第二章 2.1 2.1.1
一、选择题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么导学号 64150224 ( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案] C
[解析] 将P(2,1)代入圆M和直线l的方程，得(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
2．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的导学号 64150225 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 根据曲线与方程的概念知．
3．下列各组方程中表示相同曲线的是导学号 64150226 ( )
A．x2＋y＝0与xy＝0
B.＝0与x2－y2＝0
C．y＝lgx2与y＝2lgx
D．x－y＝0与y＝lg10x
[答案] D
[解析] ∵lg10x＝x，故x－y＝0与y＝lg10x表示相同的曲线．
4．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝导学号 64150227 ( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两曲线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
5．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是导学号 64150228 ( )
①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③＋y2＝1；④－y2＝1.
A．①③ B．②④
C．①②③ D．②③④
[答案] D
[解析] y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，无交点；将y＝－2x－3代入x2＋y2＝3得5x2＋12x＋6＝0
Δ＝144－4×5×6＝24>0故有两个交点；
同理y＝－2x－3与±y2＝1也有交点．故选D.
6．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点是导学号 64150229 ( )
A．(2,1)
B．(±2,1)
C．(2,1)或(2，5)
D．(±2,1)或(±2，5)
[答案] B
[解析] 易知x2＝4y代入x2＋y2＝5得y2＋4y－5＝0得(y＋5)(y－1)＝0解得y＝－5，y＝1，y＝－5不合题意舍去，∴y＝1，解得x＝±2.
二、填空题
7．如图所示曲线方程是__________________．导学号 64150230
[答案] |y|＝x
[解析] 曲线表示两条射线y＝x(x≥0)和y＝－x(x≥0)∴曲线方程为|y|＝x.
8．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．导学号 64150231
[答案] 四个点
[解析] 由得或
或或
故方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是四个点．
三、解答题
9．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3，求m的值．
导学号 64150232
[解析] 设直线x＋y－m＝0与曲线y＝x2相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，联立直线与曲线得
将(2)代入(1)得x2＋x－m＝0，所以所以|AB|＝＝·|x1－x2|＝·＝·＝3，所以＝3，所以m的值为2.
一、选择题
1．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是导学号 64150233 ( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
[答案] C
[解析] ∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)，
∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
2．设曲线F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为P，那么曲线F1(x，y)－F2(x，y)＝0必定导学号 64150234 ( )
A．经过P点 B．经过原点
C．经过P点和原点 D．不一定经过P点
[答案] A
[解析] 设A点坐标为(x0，y0)，∴F1(x0，y0)＝0，F2(x0，y0)＝0，∴F1(x0，y0)－F2(x0，y0)＝0，∴F1(x，y)－F2(x，y)＝0过定点P.是否有F1(0,0)＝F2(0,0)未知，故是否过原点未知．
3．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示曲线是导学号 64150235 ( )
A．圆 B．两条直线
C．一个点 D．两个点
[答案] C
[解析] 由题意得x＝2且y＝－2为一个点．
4．曲线y＝－与曲线y＝－|ax|(a∈R)的交点个数一定是导学号 64150236 ( )
A．2 B．4
C．0 D．与a的取值有关
[答案] A
[解析] 画出图形，易知两曲线的交点个数为2.
二、填空题
5．方程＝表示的曲线是________．导学号 64150237
[答案] 两条线段
[解析] 由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1∴曲线表示两条线段．
6．已知直线y＝2x－5与曲线x2＋y2＝k，当________时，有两个公共点；当________时，有一个公共点；当________时，无公共点． 导学号 64150238
[答案] k>5；k＝5；0
[解析] 首先应用k>0，再联立y＝2x－5和x2＋y2＝k组成方程组，利用“△”去研究．
7．|x|＋|y|＝1表示的曲线围成的图形面积为____．导学号 64150239
[答案] 2
[解析] 利用x≥0，y≥0时，有x＋y＝1；x≥0，y≤0时，x－y＝1；x≤0，y≥0时，有－x＋y＝1；x≤0，y≤0时，－x－y＝1，作出图形为一个正方形，其边长为，面积为2.
三、解答题
8．已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，且|AB|＝5，求实数b的值．
导学号 64150240
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)
联立方程组
消去y整理得2x2＋bx－2＝0， ①
运用x1＋x2＝－，x1·x2＝－1及y1－y2＝(2x1＋b)－(2x2＋b)＝2(x1－x2)，得
|AB|＝
＝
＝·＝·＝5.
解得b2＝4，b＝±2.
而①式中Δ＝b2＋16>0一定成立，故b＝±2.
9．求方程|x2－1|＝x＋b的解的个数．导学号 64150241
[解析] 方程|x2－1|＝x＋b的解的个数就是曲线y＝|x2－1|和y＝x＋b的公共点的个数．
作出曲线y＝|x2－1|，如图中实线部分，方程y＝x＋b表示斜率是1，在y轴上截距为b的直线．
当－1≤x≤1时，y＝|x2－1|＝1－x2.
将y＝x＋b代入y＝1－x2，
令Δ＝0，得b＝.
由图可知：
当b<－1时，原方程无解；
当b＝－1时，原方程只有一解；
当－1当b＝1时，原方程有三解；
当1当b＝时，原方程有三解；
当b>时，原方程有两解．
课件49张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程的概念第二章1.直线方程的概念是怎样的？
2．在直线方程的概念中应注意哪些问题？
答案：1.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．一、曲线与方程
1．曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．注意：(1)“曲线上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”说明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点的坐标都适合这个方程．
(2)“以方程的解为坐标的点都在曲线C上”说明适合条件的点都在曲线C上．
只有同时具备上述两个条件，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”．2．从不同角度理解曲线与方程的概念
(1)从集合角度来看，设A是曲线C上所有点构成的集合，B是所有以方程F(x，y)＝0的实数解为坐标的点组成的点集，则由关系(1)知A?B，由关系(2)知B?A，同时具备关系(1)与(2)，则有A＝B，于是建立了曲线与方程之间的等价关系．
(2)从充要条件的角度来看，由关系(1)可知，曲线C上点的坐标是方程F(x，y)＝0的解的充分条件，由关系(2)可知曲线C上点的坐标是方程F(x，y)＝0的解的必要条件；只有(1)(2)同时成立，我们才能说曲线C上点的坐标是方程F(x，y)＝0的解的充要条件．
3．用集合的特征性质描述曲线
如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，则M(x，y)∈C?F(x，y)＝0.
