2025-2026学年北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程质量评估 单元测试（含答案）

第二章一元二次方程质量评估
一、选择题：本大题共8小题，共24分。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是
A. B. C. D.
2.方程化为一元二次方程的一般形式是
A. B.
C. D.
3.一元二次方程配方后可化为
A. B. C. D.
4.一元二次方程的根的情况是
A. 无法确定 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根
5.一元二次方程的根为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送出1892张照片．如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为
A. B.
C. D.
7.在等腰三角形ABC中，，AB，AC的长分别是关于x的方程的两个根，则m的值是
A. 16或25 B. 16 C. 25 D. 5或8
8.我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的正数解的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造图，可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，由此易得则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共15分。
9.若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为 .
10.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 .
11.根据下表中的对应值，一元二次方程其中一个解的取值范围是 .
x
12.已知m，n是关于x的一元二次方程的两个根，若，则a的值为 .
13.如图，学校将一块面积为的矩形空地一边增加4 m，另一边增加5 m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为
三、计算题：本大题共6分。
14.用适当的方法解方程：
四、解答题：本大题共8小题，共75分。
15.小颖与小明两位同学解方程的过程如下：
小颖： 两边同除以，得 小明： 移项，得， 提取公因式，得 所以或， 所以，
你认为他们的过程是否正确？若正确请在横线上打“√”；若错误请在横线上打“”：小颖 ，小明 .
写出你的解答过程．
16.每年的秋、冬季是流感病毒的高发时间，某校为了普及全校师生的病毒预防知识，特举办流感病毒预防知识讲座每人限听1次，第一天听讲座的有500人，第三天听讲座的有720人，求后两天听讲座人数的平均增长率．
17.已知关于x的一元二次方程
求证：该方程有两个不相等的实数根；
若该方程的两实数根，满足，求m的值．
18.如图，“唐妞”是陕西省历史博物馆的形象代言人，她高髻蛾眉，面如满月，体态丰满，身穿宽袖长裙，以崭新的卡通形象示人．某文创产品店销售唐妞团扇，每把团扇的成本为8元．据市场分析，每把售价定为10元时，每天能售出200把；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若每把售价每涨1元，每天的销售量就减少20把．针对这种团扇的销售情况，该店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么每把团扇的售价应为多少元？
19.某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为40元，原计划以每个60元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求y与x之间的函数表达式；
在这次排球销售中，该文具店获利1760元，这种排球每个的实际售价为多少元？
20.某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于500元
根据此旅游信息：某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．
求参加这次旅游的人数；
若该公司又组织第二批员工到该风景区旅游并支付给旅行社29250元．如果这两批员工一次性去旅游，那么该公司可节约旅游费用多少元？
21.对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作特别地，当代数式只有一个不变值时，
代数式的不变值是 ， .
说明代数式没有不变值．
已知代数式
①若，求b的值；
②若，b为整数，求所有整数b的和．
22.某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值．他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下表，请根据素材帮助他们完成相应任务：
关于最值问题的探究
素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元未知数，将其他字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为，这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得，再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求的最小值．
任务2 探索新知：若实数x，y满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式，得__________. 若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式法可得的最大值为_______.
任务3 应用新知：如图，在平行四边形ABCD中，，，记，，当最大时，求此时b的值．
答案和解析
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】3
10.【答案】1
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】400
14.【答案】，
15.【答案】【小题1】
【小题2】
， ， ， 所以或， 所以，

16.【答案】
17.【答案】【小题1】
证明：在方程中， ，该方程有两个不相等的实数根．
【小题2】

18.【答案】12元
19.【答案】【小题1】

【小题2】
48元

20.【答案】【小题1】
40人
【小题2】
14750元

21.【答案】【小题1】
0和3
3
【小题2】
假设代数式有不变值，则方程有实数根． 原方程可变形为，原方程没有实数根，这与假设矛盾，假设不成立，即代数式没有不变值．
【小题3】
①1 ②4

22.【答案】任务1：
任务2：
任务3：5

【解析】解：任务1：由题意，根据素材中的判别式法，令，
可得，
的最小值为
任务2：由题意，令，则
将代入，
把看作是关于x的一元二次方程，
，
，
则，
的最大值为
故答案为：；
任务3：如图，过点B作，点E为垂足．
，，
在中，，
在中，，即
整理得，，令，
则，
代入上式得到一个关于b的一元二次方程：
，
解不等式得，，
则k的最大值为26，即的最大值为
把代入得，
解方程得，
故当最大时，
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