第一章 1.1 第1课时
一、选择题
1．下列语句是命题的是导学号 96660009 ( )
A．|x＋a| B．0∈Z
C．集合与简易逻辑 D．真子集
[答案] B
[解析] 0∈Z是真命题，故选B.
2．下列语句：①12>5；②3是12的约数；③0.5是整数；④这是一棵大树；⑤x2＋3<2.其中不是命题的有导学号 96660010 ( )
A．①③⑤ B．①②③④
C．②③④ D．④
[答案] D
[解析] 由命题定义知①②③⑤是命题．
3．下列语句中命题的个数为导学号 96660011 ( )
①平行四边形不是梯形；
②是无理数；
③方程9x2－1＝0的解是x＝±；
④请进．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ①②③是命题．
4．下列三个命题：①方程x2－x＋2＝0的判别式小于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数．其中是真命题的是导学号 96660012 ( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①
[答案] C
[解析] 矩形的对角线互相平分，但不一定垂直．
5．下列说法正确的是导学号 96660013 ( )
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“当a>1时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
[答案] D
[解析] 由Δ＝16－4a≥0，知a≤4，故D正确．
6．设a、b、c是任意非零平面向量，且两两不共线，则
①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|≤|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题为导学号 96660014 ( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] ①向量的数量积不满足结合律；③(b·c)a－(c·a)b与c互相垂直．所以②④正确．
二、填空题
7．有下列三个命题： 导学号 96660015
①若x·y＝0，则x、y中至少有一个为0；
②全等三角形面积相等；
③若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解．
其中真命题是________(填上所有正确命题的序号)．
[答案] ①②③
[解析] ①②③都是真命题．
8．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：导学号 96660016
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
[答案] ②
[解析] 对于①，向量在等式两边不能相消，也可举反例：当a⊥b且a⊥c，a·b＝a·c＝0，但此时b＝c不一定成立；
对于②，在＝，得k＝－3；
对于③，根据平行四边形法则，画图可知a与a＋b的夹角为30°，而不是60°.
三、解答题
9．判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由；若是，判断命题的真假．
导学号 96660017
(1)奇数的平方仍是奇数；
(2)两对角线垂直的四边形是菱形；
(3)所有的质数都是奇数；
(4)5x>4x.
[解析] (1)是命题，而且是真命题；
(2)是假命题，如四边形ABCD，若AB＝AD≠BC＝CD时，对角线AC也垂直于对角线BD.
(3)是假命题，因为2是质数，但不是奇数．
(4)不是命题，因为x是未知数，不能判断不等式的真假.
一、选择题
1．下列语句：①奇函数图象关于原点对称；②x>2；③△ABC的面积；④高三全体学生．其中不是命题的是导学号 96660018 ( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] D
[解析] 只有①中的语句能判断真假，②③④中的语句不能判断真假，故选D.
2．下列语句中，命题的个数是导学号 96660019 ( )
①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①④是命题，②③不是命题，故选B.
3．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数为导学号 96660020 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] ③④是真命题，①②是假命题，故选B.
4．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中正确的是导学号 96660021 ( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若|a·b|＝|a·c|，则b＝c
[答案] B
[解析] λa＝0，则λ＝0或a＝0，故选B.
二、填空题
5．给出下列四个命题： 导学号 96660022
①梯形的对角线相等；
②对任意实数x，均有x＋2>x；
③不存在实数x，使x2＋x＋1<0；
④有些三角形不是等腰三角形．
其中所有真命题的序号为________．
[答案] ②③④
[解析] ①是假命题，②③④是真命题．
6．下列语句：①是无限循环小数；②当x＝4时，2x>0；③难道菱形的对角线不互相平分吗？④请坐！其中不是命题的是________． 导学号 96660023
[答案] ④
[解析] ①②③是命题，④不是命题．
三、解答题
7．判断下列语句是否是命题，并说明理由．导学号 96660024
(1)求证：是无理数；
(2)x2＋4x＋4≥0；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果．
[解析] (1)祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R.可以判断真假，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．
8．判断下列命题的真假．导学号 96660025
(1)形如a＋b的数是无理数；
(2)正项等差数列的公差大于零；
(3)能被2整除的数一定能被4整除．
[解析] (1)假命题，反例：若a为有理数，b＝0，则a＋b为有理数．
(2)假命题，反例：若此等差数列为递减数列，如数列20,17,14,11,8,5,2，它的公差为－3.
(3)假命题，反例：数2,6能被2整除，但不能被4整除．
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．导学号 96660026
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m>时，mx2－x＋1＝0无实根．
[解析] (1)若ac>bc，则a>b，假命题．
(2)已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，且x＝2，假命题．
(3)若m>，则mx2－x＋1＝0无实根，真命题．
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第1课时 命题第一章下面的语句是命题吗？
(1)火星存在生命；
(2)人类在100年后将定居火星；
(3)啊，火星好荒凉！
答案：(1)(2)是命题．(3)不是命题.一 命题
1．命题的定义
能判断真假的语句叫命题．一般用一个小写英文字母表示命题，如p、q、r等．
由定义可以看出并不是所有语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．注意：(1)一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不能判断真假，故都不是命题．反诘疑问句是命题，例如“通道这么说不对吗？”
(2)一些表述事实和现象或规律的陈述句，如“人类在100年后将定居火星”等．尽管目前还不能确定其真假，但是随着科学技术的进步和时间的推移，总能确定它们的真假．这一类猜想仍算为命题．下列语句中，不能成为命题的是( )
A．5>12
B．x>0
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．三角形的三条中线交于一点
[答案] B
[解析] 对于x>0，不能判断其真假，故不是命题，
∴选B.导学号 96660000
2．命题真假的判断
判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
注意：判断一个命题真假的方法：数学中判定一个命题是真命题，要经过证明；但要判定一个命题是假命题，只需举一个反例即可．导学号 96660001
[答案] C
[解析] 若两组数据的平均数相等，但它们的标准差不一定相等，②错误；①③正确． 下列语句中命题的个数为( )
①空集是任何集合的真子集；
②x2－3x－4＝0；
③3x－2>0；
④把门关上！
⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个命题的概念 导学号 96660002[解题提示] 本题主要考查命题的定义，解题的关键是看语句是否可以判断真假．
[解析] ①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．
②③是开语句，不是命题．
④是祈使句，不是命题．
⑤是疑问句，不是命题．
故只有①是命题，应选A.