因此，方程F(x，y)＝0可以作为描述曲线C的特征性质．曲线C用集合的特征性质可描述为C＝{M(x，y)|F(x，y)＝0}．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
[答案] C
[解析] x2＋xy＝x因式分解得x(x＋y)＝x，即x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.导学号 64150212已知两圆x2＋y2－2x－3＝0和x2＋y2＋6y－1＝0，求它们的公共弦所在的直线方程．
[解析] 设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－2x－3＋λ(x2＋y2＋6y－1)＝0，当λ＝－1时，方程为x＋3y＋1＝0.该方程表示两圆公共弦所在的直线方程．导学号 64150213求证：无论k取何值，曲线kx2＋2x－(k－1)y－k－2＝0恒过定点．导学号 64150214 (1)如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么( )
A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上
B．以方程F (x，y)＝0的解为坐标的点，有些不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解
D．坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上曲线的方程和方程的曲线的概念 导学号 64150215(1)“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知方程2x2－xy＋y＋1＝0表示的图形为C，则下列点不在C上的为( )
A．(－0.5，－1) B．(－3,5)
C．(－2，－3) D．(2,9)导学号 64150216
[答案] (1)B (2)B
[解析] (1)如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，则F(x，y)＝0上的点都在曲线C上，而以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但F(x，y)＝0并不能表示曲线方程，故选B.
(2)因为点在曲线上等价于点的坐标满足曲线方程，因此把点的坐标代入方程逐一验证即可.曲线的交点问题 试讨论曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)交点的个数．
[思路分析] 只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可．导学号 64150217(1)若直线x－2y－2k＝0与y＝x＋k的交点在曲线x2＋y2＝25上，则k的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
(2)求直线y＝x＋3被抛物线y＝2x2截得的线段的长度．导学号 64150218曲线方程的简单应用 已知方程(x－a)2＋(y－b)2＝36的曲线经过点A(0,0)和B(0，－12)，求a，b的值．
[思路分析] A、B两点都在曲线上故满足曲线的方程，代入方程解关于a、b的方程组即可．导学号 64150219导学号 64150220分类讨论思想的应用 导学号 64150221[思路分析] 对方程进行恒等变形，然后根据方程体现的对称性、范围等结合图形分析．[方法总结] 1.判断方程表示的曲线，要对方程适当变形，变形过程中要注意与原方程的等价性，常见的变形方法有因式分解、讨论、配方等方法．另外特别要注意：可以通过对方程的分析得出曲线的范围、组成、与坐标轴的交点、单调性、对称性等特征信息，如果可能则做出它的图形(可以是草图)，结合图形分析．
2．合理进行分类讨论
解决带有绝对值符号的题目，首先要正确地分类，在统一的分类标准下，把不确定元素进行分类讨论，如本例中x，y根据题意分了四种情况讨论．导学号 64150222[错解] 表示的曲线是一个正方形．
[错因分析] ①处因对条件分析不清，不能把四种情况合理联立起来表示曲线，实际在每个象限内都是射线(或射线去掉端点)而不是线段，故并集应是四条直线．导学号 64150223[正解] 对于方程|x|＋|y|＝|xy|＋1，
①x≥0，y≥0时，x＋y＝xy＋1即(x－1)(1－y)＝0，也就是x＝1，y＝1，这时曲线表示x＝1，y＝1在第一象限的部分及x轴，y轴上的点(1,0)和(0,1)．
②x≥0，y<0时，x－y＝－xy＋1即(x－1)(y＋1)＝0，
这时曲线表示x＝1，y＝－1在第四象限的部分及y轴上的点(0，－1)．
③x<0，y≥0时，－x＋y＝－xy＋1，即(x＋1)(y－1)＝0，
这时曲线表示x＝－1，y＝1在第二象限的部分及x轴的点(－1,0)．④x<0，y<0时，－x－y＝xy＋1即(x＋1)(y＋1)＝0，
这时曲线表示x＝－1，y＝－1在第三象限的部分．
故综上可知|x|＋|y|＝|xy|＋1表示的曲线为
x＝±1，y＝±1四条直线①.
[答案] 四条直线
[思路分析] 条件结论并向分析
解决问题时多观察，多思考，要适时把条件和结论并向分析，同时可以从结论选项中找出差别，有利于解题，如本例中每种讨论的结果都要结合所对应的条件分析所对应的曲线.第二章 2.1 2.1.2
一、选择题
1．方程x2＋(x2＋y2－1)2＝0所确定的曲线是导学号 64150256 ( )
A．y轴或圆 B．两点(0,1)与(0，－1)
C．y轴或直线y＝±1 D．以上都不正确
[答案] B
[解析] x2＋(x2＋y2－1)2＝0，即x＝0且x2＋y2－1＝0，表示两点(0,1)与(0，－1)．
2．已知点M(－2,0)、N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是导学号 64150257 ( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)
[答案] A
[解析] 由直角三角形斜边中线等于斜边一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M、N、P不能共线，故P点轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故答案为A.
3．到A(2，－3)和B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是导学号 64150258 ( )
A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
[答案] C
[解析] 设点的坐标为(x，y)，根据题意有
＝
化简得x＋y－1＝0.
4．方程y＝表示的曲线是导学号 64150259 ( )
[答案] B
[解析] y＝＝，故选B.
5．已知A(－1,0)、B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是
导学号 64150260 ( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
[答案] B
[解析] |AB|＝5，∴C到AB的距离d＝＝4，设C(x，y)、AB所在的直线为4x－3y＋4＝0，
∴4＝，∴|4x－3y＋4|＝20，
∴4x－3y＋4＝20或4x－3y＋4＝－20
故4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0，故选B.
