）用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 根据题意列举样本空间；
（ii） 由（i） 中的结果，结合古典概型分析判断.
18．（2025高二上·中山月考）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接交于点，则为的中点，连接．为的中点，
，又平面，平面，平面．
（2）解：方法一：四边形是菱形，且，为正三角形，取的中点，连接，，
则，平面平面，平面平面，平面．
是正三角形，．以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立
空间直角坐标系．又，则，，，，，
，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则又，
设点到平面的距离为，则，
即点到平面的距离为．
方法二：四边形是菱形，且，为正三角形，取的中点，连接，，则，
又平面平面，平面平面，平面．
，是正三角形，，易得，，连接，
．由，．取的中点，连接．
，，，可得．
设点到平面的距离为h，由，得，
解得，即点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理，通过证明线线平行来证线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法或等体积法求点到平面的距离
（1）解：证明：在四棱锥中，连接交于点，
则为的中点，连接．
为的中点，
，
又平面，平面，
平面．
（2）方法一：四边形是菱形，且，
为正三角形，取的中点，连接，，
则，
平面平面，平面平面，
平面．
是正三角形，．
以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
又，则，，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则
又，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．
方法二：四边形是菱形，且，
为正三角形，取的中点，
连接，，则，
又平面平面，平面平面，
平面．
，是正三角形，，易得，
，连接，
．
由，．
取的中点，连接．
，，
，
可得．
设点到平面的距离为h，由，
得，
解得，即点到平面的距离为．
19．（2025高二上·中山月考）为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.
（1）求甲两轮测试总分为30分的概率；
（2）求乙在第一轮测试中得40分的概率；
（3）试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？
【答案】（1）解：设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件；
“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件.
则；
，
（2）解：对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答，则有共10种，
设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有共6种，
则乙在第一轮得40分的概率为：；
（3）解：由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分，当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
甲和乙晋级复赛的概率分别为：；
；当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，甲获得面试资格的概率分别为：，甲获得面试资格的概率为：；
乙获得面试资格的概率为：
乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）分析丙总分为40分的得分构成，利用独立事件概率公式计算；
（2）利用古典概型计算丁第一轮得50分的概率；
（3）分别计算丙、丁总成绩不低于70分的概率，比较大小判断.
（1）设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分，
第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件.
则；
（2）对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答，
则有共10种，
设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有
共6种，
则乙在第一轮得40分的概率为：；
（3）由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分，
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，
甲和乙晋级复赛的概率分别为：；
；
当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：
；
当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时，
甲和乙获得面试资格的概率分别为：
当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时，
甲获得面试资格的概率分别为：，
甲获得面试资格的概率为：；
乙获得面试资格的概率为：
乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单.
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