[答案] A
[方法总结] 首先是从句型上排除，然后再看语句能否判断真假．判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)一条直线l，不是与平面α平行就是相交；
(2)作△ABC∽△A′B′C′；
(3)这是一棵大树；
(4)等边三角形难道不是等腰三角形吗？
[解析] (1)直线l与平面α有相交、平行和在平面内三种位置关系，是命题．
(2)为祈使句，不是命题．
(3)“大树”不能界定，故不能判断其真假，不是命题．
(4)用反问句对等边三角形是不是等腰三角形作出判断，是命题.导学号 96660003命题真假的判断 下列语句中，真命题有________．(填序号)
①正弦函数是周期函数吗？
②在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB；
③若logab>0，则a、b都大于1；
④若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝2·3n－1；
⑤集合A是集合A∪B的子集．
[解题提示] 经过推理论证成立的为真命题，只能举出一个反例的就是假命题．导学号 96660004下列命题中，假命题的个数为( )
①2不是素数； ②自然数不都大于0；
③2 013能被3整除； ④常数函数不是奇函数．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 2是素数，故①不正确；常数函数y＝0，x∈R是奇函数，故④不正确；②、③正确，故选B.导学号 96660005命题的结构分析 指出下列命题的条件和结论．
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
[解题提示] 判断命题的条件与结论首先把命题写成“若p则q”的形式．导学号 96660006[解析] (1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2＝0”．
(2)命题可改写为：
若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．
条件是“四边形为平行四边形”，结论是“对角线互相平分”．
[方法总结] 一个命题总存在条件和结论两个部分，分清命题的条件和结论，对命题的真假判断非常关键，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．指出下列命题的条件和结论．
(1)当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧．
[解析] (1)条件是“abc＝0”，
结论是“a＝0或b＝0或c＝0”．
(2)若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧．条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心，且平分弦所对的弧”.导学号 96660007导学号 96660008第一章 1.1 第2课时
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是导学号 96660036 ( )
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二·一班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
[答案] C
[解析] “高二·一班绝大多数同学是团员”是存在性命题．
2．下列命题为存在性命题的是导学号 96660037 ( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
[答案] D
[解析] A、B、C为全称命题．
3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是导学号 96660038 ( )
A．每一个二次函数的图象都是开口向上
B．存在一条直线与两个相交平面都垂直
C．存在一个实数x，使x2－3x＋6<0
D．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b
[答案] D
[解析] 选项A中的命题是全称命题，且为假命题；选项B、C中的命题是存在性命题；选项D中的命题是全称命题，且为真命题．
4．若a、b∈R，且a2＋b2≠0，则①a、b全为0；②a、b不全为0；③a、b全不为0；④a、b至少有一个不为0.其中真命题的个数为导学号 96660039 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] a、b全为零时，a2＋b2＝0，故①不正确；当a＝0，b≠0或a≠0，b＝0时，a2＋b2≠0，故③不正确；②④正确，故选C.
5．既是存在性命题，又是真命题的是导学号 96660040 ( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使>2
[答案] B
[解析] x＝0时，满足x2≤0.
6．下列命题：
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有导学号 96660041 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
[答案] B
[解析] ②③含有全称量词“任意”．
二、填空题
7．给出下列4个命题： 导学号 96660042
①a⊥b?a·b＝0；
②矩形都不是梯形；
③?x，y∈R，x2＋y2≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是____________．
[答案] ①②④
[解析] 根据全称命题的表示形式可知，①②④是全称命题．
8．下列语句： 导学号 96660043
①|x－1|<2；
②存在实数a使方程x2－ax＋1＝0成立；
③等腰梯形的对角线相等．
其中是全称命题且为真命题的是________．
[答案] ③
[解析] 命题“等腰梯形的对角线相等”是全称命题且为真命题．
三、解答题
9．判断下列命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假．导学号 96660044
(1)?x∈R，x－2≤0；
(2)矩形的对角线垂直平分；
(3)凡三角形两边之和大于第三边；
(4)有些质数是奇数．
[解析] (1)存在性命题．x＝2时，x－2＝0成立．所以，存在性命题“?x∈R，x－2≤0”是真命题；
(2)全称命题．邻边不相等的矩形的对角线不垂直．所以，全称命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题；
(3)全称命题．三角形中，两边之和大于第三边．所以，全称命题“凡三角形两边之和大于第三边”是真命题．
(4)存在性命题.3是质数，3也是奇数．所以，存在性命题“有些质数是奇数”是真命题．
一、选择题
1．在下列存在性命题中假命题的个数是导学号 96660045 ( )
①有的实数是无限不循环小数；
②有些三角形不是等腰三角形；
③有的菱形是正方形．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 因为三个命题都是真命题，所以假命题的个数为0.
2．下列命题为假命题的是导学号 96660046 ( )
A．有理数是实数
B．偶数都能被2整除
C．?x0∈R，x－3＝0
D．?x∈R，x2＋2x>0
[答案] D
[解析] x＝－1时，x2＋2x＝1－2＝－1<0，所以为假命题.
3．下列命题是假命题的是导学号 96660047 ( )
A．?x∈R,3x>0 B．?x∈N，x≥1
C．?x∈Z，x<1 D．?x∈Q，?Q
[答案] B
[解析] 当x＝0时，0∈N，但0<1，故“?x∈N，x≥1”为假命题．
4．对命题“一次函数f(x)＝ax＋b是单调函数”改写错误的是导学号 96660048 ( )
A．所有的一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
B．任意一个一次函数f(x)＝ax＋b都是单调函数
C．任意一次函数f(x)＝ax＋b，f(x)是单调函数
D．有的一次函数f(x)不是单调函数
[答案] D
[解析] 由全称命题的表示形式知，选项D错误．
二、填空题
5．给定下列命题： 导学号 96660049
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>b，则a－c>b－c；
③对角线相等的四边形是矩形．
其中真命题的序号是________．
[答案] ①②
[解析] 当k>0时，方程x2＋2x－k＝0中，Δ＝4＋4k>0，故方程有实根；
由不等式的性质得，若a>b，则a－c>b－c成立；
对角线相等的平行四边形是矩形．
6．若“?x∈R,2x＝m”是真命题，则实数m的取值范围是______________．
导学号 96660050
[答案] (0，＋∞)
[解析] ∵2x∈(0，＋∞)，∴m∈(0，＋∞)，
故实数m的取值范围是(0，＋∞)．
三、解答题
7．用量词符号“?”、“?”表达下列命题： 导学号 96660051
(1)所有的有理数x都使得x2＋x＋1是有理数；
(2)一定有实数α、β，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(3)一定有整数x、y，使得3x－2y＝10；
(4)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有一个解．
[解析] (1)?x∈Q，都能使得x2＋x＋1是有理数；
(2)?α、β∈R，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；
(3)?x、y∈Z，使得3x－2y＝10；
(4)?a∈R，?b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．
8．设集合S＝{三角形}，p(x)：“内角和为180°”．试用不同的表述写出全称命题“?x∈S，p(x)”． 导学号 96660052
[解析] 对所有的三角形x，x的内角和为180°；
对一切三角形x，x的内角和为180°；
每一个三角形x的内角和为180°；
任一个三角形x的内角和为180°；
凡是三角形，它的内角和为180°.