6．方程(x＋1)·(y－1)＝1(x≠0)表示的曲线关于____对称导学号 64150261 ( )
A．直线y＝x B．直线y＝x＋2
C．直线y＝－x D．(－1 ，－1)中心
[答案] B
[解析] 曲线(x＋1)(y－1)＝1，即y－1＝可看作曲线y＝沿x轴向左平移1个单位，沿y轴向上平移1个单位得到的，而y＝关于y＝x对称，故曲线y－1＝关于直线y＝x＋2对称．
二、填空题
7．已知l1是过原点O且与向量a＝(2，－λ)垂直的直线，l2是过定点A(0,2)且与向量b＝(－1，)平行的直线，则l1与l2的交点P的轨迹方程是________，轨迹是________________．
导学号 64150262
[答案] x2＋(y－1)2＝1(y≠0) 以(0,1)为圆心，1为半径的圆(不包括原点)
[解析] 由题意，l1可为过原点除x轴的任意直线，l2可为过A(0,2)除y轴的任意直线，由平面几何性质知，向量a，b共线，方向相反，l1与a垂直，l2与b平行，则l1与l2相互垂直，交点P的轨迹是以(0,1)为圆心，OA为直径的圆周除去原点O的部分．
8．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是____________． 导学号 64150263
[答案] 2x＋3y＋1＝0
[解析] P(2,3)在a1x＋b1y＋1＝0上，代入得2a1＋3b1＋1＝0，同理2a2＋3b2＋1＝0.故(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q1，Q2两点的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
三、解答题
9．求(x－1)2＋(y－1)2＝1关于直线x＋y＝0的对称曲线的方程．导学号 64150264
[解析] 设所求对称曲线上任一点的坐标为(x，y)，它关于x＋y＝0的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
解得，
∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上
∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1，
∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1，
即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
一、选择题
1．下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是导学号 64150265 ( )
[答案] D
[解析] A不是，因为x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，－)的坐标适合方程x2＋y2＝1，但不在所给曲线上；B不是，理由同上，如点(－1,1)适合x2－y2＝0，但不在所给曲线上；C不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(－1,1)在所给曲线上，但不适合方程lgx＋lgy＝1.
2．平行四边形ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为导学号 64150266 ( )
A．3x－y－20＝0(x≠13) B．3x－y－10＝0(x≠13)
C．3x－y－12＝0(x≠13) D．3x－y－9＝0(x≠13)
[答案] A
[解析] 设AC、BD交于点O，
∵A、C分别为(3，－1)(2，－3)，
∴O为(，－2)，设B为(x，y)，
∴D为(5－x，－4－y)．
∵D在3x－y＋1＝0上，
∴15－3x＋4＋y＋1＝0，由于A、B、C、D不共线则应除去与直线AC的交点(13,19)，故所求轨迹方程为3x－y－20＝0(x≠13)．
3．设动点P是抛物线y＝2x2＋1上任意一点，点A(0，－1)，点M使得＝2，则M的轨迹方程是导学号 64150267 ( )
A．y＝6x2－ B．y＝3x2＋
C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－
[答案] A
[解析] 设M为(x，y)，
∵＝2， A(0，－1)，
∴P(3x,3y＋2)．
∵P为y＝2x2＋1上一点，
∴3y＋2＝2×9x2＋1＝18x2＋1，
∴y＝6x2－.故选A.
4．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是
导学号 64150268 ( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D. (x＋)2＋y2＝1
[答案] C
[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有＝x，＝y.∴x1＝2x－3，y1＝2y.
∵(x1，y1)在x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.
二、填空题
5．已知△ABC为圆x2＋y2＝4的一个内接三角形，且︰︰＝1︰3︰5，则BC中点M的轨迹方程为________． 导学号 64150269
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图建系
设BC中点为M(x，y)，连接OB、OC、OM，
由于∠BOC＝120°，所以∠OBC＝30°，
所以OM＝OB＝1.于是M点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
6．直线y＝kx＋1与y＝2kx－3(k为常数，且k≠0)交点的轨迹方程是________．
导学号 64150270
[答案] y＝5(x≠0)
[解析] 由，
kx＝y－1代入y＝2kx－3，得y＝5.
故交点的轨迹方程是y＝5(x≠0)．
三、解答题
7．已知线段AB与CD互相垂直且平分，两线段相交于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．导学号 64150271
[解析] 以O为原点，分别以线段AB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)．
设M(x，y)为轨迹上任一点，则
|MA|＝，
|MB|＝，
|MC|＝，
|MD|＝.
∵|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，
∴＝
.
化简，得x2－y2－6＝0.
∴所求轨迹方程为x2－y2－6＝0.
8．点P与两定点A(－4,0)、B(4,0)的连线所成的角∠APB＝45°，求动点P的轨迹方程．
导学号 64150272
[解析] (1)当kAP或kPB不存在时，动点P为(4,8)，(－4,8)，(－4，－8)，(4，－8)．
(2)当kAP、kPB存在时，设P(x，y)若y>0，有＝1，化简得x2＋y2－8y－16＝0(y>0)，检验知(4,8)和(－4,8)
均适合上式．若y<0，有＝1，化简得x2＋y2＋8y－16＝0(y<0)，检验知(－4，－8)和(4，－8)均适合上式，综上知所求轨迹方程为x2＋y2－8y－16＝0(y>0)或x2＋y2＋8y－16＝0(y<0)．
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.1 曲线与方程
2.1.2 由曲线求它的方程、
由方程研究曲线的性质第二章1.方程表示的曲线的判断步骤是怎样的？
2．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线上，那么方程F(x，y)＝0就是曲线的方程．( )
(2)如果F(x，y)＝0是某曲线C的方程，则曲线上的点的坐标都适合方程．( )
(3)x2＋y2＝1(x>0)表示的曲线是单位圆．
答案：1.(1)恒等变形：将所给方程进行恒等变形；
(2)转化方程：将恒等变形的形式转化为我们熟悉的曲线方程，如直线、圆等；
(3)限制条件：注意限制条件，去掉不符合的点作出最后的判断．
2．(1)× (2)√ (3)×一、已知曲线求方程
1．求轨迹方程的一般步骤
(1)建系：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．
(2)列式：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}．
(3)代换：用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式．
(5)证明：说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上．
可简记为：建系、列式、代换、化简、证明．注意：(1)求曲线方程以前，必须确定问题中的坐标系是否建立，若未建立，应先建系．建系是求曲线方程基础的一步，要根据几何关系适当建系，目的是简化求解过程且使曲线方程的形式简单．
(2)根据题目中的几何关系列出曲线上的点满足的坐标关系是关键一步，在这里常用到一些公式，如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式等，在化简过程中要保持等价变换，最后化为最简的方程形式．
(3)求曲线方程时步骤中的(2)、(5)两步一般可以省略，但应注意某些点的坐标是否适合方程，即要把多余的点剔除，将遗漏的点补上．
(4)求轨迹需要说明曲线类型，求轨迹方程则不必说明曲线类型．2．建立坐标系的基本原则
(1)让尽量多的点落在坐标轴上．
(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．
建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形可利用对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．
注意：坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，若坐标系选取不当，则会增加运算的繁杂程度．已知平面上两定点A，B之间的距离为2a(a>0)，点M到A，B两点的距离之比为2︰1，求动点M的轨迹．
[解析] 如图，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立坐标系．导学号 64150242二、由方程研究曲线的性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，主要包括以下几个方面：
(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是曲哪些基本的曲线组成的．在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围．
(2)研究曲线与坐标轴是否相交．如果相交，那么求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点．(3)研究曲线的对称性，在曲线方程里，如果以－y代y方程不变，那么曲线关于x轴对称；如果以－x代x方程不变，那么曲线关于y轴对称；如果同时以－x代x，以－y代y方程不变，那么曲线关于原点对称．
(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况．(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线．
因此可以说解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，即解析几何的基本思想和方法是：数形结合．图形问题代数化，通过代数计算，得到代数结论，然后代数结论几何化，得到几何结论．导学号 64150243三、常见的求轨迹方程的几种方法
1．直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(x，y)间的关系式的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法．直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质．2．定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．
3．代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
4．参数法
如果所求轨迹上的动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数法中常选变角、变斜率等为参数．(1)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是( )
A．y＝2x2 B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1
[答案] C
[解析] 设AP的中点为(x，y)，则P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，整理，得2y＝8x2－1.导学号 64150244
(2)平面内与定点(－1,2)和直线3x＋4y－5＝0的距离相等的点的轨迹是________．
[答案] 直线
[解析] ∵(－1,2)在直线3x＋4y－5＝0上，∴轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直线． 讨论方程x2y＋y－2x＝0所表示的曲线的性质，并描绘其曲线．
[思路分析] 该曲线x，y关系不明确，故首先要考虑等价变形，变形之后再从范围对称性等方面研究即可．根据方程研究曲线的性质 导学号 64150245(5)作图：通过列表描点作出函数在x≥0时的图象，再利用关于原点的对称性可画出它的全部图象，如图所示．
[方法总结] 判断方程表示什么曲线，就要把方程进行等价变形，一般变形的方法有：配方法、因式分解法、分离变量法，或化为我们所熟悉的形式．然后根据方程、不等式的有关性质进行判断．试分析下列方程对应的曲线的性质．
(1)x2－6x＋y2＋8y＝0；(2)x2－1＝0.
[解析] (1)由方程x2＋y2－6x＋8y＝0得：
(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
故该方程表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．
x范围为－2≤x≤8，y范围为－9≤y≤1，
关于圆心(3，－4)成中心对称．
(2)由x2－1＝0得：x2＝1，
∴x＝±1表示两条直线x＝1或x＝－1，这两条直线平行，且关于y轴、原点对称.导学号 64150246直接法求曲线方程 导学号 64150247[方法总结] “轨迹方程”与“轨迹”的辨析已知点M到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点M的轨迹方程．
[解析] 设动点M的坐标为(x，y)，则点M到x轴、y轴的距离分别为|y|，|x|.由题意知
|y|＝2|x|，整理得y＝±2x.
所以点M的轨迹方程为y＝±2x.导学号 64150248 用代入法或参数法求曲线方程 已知△ABC中，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC重心的轨迹方程．
[思路分析] 重心坐标可直接设为(x，y)，重心的变化是由顶点C的变化引起的，故只需找到两者之间的关系即可．导学号 64150249即：x1＝3x＋2，
y1＝3y＋2.
又 (x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，即有y1＝3x－1.
代入x1，y1，得：3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
化简得：y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
[方法总结] 当已知某个动点在已知曲线上移动，而引起另一个动点的变化时，在求另一个动点满足的轨迹方程时，常用代入法．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．导学号 64150250用直接法或定义法求曲线方程 设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
[思路分析] 设P(x，y)为弦的中点，可用直接法列出关于x，y的方程，也可根据圆的性质判断出P点的轨迹，利用定义法求解．导学号 64150251[方法总结] (1)适用定义法求轨迹的特点
如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义写出轨迹方程．
(2)定义法求轨迹方程的策略
①要熟悉各种常见的曲线的定义．
②要善于利用数形结合的方法，利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系．
③根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程．(1)由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
(2)在Rt△ABC中，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．导学号 64150252 参数法求轨迹方程导学号 64150253△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．
[解析] 如图以BC所在定直线x轴，以过点A与x轴垂直的直线为y轴建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)．设△ABC的外心为M(x，y)，作MN⊥BC于点N，则MN是BC的垂直平分线．导学号 64150254导学号 64150255第二章 2.2 2.2.1
一、选择题
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，a是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，甲是乙的导学号 64150287 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 若点P轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0)，点P的轨迹可能是线段，或不存在．
2．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点，则A、B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF1的周长是导学号 64150288 ( )
A．2 B．4
C. D．2
[答案] B
[解析] 根据题意画出图形(如图所示)，
∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.
3．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是导学号 64150289 ( )
A．－
C．－2[答案] A
[解析] 因为点A在椭圆内部，故将点A的坐标代入＋应满足＋<1，所以a2<2，即－4．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是导学号 64150290 ( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
[答案] B
[解析] 由|MF1|－|MF2|＝1，且|MF1|＋|MF2|＝4，得|MF1|＝，|MF2|＝.
又|F1F2|＝2，显然△MF1F2为直角三角形．
5．已知A，B两点的坐标分别为(0，－5)和(0,5)，直线AM与MB的斜率之积为－，则点M的轨迹方程是导学号 64150291 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±5)
C.＋＝1 D.＋＝1(x≠0)
[答案] D
[解析] 设点M的坐标为(x，y)，则kMA＝，kBM＝，由题意，得·＝－(x≠0)，
整理得＋＝1(x≠0)．故选D.
6．设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是导学号 64150292 ( )
A. B.
C．－ D．－
[答案] D
[解析] 由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝ ①
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
|F1F2|＝2，∴①式可化为cos∠F1PF2＝
＝－1.
∵|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当|PF1|＝|PF2|时，取等号，∴cos∠F1PF2≥－1＝－，当|PF1|＝|PF2|时取等号，
∴cos∠F1PF2的最小值为－.
二、填空题
7．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，M为椭圆上一点，且|MF1|＝2，N是线段MF1的中点，则|ON|为(O为坐标原点)________．导学号 64150293
[答案] 4
[解析] 如图所示
∵|MF1|＋|MF2|＝10，|MF1|＝2，
∴|MF2|＝8，
又ON为△F1F2M的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
8．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且|PF1|︰|PF2|＝1︰2，则∠F1PF2＝______________.导学号 64150294
[答案] arccos
[解析] 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6，又|PF1|︰|PF2|＝1︰2，则|PF1|＝2，|PF2|＝4，而|F1F2|＝4
由余弦定理得cos∠F1PF2＝，
∴∠F1PF2＝arccos.