9．(1)若对?x∈R，使sinx>a成立，求实数a的取值范围；导学号 96660053
(2)若?x∈R，使sinx>a成立，求实数a的取值范围．
[解析] (1)?x∈R，－1≤sinx≤1，
要使sinx>a对一切x∈R成立，则a<－1，
所以实数a的取值范围是(－∞，－1)．
(2)若?x∈R，使sinx>a成立，则a<1即可，所以实数a的取值范围是(－∞，1)．
课件32张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修1-1 1-2 常用逻辑用语第一章1.1 命题与量词
第2课时 量词第一章如何判断一个语句是否为命题？
答案：要判断一个句子是不是命题，要先看给出的句子的句型，一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，如“三角函数是周期函数吗？”、“但愿每个三次方程都有三个实数根！”、“指数函数的图象真漂亮！”等，都不是命题．其次，就要看它是否符合“能判断真假”这个条件.一、全称量词与全称命题
概念：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．注意：(1)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．
(2)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．
(3)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只需举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．给出下列命题：
①所有的单位向量都相等；
②对任意实数x，均有x2＋2>x；
③不存在实数x，使x2＋2x＋3<0.
其中所有正确命题的序号为________．
[答案] ②③导学号 96660027
二、存在量词与存在性命题
概念：短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示，含有存在量词的命题叫做存在性命题．注意：(1)存在性命题就是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
(2)存在性命题一般含有“有一个”或“某一个”或“有些”或“至少有一个”等量词．
(3)一个存在性命题可以包含多个变量，如?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.
(4)要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中能找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．用符号“?”与“?”表示下列命题，并判断真假．
(1)不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
(2)存在一个实数x，使x2＋x＋4≤0.导学号 96660028 用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：
(1)x2＋2x＋3≥2；
(2)终边相同的角的正弦值相等．全称命题的构成及真假判断 导学号 96660029[解题探究] (1)全称命题的统一形式为“?x∈M，p(x)”．
(2)判断全称命题的真假，可以先找反例，若找到一个反例，说明全称命题是假命题，若找不到反例，就可以尝试证明命题是真命题．
[解析] (1)?x∈R，x2＋2x＋3≥2.
x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2.真命题．
(2)所有终边相同的角的正弦值相等．真命题．
[方法总法] 要认真阅读题意，根据命题所涉及的意义去判断，只要挖掘出“所有”或“任意”的含义，则为全称命题．
(2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的所有元素x，验证p(x)都成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出限定集合中的一个x0，使p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举一个反例”)．用全称量词把下列语句写成全称命题，并判断真假：
(1)sin2x＝2sinxcosx；
(2)三角形有外接圆；
(3)非负实数有两个偶次方根．
[解析] (1)?x∈R，sin2x＝2sinxcosx.真命题．
(2)任意三角形都有外接圆．真命题．
(3)所有的非负实数都有两个偶次方根．假命题.导学号 96660030 存在性命题的构成及真假判断 用存在量词将下列语句写成存在性命题，并判断真假：
(1)2sinx＝3能成立；
(2)素数也可以是偶数．
[解题提示] 存在性命题的统一形式为“?x∈M，p(x)”．
[解析] (1)?x∈R,2sinx＝3.假命题．
(2)有的素数是偶数．真命题．导学号 96660031[方法总结] 1.判断一个语句是全称命题还是存在性命题时要注意以下两点：
(1)首先判断该语句是不是命题．
(2)对命题属性进行判定时，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．当语句中没有明显的量词出现时，要看语句的隐含意思．
2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合中找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．用存在量词将下列语句写成存在性命题，并判断真假；
(1)奇函数也可以是偶函数；
(2)不是每一个四边形都有外接圆．
[解析] (1)存在函数既是奇函数又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R，真命题．
(2)有的四边形没有外接圆．真命题.导学号 96660032利用全称命题与存在性命题求参数的取值范围 若关于x的不等式ax2＋ax＋1>0对任意实数x都成立，求a的取值范围．
[解题提示] 这是一个全称命题且为真命题，意味着每一个x都要满足ax2＋ax＋1>0.特别要注意当a＝0时的判断，解题时容易漏掉．导学号 96660033
[方法总结] 利用全称命题、存在性命题求参数的范围是一类综合性较强、难度较大的问题．
全称命题为真意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，存在性命题为真意味着限定集合中只要存在一个元素具有某种性质即可．导学号 96660034导学号 96660035[辨析] 对恒成立问题，即全称命题中的参数取值范围理解不到位，错误地认为不等式恒成立只需使右边大于左边的最小值即可．第一章 1.2 第1课时
一、选择题
1．下列命题中是“p∧q”形式的命题是导学号 96660062 ( )
A．28是5的倍数或是7的倍数
B．2是方程x2－4＝0的根又是方程x－2＝0的根
C．函数y＝ax(a>1)是增函数
D．函数y＝lnx是减函数
[答案] B
[解析] 选项A是由“或”联结构成的新命题，是“p∨q”形式的命题；选项B可写成“2是方程x2－4＝0的根且是方程x－2＝0的根”，是由逻辑联结词“且”联结构成的新命题，故选项B是“p∧q”形式的命题；选项C，D不是由逻辑联结词联结形成的新命题，故不是“p∧q”形式的命题．
2．下列说法与x2＋y2＝0含义相同的是导学号 96660063 ( )
A．x＝0且y＝0 B．x＝0或y＝0
C．x≠0且y≠0 D．x≠0或y≠0
[答案] A
[解析] 因两个非负数的和等于0，故每个加数都为0，即x2＝0且y2＝0，所以x＝0且y＝0.
3．下列命题是真命题的是导学号 96660064 ( )
A．5>2且7>8
B．3>4或3<4
C．7－1≥7
D．方程x2－3x＋4＝0有实根
[答案] B
[解析] 虽然p:3>4假，但q:3<4真，所以p∨q为真命题．
4．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是国际音乐日；②10的倍数一定是5的倍数；③2是偶数或3不是质数；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有导学号 96660065 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] ①属p∧q型，用“且”．②是简单命题，无联结词．③属p∨q型，用“或”．④属p∨q型，用“或”．故选C.
5．下列为假命题的是导学号 96660066 ( )
A．3是7或9的约数
B．两非零向量平行，其所在直线平行或重合
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0
[答案] C
[解析] 菱形的对角线互相垂直但不一定相等．
6．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是导学号 96660067 ( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
[答案] C
[解析] 由，得，
∴P(1，－1)，故选C.
二、填空题
7．若p:2是8的约数，q:2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)． 导学号 96660068
[答案] 2是8的约数，或者是12的约数 2既是8的约数，又是12的约数
8．用“p∨q”、“p∧q”填空． 导学号 96660069
命题“a2＋1≥1”是________形式．
[答案] “p∨q”
[解析] a2＋1≥1即为a2＋1>1或a2＋1＝1.
三、解答题
9．下列语句是命题吗？如果是命题，请指出命题的构成形式：导学号 96660070
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或内切圆；
(3)正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数并且是周期函数．
[解析] (1)是p∧q形式命题．其中p:向量有大小，q:向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．其中p:矩形有外接圆，q:矩形有内切圆．
(3)是p∧q形式命题．其中p:正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数，q:正弦函数y＝sinx(x∈R)是周期函数.
一、选择题
1．下列命题，其中假命题的个数为导学号 96660071 ( )
①5>4或4<5；
②9≥3；
③命题“若a>b，则a＋c>b＋c”．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①②③都是真命题，故选A.
2．下列命题中既是p∧q的命题，又是真命题的是导学号 96660072 ( )
A．10或15是5的倍数
B．方程x2－3x－4＝0的两根和是1
C．方程x2＋1＝0没有实数根
D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
[答案] D
[解析] 有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形既是p∧q的命题，又是真命题．
3．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．判断如下两个命题的真假：
命题甲：f(x＋2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是导学号 96660073 ( )
A．①② B．①③
C．② D．③
[答案] C
[解析] f(x)＝|x＋2|，则f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，排除选项A、B；f(x)＝cos(x－2)在(－∞，2)上不具有单调性，排除D，故选C.
4．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图象关于原点对称，则有
导学号 96660074 ( )
A．“p且q”为真 B．“p或q”为假
C．p真q假 D．p假q真
[答案] C
[解析] 对于命题p：当x＝－1时，y＝logaa＝1，故命题p为真；对于命题q：将函数y＝f(x)的图象向右平移3个单位，得到函数y＝f(x－3)的图象，故函数y＝f(x－3)的图象关于点(6,0)对称，∴命题q为假，故选C.
二、填空题
5．命题p：x2＋2x－3>0，命题q：(x－2)(x－3)<0.若p且q为真，则x的取值范围是____________．导学号 96660075
[答案] (2,3)
[解析] 由(x＋3)(x－1)>0，得x>1或x<－3，
∴p真：x>1或x<－3.
由(x－2)(x－3)<0，得2
若p且q为真，
则，
∴26．设有两个命题：导学号 96660076
①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
②函数f(x)＝logmx是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数m的取值范围是________．
[答案] m＝0或m≥1
[解析] ①是真命题则m≥0，②是真命题则 0三、解答题
7．命题p：二次函数y＝(－)x2＋(－)x＋(－)的图象与x轴相交，命题q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，判断由p、q组成的新命题p∧q的真假．
导学号 96660077
[解析] p：二次函数y＝(－)x2＋(－)x＋(－)的图象与x轴相交，易知图象过(1,0)，故p为真．
q：二次函数y＝－x2＋x－1的图象与x轴相交，而Δ＝－3<0，故q为假，所以p∧q为假命题．
8．已知a>0，设命题p:函数y＝ax在R上单调递增；命题q:不等式ax2－ax＋1>0对?x∈R恒成立．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．导学号 96660078
[解析] ∵y＝ax在R上单调递增，∴p:a>1；
又不等式ax2－ax＋1>0对?x∈R恒成立，
∴Δ<0且a>0，即a2－4a<0，∴0∴q:0而命题p∧q为假，p∨q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．
(1)若p真，q假，则a≥4；
(2)若p假，q真，则0所以a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．
9．已知命题p：函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域为R，导学号 96660079
命题q：函数y＝xa2－2a－3在x∈(0，＋∞)上是减函数，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] 命题p：函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域为R，即ax2－ax＋1>0对一切实数x恒成立，其充要条件为a＝0或，
∴0≤a<4.
命题q：函数y＝xa2－2a－3在x∈(0，＋∞)上是减函数，得a2－2a－3<0，所以－1由题意知，命题p、q有且只有一个是真命题，当p为真，q为假时，，∴3≤a<4.
当p为假，q为真时，?－1综上可得，实数a的取值范围是－1课件33张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修1-1 1-2 常用逻辑用语第一章1.2 基本逻辑联结词
第1课时 “且”与“或”第一章把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．
答案：(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题.以下判断正确的是( )
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”为真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”为假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p∧q”不一定是假命题
[答案] B
[解析] “p∧q”为真，则p、q均为真．导学号 96660054注意：(1)对“或”的理解，可联想到集合中的“并集”的概念，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立．
(2)逻辑联结词中的“或”的含义与并集中“或”的含义是一样的，它们都不同于生活中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”．由下列各组命题构成的新命题是“p或q”、“p且q”都为真命题的是( )
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数导学号 96660055
[答案] B
[解析] A中p假q真，p且q为假，∴A为假．B中p真q真，∴“p或q”，“p且q”都为真命题，∴B为真．C中p假q假，∴C为假，D中p真q假，∴D为假．含“且”、“或”的命题的写法 导学号 96660056[解题提示] 在确定命题的形式时，一定要弄清“且”“或”这两个逻辑联结词的含义．分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”、“p∨q”形式的命题．
(1)p：9是奇数，q：9是素数；
(2)p：一次函数是单调函数，q：一次函数是奇函数．
[解析] (1)p∧q：9是奇数且是素数．
p∨q：9是奇数或是素数．
(2)p∧q：一次函数是单调函数且是奇函数．
p∨q：一次函数是单调函数或是奇函数.导学号 96660057含“且”、“或”的命题真假的判断 导学号 96660058[方法总结] 要判断一个复合命题的真假，需先判断简单命题的真假，再利用真值表来确定其真假．分别指出由下列各组命题构成的“p且q”、“p或q”形式的新命题的真假．
(1)p：A?A，q：A∩A＝A；
(2)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实根．
[解析] (1)∵p真q真，∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(2)∵p假q假，∴“p∨q”为假，“p∧q”为假.导学号 96660059利用命题的真假求参数的取值范围 导学号 96660060导学号 96660061[辨析] 误解的原因是忽视了大前提条件c>0，导致p假、q假中c的取值范围出现错误．第一章 1.2 第2课时
一、选择题
1．设命题p：?x∈R，x2＋1>0，则?p为导学号 96660091 ( )
A．?x0∈R，x＋1>0 B．?x0∈R，x＋1≤0
C．?x0∈R，x＋1<0 D．?x∈R，x2＋1≤0
[答案] B
[解析] 全称命题的否定是存在性命题，故选B.