三、解答题
9．求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
导学号 64150295
[解析] 将点(3,0)代入x2＋6x＋y2－91＝－64<0，所以点P在圆内，圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3,0)，半径为R＝10.设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得R－|PC|＝|CC1|?|PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10.可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，所以a＝5，从而b＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
一、选择题
1．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是导学号 64150296 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[答案] C
[解析] 由题意知|F1F2|＝2，
而|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．
则2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|
即|PF1|＋|PF2|＝4>2
则P点的轨迹方程为椭圆，
则a＝2，c＝1.
∴椭圆方程为＋＝1.
2．已知方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是
导学号 64150297 ( )
A．k<1或k>3 B．1C．k>1 D．k<3
[答案] B
[解析] 因为方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆．所以解得13．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是导学号 64150298 ( )
A．0 B．1
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＋＝(－2x0，－2y0)，
∴|＋|＝＝2＝2.
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值为2.故选C.
二、填空题
4．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如图，由题意，A点横坐标为c，
∴c2＋＝1，
又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，
又∵|AF1|＝3|BF1|，
∴B点坐标为(－c，－b2)，
代入椭圆方程得，
∴方程为x2＋y2＝1.
5．若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围是________．导学号 64150300
[答案] (2，)∪(，5)
[解析] 由方程＋＝1表示椭圆，
可得
解得2即当2方程＋＝1表示椭圆．
6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．导学号 64150301
[答案] ＋＝1
[解析] 本题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方程，点在圆外过点(1，)与圆相切的一条直线方程为x＝1，一个切点为(1,0)，设另一条的方程为y＝x＋m，由1＝得m＝，故另一条切线的方程为y＝－x＋代入圆的方程联立解得切点为，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c＝1，b＝2，a＝，所求椭圆方程为＋＝1.
7．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．导学号 64150302
[答案] 2 120°
[解析] 考查椭圆定义及余弦定理．
由椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2，
cos∠F1PF2＝
＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
三、解答题
8．如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．导学号 64150303
(1)求△ABF1的周长；
(2)若AB不垂直于x轴，则△AF1B的周长有变化吗？为什么？
[解析] (1)由题意知A，B两点在椭圆＋＝1上，故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
∴△ABF1的周长＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝10＋10＝20.
∴△ABF1的周长为20.
(2)若AB不垂直于x轴，则△ABF1的周长不变．
理由：|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，这与AB是否与x轴垂直无关．
9．如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
[解析] (1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|x0||y0|.
由＋y＝1得y＝1－，从而
xy＝x(1－)＝－(x－)2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6，从而
t＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.
(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)知直线AA1的方程为
y＝(x＋3)． ①
直线A2B的方程为
y＝(x－3)． ②
由①②得
y2＝(x2－9)． ③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故
y＝1－. ④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为
－y2＝1(x<－3，y<0)．
课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.2 椭圆
2.2.1 椭圆的标准方程第二章1.用一个平面去截圆锥面，当平面与圆锥面的轴成不同角度时，会获得怎样的曲线？
2．求曲线方程的一般步骤是什么？
3．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．( )
(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．( )
(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．( )答案：1.用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥面，截线是一个圆；如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到不同的图形，这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线．
2．(1)建系、设点：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写点集：写出适合条件p的点M的集合P＝{M|P(M)}．(3)列方程：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
3．(1)√ (2)× (3)×到两定点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之和为6的点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段
C．椭圆或线段或不存在 D．不存在
[答案] D
[解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝6<|F1F2|＝8，
∴轨迹不存在．导学号 64150273二、椭圆的标准方程
1．椭圆标准方程的比较(1)焦点在x轴上，且过点(－5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为________．导学号 64150274(2)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
[答案] 0确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面．“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常用待定系数法．
其步骤如下：
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能．导学号 64150275已知B，C是两个定点，|BC|＝4，且△ABC的周长等于10，则三角形的顶点A的轨迹方程为________．导学号 64150276 △ABC的三边a>b>c且成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
[思路分析] 由已知2b＝a＋c，即|BA|＋|BC|＝2b＝4，为定值，故考虑椭圆定义．利用椭圆定义求标准方程 导学号 64150277已知圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．
[分析] 利用垂直平分线的性质及椭圆的定义解题．
[解析] 如图所示，M是AQ的垂直平分线与CQ的交点，连接MA，则|MQ|＝|MA|，导学号 64150278用待定系数法求椭圆方程 导学号 64150279导学号 64150280椭圆中的焦点三角形 导学号 64150281导学号 64150282与椭圆有关的轨迹问题 导学号 64150283在△ABC中，BC＝24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解析] 如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系．导学号 64150284导学号 64150285[错解] A
[错因分析] 该解法忽视了2a>|F1F2|的条件而出错．
[正解] D
[思路分析] ∵|MF1|＋|MF2|＝4＝|F1F2|，
∴M的轨迹是线段F1F2.导学号 64150286第二章 2.2 2.2.2 第1课时
一、选择题
1．(2015·广东文，8)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝
导学号 64150317 ( )
A．2 B．3
C．4 D．9
[答案] B
[解析] 由题意得：m2＝25－42＝9，因为m＞0，所以m＝3，故选B.
2．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m＝
导学号 64150318 ( )
A．4 B．5
C．7 D．8
[答案] D
[解析] 因为焦点在y轴上，
所以?6又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4?m＝8.
3．已知椭圆的焦距为2，椭圆上一点到两焦点的距离的和为8，则椭圆的标准方程为导学号 641503197 ( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
[答案] D
[解析] ∵2c＝2，∴c＝，∵2a＝8，∴a＝4.
又∵焦点不知在哪个轴上，∴标准方程有两个，故选D.
4．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为导学号 64150320 ( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由题意知b＝c，∴a＝b，∴e＝＝.
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为导学号 64150321 ( )
A. B.
C. D.－2
[答案] B
[解析] 本题考查椭圆方程，等比数列知识、离心率等．
∵A、B分别在左右顶点，F1、F2分别为左右焦点，∴|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝.
6．我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设＋＝1(a>b>0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则∠ABF等于
导学号 64150322 ( )
A．60° B．75°
C．90° D．120°
[答案] C
[解析] cos∠ABF＝
＝＝
＝＝0，
∴∠ABF＝90°，选C.
二、填空题
7．一椭圆的短半轴长是2，离心率是，焦点为F1，F2，弦AB过F1，则△ABF2的周长为____________． 导学号 64150323
[答案] 12
[解析] ∵离心率是，∴a＝3c，
又有a2－c2＝b2＝8，
∴(3c)2－c2＝8∴c2＝1，
∴a2＝9，易知△ABF2的周长为4a，
∴周长为12.
8．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．导学号 64150324
[答案] ＋＝1
[解析] 考查椭圆的定义与标准方程．
设椭圆G的标准方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，则
，∴，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
三、解答题
9．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝π，求椭圆方程．导学号 64150325
[解析] 由题意知
??
∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
一、选择题
1．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)的位置导学号 64150326 ( )
A．必在圆x2＋y2＝2内 B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外 D．以上三种情形都有可能
[答案] A
[解析] 由e＝知＝，a＝2c.由a2＝b2＋c2得b＝c，代入ax2＋bx－c＝0，得2cx2＋cx－c＝0，即2x2＋x－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝<2.
2．(2016·全国卷Ⅲ理，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a,0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝．
3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为导学号 64150328 ( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3. ①
又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，
即y2＝1－. ②
将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故点M到y轴的距离为.
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是导学号 64150329 ( )
A．[，1) B．[，]
C．[，] D．(0，]
[答案] C
[解析] 设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，
∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2①，
把P(m，n)代入椭圆＋＝1，得b2m2＋a2n2＝a2b2②，
把①代入②得m2＝≥0，
∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2≤3c2，∴e＝≥.
又m2＝≤a2，
∴a2≥2c2，∴e＝≤.
综上知此椭圆离心率的取值范围是[，]，故选C.
二、填空题
5．已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为________．
导学号 64150330
[答案] ＋＝1或＋＝1
[解析] 因为2a＝20，e＝＝，所以a＝10，c＝6，b2＝a2－c2＝64.由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
6．以正方形ABCD的相对顶点A，C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为________．导学号 64150331
[答案]
[解析] 连接CE，设AD＝1，则AC＝，即c＝，CE＝＝，
∴2a＝AE＋CE＝＋，
∴a＝＋，
∴e＝＝＝.
三、解答题
7. 设P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝90°，求证：椭圆的圆心率e≥.导学号 64150332
[证明] 证法一：∵P是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a， ①
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，
由①2，得|PF1|2＋2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4a2，
∴|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)， ②
由①和②，知|PF1|，|PF2|是方程z2－2az＋2(a2－c2)＝0的两根，且两根均在(a－c，a＋c)之间．
令f(z)＝z2－2az＋2(a2－c2)则可得()2≥，即e≥.
证法二：由题意知c≥b，∴c2≥b2＝a2－c2，
∴≥，故e≥.
8．过椭圆＋＝1内一点M(2,1)的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．
导学号 64150333
[解析] 设所求直线存在，方程y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，所以x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.又k＝－时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x＋2y－4＝0.
9．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．导学号 64150334
[解析] 解法一：若椭圆的焦点在x轴上，由题意得∴椭圆方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
由题意得
∴椭圆方程为＋＝1.
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
解法二：设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意得或
解得或
∴椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质第二章1.椭圆的标准方程2.(1)标准方程的几何特征为：__________________
(2)标准方程的代数特征为：____________________导学号 64150305二、两个标准方程的几何性质与特征比较注意：(1)椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长、短轴长、焦距、离心率等，它反映了椭圆的大小范围、对称性、圆扁程度等，另一类是与坐标有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标等，它反映了椭圆及其特殊点的平面位置．
(2)讨论与坐标有关的椭圆的几何性质时，要先由焦点的位置，确定椭圆的类型，类型不确定的，要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．导学号 64150306导学号 64150307 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[思路分析] 先将椭圆方程化为标准形式，再利用a，b，c之间的关系求解．已知椭圆方程研究其几何性质 导学号 64150308[方法总结] 解决这类问题的关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．导学号 64150309 利用椭圆几何性质求其方程导学号 64150310[方法总结] 利用几何性质求椭圆的标准方程，关键是“选标准定参数”，同时注意a、b、c、e内在联系，以及对方程两种形式的讨论．导学号 64150311求椭圆离心率 F1，F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系；②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．导学号 64150312[方法总结] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求的值，所以，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平方关系，所以，在求e值时，常先考察它的平方值．导学号 64150313椭圆方程及其性质在应用中的技巧与方法 导学号 64150314[思路分析] 先设出F，B点的坐标，得出直线BF的方程，求得d1，再由椭圆的性质求出d2，综合d2＝d1，即可求得a，c的关系式，进而得出所求椭圆的离心率．导学号 64150315导学号 64150316第二章 2.2 2.2.2 第2课时
一、选择题
1．椭圆＋＝1中，以点M(－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为导学号 64150348 ( )
A. B.
C. D．－
[答案] B
[解析] 设直线与椭圆交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－2，
设直线为y＝k(x＋1)＋2，
联立得(9＋16k2)x2＋32k(k＋2)x＋(k＋2)2－144＝0.
∴x1＋x2＝，
∴＝－2.解得k＝.
故选B.
简解：设弦的端点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则，∴＝
又x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4，
∴＝＝.
2．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为导学号 64150349 ( )
A．3 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设椭圆方程为＋＝1，
联立得
(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，
由Δ＝0得a2＋3b2－16＝0，而b2＝a2－4
代入得a2＋3(a2－4)－16＝0
解得a2＝7，∴a＝.
∴长轴长为2，选C.
3．P是椭圆＋＝1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积是导学号 64150350 ( )
A. B．64(2＋)
C．64(2－) D．64
[答案] A
[解析] 在△PF1F2中，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则由椭圆定义知r1＋r2＝20 ①
由余弦定理知
cos60°＝＝
＝，即r＋r－r1r2＝144 ②
①2－②得r1r2＝.
∴S△PF1F2＝r1·r2sin60°＝.
4．已知F是椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝，则△PQF面积的最大值是导学号 64150351 ( )
A.ab B．ab
C．ac D．bc
[答案] D
[解析] 设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．
S△PQF＝SPF′QF＝S△PFF′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△PFF′最大为bc.
即(S△PQF)max＝bc.
5．椭圆＋＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的导学号 64150352( )
A．7倍 B．5倍
C．4倍 D．3倍
[答案] A
[解析] 不妨设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±)，即|PF2|＝，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|PF1|＝，|PF2|＝，即|PF1|＝7|PF2|.