2．由下列各组命题构成的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“?p”为真的一组为导学号 96660092 ( )
A．p:∈Q，q:??A
B．p:π<3，q:5>3
C．p:a∈{a，b}，q:{a}?{a，b}
D．p:Q?R，q:N＝Z
[答案] B
[解析] 若?p为真，则p为假，又p∨q为真，p∧q为假，所以q真．故选B.
3．已知全集S＝R，A?S，B?S，若命题p:∈(A∪B)，则命题“?p”是导学号 96660093 ( )
A.?A B.∈?SB
C.?(A∪B) D.∈(?SA)∩(?SB)
[答案] D
[解析] 因为p:∈(A∪B)，所以?p:?(A∪B)，即∈?S(A∪B)，所以∈(?SA)∩(?SB)．故选D.
4．若命题“(?p)∨(?q)”是假命题，则下列各结论中，正确的是导学号 96660094 ( )
①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题； ④命题“p∨q”是假命题．
A．①③ B．②④
C．②③ D．①④
[答案] A
[解析] (?p)∨(?q)为假，故(?p)与(?q)均为假，所以p、q均为真，所以①③正确．
5．(2015·湖北文，3)命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是导学号 96660095 ( )
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x?(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x0?(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
[答案] A
[解析] 由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，故应选A.
6．已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是导学号 96660096 ( )
A．p∧q B．(?p)∧q
C．p∧(?q) D．(?p)∧(?q)
[答案] B
[解析] 当x＝0时，有2x＝3x，故命题p是假命题；
∴?p为真命题．
如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴命题q是真命题，故选B.
二、填空题
7．“三个数a、b、c不全为0”的否定是________．导学号 96660097
[答案] 三个数a、b、c全都为0
[解析] “不全为”的否定是“全都为”．
8．已知p(x):x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．导学号 96660098
[答案] [3,8)
[解析] ∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴，解得3≤m<8.
三、解答题
9．已知命题p：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数；q：方程2x2－2x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并指出其真假．导学号 96660099
[解析] “p或q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数或不相等．
“p且q”的形式：方程2x2－2x＋3＝0的两根都是实数且不相等．
“非p”的形式：方程2x2－2x＋3＝0无实根．
∵Δ＝24－24＝0，
∴方程有相等的实根，故p真，q假．
∴“p或q”真，“p且q”假，“非p”假.
一、选择题
1．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是导学号 966600100 ( )
A．p为真 B．?q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
[答案] C
[解析] 本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．
对“p∧q”真假判定：全真为真，一假则假．
2．(2014·重庆文)已知命题
p：对任意x∈R，总有|x|≥0；
q：x＝1是方程 x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是导学号 966600101( )
A．p∧(?q) B．(?p)∧q
C．(?p)∧(?q) D．p∧q
[答案] A
[解析] 由题意知，命题p是真命题，命题q是假命题，故?p是假命题，?q是真命题，故p∧(?q)是真命题，故选A.
3．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是导学号 966600102 ( )
A．p∨q B．p∧q
C．(?p)∧(?q) D．p∨(?q)
[答案] A
[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，
∴p是假命题．
∵a，b，c是非零向量，
a∥b知，a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，
(?p)∧(?q)，p∨(?q)都是假命题．
4．(2016·浙江理)命题“?x∈R，?n∈N*使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x∈R，?n∈N*使得nB．?x∈R，?n∈N*使得nC．?x∈R，?n∈N*使得nD．?x∈R，?n∈N*使得n[答案] D
[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．
二、填空题
5．命题“奇数的平方不是偶数”是________形式．导学号 966600104
[答案] “?p”
6．已知命题p：不等式x2＋x＋1≤0的解集为R，命题q：不等式≤0的解集为{x|1导学号 966600105
[答案] p∨q，?p
[解析] ∵?x∈R，x2＋x＋1>0，
∴命题p为假，?p为真．
∵≤0，∴，解得1∴命题q为真，p∨q为真，p∧q为假，?q为假．
三、解答题
7．分别指出由下列各组命题构成的新命题“p∨q”、“p∧q”、“?p”的真假
导学号 966600106
(1)p：梯形有一组对边平行，
q：梯形有一组对边相等；
(2)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，
q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
[解析] (1)p真、q假，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“?p”为假．
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为{x|x≠1}，∴p假；
不等式x2－2x＋2≤1，即x2－2x＋1≤0的解集为{x|x＝1}，∴q假．
故“p∨q”为假，“p∧q”为假，“?p”为真．
8．对于下述命题p，写出“?p”形式的命题，并判断“p”与“?p”的真假：
导学号 966600107
(1)p:91∈(A∩B)(其中A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数})；
(2)p:有一个素数是偶数；
(3)p:任意正整数都是质数或合数；
(4)p:三角形有且仅有一个外接圆．
[解析] (1)?p:91?A或91?B；
p真，?p假．
(2)?p:每一个素数都不是偶数；
p真，?p假．
(3)?p:存在一个正整数不是质数也不是合数；
p假，?p真．
(4)?p:存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆；
p真，?p假．
9．若“?x∈[0，]，sinx＋cosx导学号 966600108
[解析] 令f(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0，]，
可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数．
∵f(0)＝，f()＝2，f()＝1，∴1≤f(x)≤2.
∵“?x∈[0，]，sinx＋cosx∴m≤f(x)min＝1.
故实数m的取值范围是(－∞，1]．
课件28张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修1-1 1-2 常用逻辑用语第一章1.2 基本逻辑联结词
第2课时 “非”(否定)第一章如何判断“p或q”、“p且q”形式命题的真假？步骤如何？
答案：判断“p或q”、“p且q”形式命题的真假，主要利用真值表来判断，其步骤如下：
(1)确定命题p、q的真假；
(2)确定复合命题的构成；
(3)利用真值表判断该命题的真假.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)存在一个四边形不是平行四边形．
[解析] (1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是存在性命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．导学号 96660080二、全称命题与存在性命题的否定
1．全称命题q：?x∈A，q(x)，它的否定是?q：?x∈A，?q(x)．
2．存在性命题p：?x∈A，p(x)，它的否定是?p：?x∈A，?p(x)．
2．一些常用词语及它们的否定设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：?x∈A,2x∈B，则( )
A．?p：?x∈A,2x?B B．?p：?x?A,2x?B
C．?p：?x?A,2x∈B D．?p：?x∈A,2x?B
[答案] D
[解析] ∵p：?x∈A,2x∈B.∵?p：?x∈A,2x?B.