6．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是导学号 64150353( )
A.∪ B.
C. D.
[答案] C
[解析] 将方程变形为：＋＝1.
∴，∴sinα>－cosα>0.
∴α在第二象限且|sinα|>|cosα|.
二、填空题
7．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．导学号 64150354
[答案]
[解析] 本题考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的离心率的求法．
依题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，＋＝1，＋＝1，所以＋＝0，
＝－＝－＝，
因此e＝＝.
8．(2016·江苏理，10)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
[答案]
[解析] 由题意可得B(－a，)，C(a，)，F(c,0)，则由∠BFC＝90°得·＝(c＋a，－)·(c－a，－)＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝．
三、解答题
9．P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．导学号 64150356
[解析] 解法一：易知引弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)．
由消去y得
(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝.
又∵x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－.故弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得
＋＝0.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴＋(y1－y2)＝0，
∴k＝＝－.
∴此弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为导学号 64150357( )
A. B．3
C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2为直角三角形．
∴P是横坐标为±的椭圆上的点．(点P不可能为直角顶点)
设P(±，|y|)，把x＝±
代入椭圆方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为导学号 64150358( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．
把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，
∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，
故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2
又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，
∴()2＝，即e＝.
3．椭圆＋＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是导学号 64150359( )
A．2 000 B．2 006
C．2 007 D．2 008
[答案] A
[解析] ∵椭圆＋＝1上距离右焦点F(1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于，不妨|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋(n－1)·d，∴d＝>，n－1<2 000，
即n<2 001.∴故选A.
4．已知点(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是
导学号 64150360 ( )
A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－4＝0 D．x＋2y－8＝0
[答案] D
[解析] 设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2), 中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”得＝－，即·＝－，
∴k＝＝－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
二、填空题
5．椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．导学号 64150361
[答案]
[解析] 画图分析可知△FAB的周长的最大值即为4a＝12，∴a＝3，从而c＝＝2，故离心率e＝＝.
6．设F1、F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．导学号 64150362
[答案] (0,1)或(0，－1)
[解析] 思路分析：本题主要考查椭圆的几何性质，向量的运算等基础知识，
如图，设直线AB与x轴交于点N(n,0)，∵＝5F2B，
∴＝，∴＝，∴n＝
设直线AB方程为x＝my＋，代入椭圆方程，得：(m2＋3)y2＋3my＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，由＝5 得y1＝5y2.
∴，∴＝，∴m＝±，∴y2＝±，从而y1＝±1，
∴A点坐标为(0，±1)．
7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
导学号 64150363
[答案] ＋＝1
[解析] 本题主要考查椭圆的定义及几何性质．
依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝2，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
三、解答题
8．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？导学号 64150364
[解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P坐标为(11，4.5)，椭圆方程为＋＝1.
将b＝h＝6与点P代入椭圆方程，得a＝，
此时l＝2a＝≈33.3
因此隧道的拱宽约为33.3米．
9．(2016·四川文，20)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
[解析] (Ⅰ)由已知，a＝2b．
又椭圆＋＝1(a>b>0)过点P(，)，故＋＝1，
解得b2＝1．
所以椭圆E的方程是＋y2＝1．
(Ⅱ)设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由Δ>0，即2－m2>0，解得－由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，
所以M点的坐标为(－m，)，直线OM的方程为y＝－x，
由方程组得C(－，)，D(，－)或C(，－)，D(－，)．
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)，所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
课件62张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.2 椭圆
2.2.2 椭圆的几何性质
第2课时 椭圆方程及性质的应用第二章1.直线与圆的位置关系有哪几种？
2．直线与圆的位置关系的判定方法有哪几种？
答案：1.(1)直线与圆相交?直线与圆有两个公共点；
(2)直线与圆相切?直线与圆有一个公共点；
(3)直线与圆相离?直线与圆没有公共点．k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？导学号 64150335导学号 64150336导学号 64150337四、最值问题
与椭圆有关的最值问题可考虑函数思想，即建立目标函数，用坐标表示要求的量，用方程消参转化为函数的最值问题．导学号 64150338弦长问题 导学号 64150339题(1)中若直线过x轴上点(m,0)，那么当m为何值时，弦长|AB|最长？导学号 64150340实际应用问题 “神舟”五号载人飞船发射升空，于15日9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆．选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371km.导学号 64150341
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程；
(2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1km/s)
[思路分析] 题中提供的信息是近地点，远地点到地面的距离以及地球半径，由这些条件可求出a、c.导学号 64150342与椭圆有关的最值问题 导学号 64150343
[方法总结] 求最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．在探究最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解，同时要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．导学号 64150344与椭圆有关的综合问题 导学号 64150345(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
[思路分析] (1)利用离心率的知识求得椭圆方程；
(2)点到点的距离公式求得最值．导学号 64150346导学号 64150347[辨析] 产生错解的原因是没有考虑椭圆的范围，此题用椭圆的参数方程求解将更为准确．第二章 2.3 2.3.1
一、选择题
1．若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的导学号 64150380 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若k>3，则方程－＝1，表示双曲线；若方程－＝1表示双曲线，则或解得k>3或k<－3.故选A.
2．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为导学号 64150381 ( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13)
C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
[答案] C
[解析] ||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴x＝0.
3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为
导学号 64150382 ( )
A. B.
C. D．5
[答案] C
[解析] 点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.故选C.
4．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0.b>0)有相同的焦点，P是两曲线上的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为导学号 64150383 ( )
A．m－a B．m－b
C．m2－a2 D.－
[答案] A
[解析] 由题意|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2整理得|PF1|·|PF2|＝m－a，选A.
5．若实数k满足0A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
[答案] A
[解析] 本题考查双曲线的性质．
∵00，
∴曲线表示双曲线，
又∵25＋9－k＝c2，
∴焦距相等．选A.
6．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|︰|PF2|＝3︰2，则△PF1F2的面积为导学号 64150385 ( )
A．6 B．12
C．12 D．24
[答案] B
[解析] 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
则解得又|F1F2|＝2
由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.
∴S△PF1F2＝x·y·sin∠F1PF2＝4×6××1＝12.