故选D.导学号 96660081
三 从集合的角度理解“且”“或”“非”的策略
逻辑联结词“且”“或”“非”与集合中的“交”“并”“补”密切相联，例如交集、并集、补集的定义分别是A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，相当于命题中“且”的含义；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}，相当于命题中的“或”的含义?UA＝{x|x∈U且x?A}，相当于命题中“非”的含义．若命题“?x<2 015，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [2 015，＋∞)
[解析] ∵命题“?x<2 015，x>a”是假命题，
∴命题“?x<2 015，x≤a”是真命题，∴a≥2 015.导学号 96660082命题的否定 导学号 96660083写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p:y＝sinx是周期函数；
(2)p:3<2；
(3)p:空集是集合A的子集．
[解析] (1)?p:y＝sinx不是周期函数．
命题p是真命题，?p是假命题；
(2)?p:3≥2.命题p是假命题，?p是真命题；
(3)?p:空集不是集合A的子集．命题p是真命题，?p是假命题.导学号 96660084全称命题的否定 写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：?x∈Z，x2的个位数不是3.
[解题提示] 全称命题p：?x∈A，p(x)，其否定为?p：?x∈A，?p(x)．
[解析] (1)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)?p：?x∈Z，x2的个位数是3.
[方法总结] 全称命题的否定是存在性命题，注意要把全称量词写成存在量词并把结论否定．导学号 96660085写出下列命题的否定
(1)p:所在的矩形都是平行四边形；
(2)p:能被3整除的数是奇数．
[解析] (1)?p:存在一个矩形不是平行四边形．
(2)?p:存在一个能被3整除的数不是奇数.导学号 96660086存在性命题的否定 写出下列存在性命题的否定：
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有一个素数含三个正因数．
[解题提示] 存在性命题p：?x∈A，p(x)，其否定为?p：?x∈A，?p(x)．
[解析] (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)?p：每一个素数都不含三个正因数．
[方法总结] 存在性命题的否定是全称命题，要注意语言的表述，把存在量词写成全称量词并把结论否定．导学号 96660087写出下列命题的否定：
(1)p:有些实数的绝对值是正数；
(2)p:某些平行四边形是菱形；
(3)p:?x∈R，x3＋1<0.
[解析] (1)?p:所有实数的绝对值都不是正数．
(2)?p:每一个平行四边形都不是菱形．
(3)?p:?x∈R，x3＋1≥0.导学号 96660088等价转化的思想方法 若命题“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是______________．
[解题提示] 当命题为假命题时，先对命题进行否定，转化为真命题，再用集合运算求解．
[解析] 命题“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，转化为命题“?x∈R，使x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题．∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.导学号 96660089
[答案] [－1,3]
[方法总结] 求解本题的关键在于将命题间的真假关系转化为集合间的运算关系.导学号 96660090第一章 1.3 第1课时
1．(2016·天津文，5)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件．
2．设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的导学号 96660122 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD，当四边形ABCD中，AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上可知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
3．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的导学号 96660123 ( )
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
[答案] A
[解析] 由正弦定理，得a≤b?2RsinA≤2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)?sinA≤sinB，故选A.
4．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是导学号 96660124 ( )
A．x<0 B．x≥0
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
[答案] C
[解析] x＝－1、3、5时，2x2－5x－3≥0成立，而2x2－5x－3≥0成立，x不一定等于－1、3、5.
5．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的导学号 96660125 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查不等式的性质及充分条件、必要条件的概念．
如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1时，a＋c>b＋d，
但ab＋d” “a>b且c>d”，
由不等式的性质可知，a>b且c>d，则a＋c>b＋d，
∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件．
6．(2015·重庆文，2)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的导学号 96660126 ( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 由“x＝1”显然能推出“x2－2x＋1＝0”，故条件是充分的；又由“x2－2x＋1＝0”可得(x－1)2＝0?x＝1，所以条件也是必要的；故选A.
二、填空题
7．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：导学号 96660127
(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________；
(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________；
(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________．
[答案] (1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分也不必要条件
8．若x∈R，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值恒为正的充要条件是________________，恒为负的充要条件是______________．导学号 96660128
[答案] a>0且b2－4ac<0 a<0且b2－4ac<0
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件？导学号 96660129
(1)p：x＝1；q：x－1＝；
(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；
(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．
[解析] (1)充分不必要条件
当x＝1时，x－1＝成立；
当x－1＝时，x＝1或x＝2.
(2)充要条件
∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5.
(3)充分不必要条件
∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形.
一、选择题
1．命题p：(x－1)(y－2)＝0；命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0，则命题p是命题q的
导学号 96660130 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 命题p：(x－1)(y－2)＝0?x＝1或y＝2.
命题q：(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2.
由q?p成立，而由pq成立．
2．(2016·山东文，6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 根据已知，如果直线a，b相交，则平面α，β一定存在公共点，故其一定相交；反之，如果平面a，β相交，分别位于这两个平面内的直线未必相交，故为充分不必要条件，选A．
若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0，故选A.
3．命题p：不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R，命题q：0导学号 96660132( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 当a＝0时，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R；当，即00的解集为R.
综上所述，不等式ax2＋2ax＋1>0的解集为R时，0≤a<1，故选B.
4．(2015·陕西文，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的导学号 96660133( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] cos 2α＝0?cos2α－sin2 α＝0?(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α，故答案选A.
二、填空题
5．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N＋，点Pn(n，an)，都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的____________条件．导学号 96660134
[答案] 充分不必要
[解析] 点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，即an＝2n＋1，∴{an}为等差数列，但是{an}是等差数列却不一定
就是an＝2n＋1.
6．直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直的充要条件是________．导学号 96660135
[答案] m＝－2或3
[解析] l1⊥l2?2(m＋1)(m－3)＋(m－3)·2＝0?m2－m－6＝0?m＝－2或3.
三、解答题
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？导学号 96660136
(1)p：x>1，q：x2>1；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形．
[解析] (1)由x>1?x2>1，所以p?q.
∵x2>1，∴x>1或x<－1，
∴qp，∴p是q的充分不必要条件．
(2)△ABC有两个角相等，则△ABC是等腰三角形，不一定是正三角形，所以pq；若△ABC是正三角形，则三个角均相等，即任意两个角都相等，所以q?p，故p是q的必要不充分条件．
8．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数都成立的必要条件是0[证明] 要使ax2－ax＋1>0对任意实数x都成立，需考虑两种情况：
①当a＝0时，原不等式化为1>0，恒成立，符合题意；
②当a>0时，需Δ＝a2－4a<0，即0综上所述0≤a<4.
显然00对任意实数x都成立的必要条件．
9．已知p：q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．导学号 96660138
[解析] 由p得x∈[－2,10]，
由q得x∈[1－m,1＋m]．
∵?p是?q的必要不充分条件，
∴p?q且pp，
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．
∴∴m≥9.
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修1-1 1-2 常用逻辑用语第一章1.3 充分条件、必要条件
与命题的四种形式
第1课时 推出与充分条件、必要条件第一章1.如何判断一个命题的真假？
2．把下列命题改成“若p则q”的形式，并判断真假？
当ac>bc时，a>b.
答案：1.判断一个命题的真假，就是看由条件能否得出其结论．在判断命题时，首先要理解命题的结论，然后联系其他有关知识来判断．
2．若ac>bc，则a>b.假命题.一、充分条件、必要条件
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可推出q成立，记作p?q，读作“p推出q”．
一般地，已知命题”若p，则q“为真，则记为p?q，这时我们就称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
理解充分条件、必要条件的定义要注意以下三点：(1)p是q的充分条件是指p成立就足够保证q成立；q是p的必要条件是指q是p成立必不可少的条件，q成立，p不一定成立，但q不成立，p一定不成立．
(2)“若p则q”是真命题，p?q，p是q的充分条件，q是p的必要条件三种说法是等价的．
(3)判定充分条件、必要条件只是对“p能推出q”进行了单向探讨，至于“q能否推出p”这需结合定义理解，判断“若q则p”的真假．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B导学号 96660109二 充要条件
1．一般地，如果p?q，且q?p，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p?q.
理解充要条件要注意以下两点：
(1)p?q，那么p、q互为充要条件．
(2)“p是q的充要条件”可以叙述为“q当且仅当p”或“p与q等价”．设A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}，即x具有性质p，则x∈A，若x具有性质q，则x∈B.如果A?B，就是说若x∈A，则x必具有性质p，则p?q；类似地A＝B与p?q等价．例如，A＝{中学生}，B＝{学生}，A?B，即某人是中学生，必是学生，若是学生，但不一定是中学生，所以“某人是中学生”是“某人是学生”的充分不必要条件．从集合的角度分析可以加深我们对充要条件的直观性的理解，如上述问题也可以用Venn图(如图右图)表示．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C导学号 96660110[解析] 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．
当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：
当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．
所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.
即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．三 充要条件的证明
(1)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”?“结论”是证命题的充分性，由“结论”?“条件”是证命题的必要性．证明分为两个环节：一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．
(2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每步都是可逆的，即反过来也能推出．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
综上所述：原命题成立．导学号 96660111 给出下列四组命题：
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．
[解题提示] 解答本题时，既要判断p?q是否成立，又要判断q?p是否成立．充分条件、必要条件、充要条件的判定 导学号 96660112[方法总结] (1)判断p是q的什么条件，主要判断p?q及q?p两命题的正确性，若p?q为真，则p是q成立的充分条件，若q?p为真，则p是q成立的必要条件．
(2)注意利用“成立的证明，不成立的举反例”的数学方法技巧来作出判断．
(3)关于充要条件的判断问题，当不易判断p?q真假时，也可从集合角度入手进行判断．设a、b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] D
[解析] 设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2ba2>b2；设a＝－2，b＝1，则有a2>b2，但ab2a>b，故选D.导学号 96660113用集合判断充要条件 设命题甲为：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解题提示] 解决本题的关键是把充分条件、必要条件转化为集合关系．导学号 96660114设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B导学号 96660115证明充要条件 证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[解题提示] 分清条件与结论，明确一元二次方程有一正根一负根的条件．导学号 96660116方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？导学号 96660117等价转化思想 已知p:x2－8x－20>0，q:x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．导学号 96660118[方法总结] (1)解决此类问题的关键是将p、q之间的充要关系转化为p、q确定的集合之间的包含关系，同时注意命题等价性的应用，可简化解题过程．
(2)本例将命题p、q的关系转化为集合A、B之间的包含关系，体现了转化与化归的思想，在确定A?B后有时需要对A是否非空进行讨论，体现了分类讨论思想，但本题集合A是确定的不需讨论．本例若改为已知p:x2－8x－20≤0，q:x2－2x＋1－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．导学号 96660119 一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1导学号 96660120[辨析] 知识点掌握的不够牢固，不够熟练，一般会出现这种问题．充分不必要条件和必要不充分条件的应用在解题时往往易产生混淆性错误，出错原因有两个：①对定义理解不够深刻．比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q是p的必要条件．它们都是表述相同的关系，只是换个说法而已；②对数学中的文字语言把握不准确．比如说：p是q的充分条件，我们也可以说成q的充分条件是p.根据经验，有的同学对后一种说法不注意或不理解．在解题中，同学们一方面只要牢牢抓住我们的记忆口诀“推出”即“充分”，“被推出”即“必要”，“推不出”就是“不充分”，“不被推出”就是“不必要”就可解决第一个错因；另一方面，在解题中，把题目所给出的形式还原成定义形式(p是q的××条件)可豁然开朗．第一章 1.3 第2课时
一、选择题
1．(2015·山东文，5)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是导学号 96660148 ( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
[答案] D
[解析] 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D.
2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是导学号 96660149 ( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．能被6整除的整数，一定不能被3整除
[答案] B
[解析] 9能被3整除，但不能被6整除，排除A；9不能被6整除，但能被3整除，排除C；12能被6整除，也能被3整除，排除D.或根据一个命题的等价命题是其逆否命题判断．
3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是导学号 96660150 ( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
[答案] D
[解析] ∵原命题为真，逆命题为假，
∴逆否命题为真，否命题为假．
4．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的导学号 96660151 ( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
[答案] A
[解析] 由原命题与逆命题的关系知，选A.
5．命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是导学号 96660152 ( )
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝
[答案] C
[解析] 本题主要考查命题的四种形式．
由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．
6．如果命题“若p，则q”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是
导学号 96660153 ( )
A．若p，则q B．若?p，则?q
C．若?q，则?p D．以上都不对
[答案] B
[解析] 因为命题，“若q，则p”为真，所以“若?p，则?q”为真．
二、填空题
7．命题“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题是________________．导学号 96660154
[答案] 若x>－3，则x2＋x－6≤0
8．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．导学号 96660155
[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3，或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：若x＋y≠8，则x≠3，或y≠5.
三、解答题
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
导学号 96660156
(1)若x2－5x－14＝0，则x＝7或x＝－2；
(2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.
[解析] (1)逆命题：若x＝7或x＝－2，则x2－5x－14＝0.真．
否命题：若x2－5x－14≠0，则x≠7且x≠－2.真．
逆否命题：若x≠7且x≠－2，则x2－5x－14≠0.真．
(2)“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件p，“a＋c＝b＋d”是结论q，所以逆命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”，假．
否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”，假．
逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”，真.
一、选择题
1．原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，那么原命题与其逆命题的真假情况是导学号 96660157 ( )
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题真，逆命题真 D．原命题假，逆命题假
[答案] A
[解析] 命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”是真命题，其逆命题“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，故应选A.
2．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是导学号 96660158 ( )
A．4 B．3
C．2 D．0
[答案] C
[解析] 当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，
逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，
故否命题为假．
3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为导学号 96660159 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝0”为真，故逆否命题为真，逆命题为假，故否命题为假．
4．原命题为“若A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
[答案] A
[解析] 二、填空题
5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．导学号 96660161
[答案] 假
[解析] 假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．
6．设有两个命题：导学号 96660162
(1)关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；
(2)函数f(x)＝logmx是减函数．
如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．
[答案] m≥1或m＝0
[解析] 命题p：关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R，m≥0；
命题q：函数f(x)＝logmx是减函数，0p假：m<0；q假：m≥1或m≤0.
p真q假：m≥1或m＝0；
p假q真：无解．
综上所述，m的取值范围是：m≥1或m＝0.
三、解答题
7．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b. 导学号 96660163
[解析] 若a>b，由c≤0知b≥b＋c，
∴a>b＋c.
∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，
即对任意c≤0，若有a≤b＋c成立，
则a≤b.
8．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．
导学号 96660164
[证明] 证法一：是真命题．
∵m>0，∴Δ＝1＋4m>0.
∴方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价．
∴命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题也是真命题．
证法二：是真命题．
原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“如果x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵x2＋x－m＝0无实根，∴Δ＝1＋4m<0，m<－≤0，故原命题的逆否命题为真命题．
9．已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若?q为真，则?p必为真，求实数m的取值范围．导学号 96660165
[解析] 由题意可知，?q??p，等价于p?q.
设A＝{x||1－|≤2}，
B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}．
p?q等价于A?B.
又|1－|≤2?－2≤x≤10，
x2－2x＋1－m2≤0(m>0)?(x－1)2≤m2(m>0)，
1－m≤x≤1＋m，
∴?m≥9.
故m的取值范围是[9，＋∞)．
课件34张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修1-1 1-2 常用逻辑用语第一章1.3 充分条件、必要条件
与命题的四种形式
第2课时 命题的四种形式第一章对四种命题的理解应注意以下两点．
(1)原命题是人为规定的，其他三种命题是随之产生的，例如：原命题：若?p，则?q;
逆命题：若?q，则?p；
否命题：若p，则q；
逆否命题：若q，则p.
(2)要注意区分否命题与命题的否定．否命题是既否定命题中的条件，又否定命题中的结论；而命题的否定只否定结论．“菱形的四条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都相等”；把“菱形的四条边都相等”作为原命题，则它的否定题是“若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等”．命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是( )
A．a、b都不是偶数，则a＋b不是偶数
B．a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数
C．a＋b不是偶数，则a、b都不是偶数
D．a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数
[答案] D
[解析] 本题考查命题的四种形式，一般的命题：“若p则q”形式的逆否命题为“若非q则非p”．导学号 96660139二 四种命题的关系
1．一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题之间的相互关系为：2．四种命题真假的关系
一般地，四种命题真假有且仅有下面四种情况：
规律：判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假，只需要判断两个命题的真假，因为原命题与其逆否命题互为逆否命题，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，且互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 本题考查四种命题以及真假性间的关系．依题意，注意到题中的命题本身是真命题，其逆命题是假命题，因此其逆否命题是真命题，其否命题也是假命题，选B.导学号 96660140 三 四种命题及其关系的应用
原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
应用一：逆否命题真假可以通过判断原命题的真假得出，否命题的真假可以通过判断逆命题的真假得出，因此，要判断四种命题的真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可．
应用二：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命同为真命题．判断命题“若m>0，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
[解析] ∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0，
∴x2＋2x－3m＝0的根的判别式Δ＝12m＋4>0，
∴方程x2＋2x－3m＝0有实数根
∴原命题为真，∴原命题的逆否命题也为真．导学号 96660141 将下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出它们的逆命题，否命题和逆否命题．
(1)两条平行直线不相交；
(2)全等三角形相似；
(3)菱形的对角线互相垂直平分．
[解题提示] 先找出原命题的条件p和结论q，再将原命题改写成“若p，则q”的形式，然后根据命题的四种形式的定义表达其他形式的命题．四种命题的关系 导学号 96660142 [解析] (1)原命题：若l1与l2是平行直线，则l1与l2不相交；
逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；
否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；
逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．
(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形相似；
逆命题：若两个三角形相似，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；
逆否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形不全等．(3)原命题：若四边形ABCD是菱形，则对角线AC、BD互相垂直平分；
逆命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，则四边形ABCD是菱形；
否命题：若四边形是ABCD不是菱形，则对角线AC、BD不互相垂直平分；
逆否命题：若四边形ABCD的对角线AC、BD不互相垂直平分，则四边形ABCD不是菱形．
[方法总结] 解此类题的难点在于有的命题是由三部分组成的，既有前提、条件、结论，正确地区分命题的前提、条件是解决问题的关键．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．
[解析] (1)逆命题：如果一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：如果一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．导学号 96660143 否命题与命题否定形式的区别 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数．
[解析] (1)否命题：若m≤0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)
命题的否定：若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0无实根．(假命题)导学号 96660144 (2)否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是奇数．(假命题)
命题的否定：?x、y满足x、y都是奇数，但x＋y不是奇数．(真命题)
[方法总结] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，要注意区别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论，而命题的否定，条件不变，只否定结论．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3导学号 96660145 [答案] B
[解析] (1)“若x＋y≠0，则x、y不是相反数”是真命题．
(2)“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝－1，b＝0，因为ab2，故是假命题．
(3)“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3，不是不等式的解，故是假命题．
(4)“相等的角是对顶角”是假命题．故选B.四种命题关系的应用 判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[解题提示] 可以通过判断原命题的真假来判断它的逆否命题的真假．也可以借助集合间的包含关系，判断原命题的真假，进而判断它的逆否命题的真假．导学号 96660146
[方法总结] 逆否命题真假可以通过判断原命题的真假得出，否命题的真假可以通过判断逆命题的真假得出，因此，要判断四种命题的真假，只需判断原命题和逆命题的真假即可.导学号 96660147 [误解] A
[辨析] 由题意，得原命题为真命题，从而错误地认为它们的逆命题、否命题、逆否命题都真．
[正解] D．∵原命题为真命题，∴逆否命题也为真命题．但逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是假命题．因为{x|ax2＋bx＋c<0}≠?时，开口不一定向下，也可以向上．否命题与逆命题等价，故否命题也为假命题.