二、填空题
7．方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：导学号 64150386
①曲线C不可能为圆；②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1[答案] ③④
[解析] 若曲线C为圆，则4－k＝k－1，解得k＝.故①错．
若曲线C为椭圆，则1曲线C为双曲线，则k<1或k>4.③④对．
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．导学号 64150387
[答案] 9
[解析] 设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，所以当满足|PF1|＋|PA|最小时就满足|PF|＋|PA|取最小值．由双曲线的图形可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小．而|AF1|即为|PF1|＋|PA|的最小值，|AF1|＝5，故所求最小值为9.
三、解答题
9．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．导学号 64150388
[解析] 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.
∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－).
一、选择题
1．已知方程ax2－ay2＝b，且ab<0，则它表示的曲线是导学号 64150389( )
A．焦点在x轴上的双曲线
B．圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．椭圆
[答案] C
[解析] 原方程可变形为－＝1，即－＝1.可知它表示焦点在y轴上的双曲线．
2．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝导学号 64150390 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线定义．由|PF1|＝2|PF2|及|PF1|－|PF2|＝2知|PF2|＝2
∴|PF1|＝4，而|F1F2|＝4，∴由余弦定理知cos∠F1PF2＝＝.当点在圆锥曲线上时，很容易考虑到定义解决问题．
3．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为导学号 64150391( )
A．1 B.
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 由已知，P点轨迹为以A，B为焦点，2a＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO|的最小值为，故选B.
4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且·＝0，则|PF1|·|PF2|的值等于导学号 64150392( )
A．2 B．2
C．4 D．8
[答案] A
[解析] ∵·＝0，∴⊥.
又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|2＋|PF2|2＝20，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝2.
二、填空题
5．已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________.导学号 64150393
[答案] 6
[解析] 本小题考查的内容是双曲线的定义与角平分线定理的应用．
如图，F1(－6,0)，F2(6,0)，
由角平分线定理知，
＝＝2
又|AF1|－|AF2|＝2a＝6，∴|AF2|＝6.
6．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．导学号 64150394
[答案]
[解析] 如图所示，设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝＝4，代入－＝1，
得y＝，
∴|OP|＝＝.
7．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．导学号 641503950
[答案] 2
[解析] 本题考查了双曲线的概念．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，根据双曲线的定义及已知条件可得|m－n|＝2a＝2，m2＋n2＝4c2＝8
∴2mn＝4
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn＝12
∵|PF1|＋|PF2|＝2
充分利用PF1⊥PF2, 将||PF1|－|PF2||＝2a，转化到|PF1|＋|PF2|是解决本题的关键．
三、解答题
8．研究方程－＝1表示何种曲线．导学号 64150396
[解析] 当时，即k<2时，－＝1不表示任何曲线；当时，即k>3时，－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；当时，即29.如图，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三内角A、B、C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．导学号 64150397
[解析] 如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则A(－2，0)、B(2，0)．
由正弦定理得sinA＝，sinB＝，sinC＝.
∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支，扣除(，0)点的部分．
∵a′＝，c′＝2，
∴b′2＝c′2－a′2＝6.
所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
课件58张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.3 双曲线
2.3.1 双曲线的标准方程第二章1.椭圆的定义是什么？
2．椭圆定义中去掉限制条件后，动点M的轨迹还是椭圆吗？
答案：1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．不是．当2a<|F1F2|时，动点M的轨迹也就不存在了．
当2a＝|F1F2|时，动点轨迹为线段F1F2.一、双曲线的定义
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹，叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线定义的焦点语言表示
设双曲线上任一点M与两焦点距离之差的绝对值为常数2a，则M所满足的集合是P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)}．注意：(1)要注意在定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”．
①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
②若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支．
③若将“常数不等于零”改为“等于零”，则此时动点轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(2)设M(x，y)为双曲线上的任意一点，F1，F2分别为左、右焦点．若点M在双曲线的右支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(a>0)；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a(a>0)．因此得到|MF1|－|MF2|＝±2a.这与椭圆的定义中|MF1|＋|MF2|＝2a是不同的．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
[答案] D
[解析] 由双曲线的定义可得，∵F1，F2是两定点，|F1F2|＝10，∴满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹为一条射线．导学号 64150365二、双曲线的标准方程
1．双曲线标准方程的比较标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定型条件，这里c2＝a2＋b2，不要与椭圆中的a2＝b2＋c2相混淆，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定．
2．由标准方程判断焦点位置的方法
焦点F1，F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．导学号 64150366
三、待定系数法求双曲线标准方程
用待定系数法求双曲线标准方程的方法是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值)．要特别注意a2＋b2＝c2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆．具体步骤如下：
(1)确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能．注意：如果已知双曲线的方程为标准形式，但不知焦点位置，也可以把双曲线方程设为mx2＋ny2＝1(m，n异号)，然后由条件求m，n.
求双曲线的标准方程是本节的一个重点，常见的类型主要有两类：一是根据题意可以判定出焦点的位置，从而设出标准方程的形式，利用待定系数法确定a，b的值；
二是未给出坐标系，须建立坐标系，然后根据双曲线的定义确定方程．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝4，c＝5，焦点在x轴上；
(2)a＝b，经过点(3，－1)．导学号 64150367
四、焦点三角形问题
双曲线上一点P与双曲线的两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，其中|PF1|，|PF2|和|F1F2|为三角形的三边，解决与这个三角形有关的问题要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理，在解题中将|PF1|－|PF2|看成一个整体可简化运算．导学号 64150369
五、共焦点问题
对于椭圆与双曲线共焦点问题，或者是双曲线与双曲线共焦点问题，要充分运用有关曲线的定义结合整体思想去解决．导学号 64150370 (1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)双曲线16x2－9y2＝144的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝64，求△F1PF2的面积．双曲线定义及标准方程的应用 导学号 64150371导学号 64150372[答案] (1)B (2)C利用定义求双曲线方程 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[思路分析] 利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解．导学号 64150373
[方法总结] 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．导学号 64150374求双曲线的标准方程 导学号 64150375导学号 64150376有关双曲线的实际应用题 如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100m，BP＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．导学号 64150377[思路分析] 首先确定分界线上的任一点应是沿PA，PB两条路线距离相等的点，然后进行讨论即可．
[解析] 田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，则
|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支．
[方法总结] 有关双曲线的实际应用题，关键是审清题意，根据题目中所给的条件列出方程或等式，如果没有坐标系要先建系，再根据双曲线的定义用待定系数法可解．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1020 m．试确定该巨响发生的位置．(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)导学号 64150378[错因分析] 对双曲线的定义理解不正确，忽略双曲线中2a是大于0小于|F1F2|的，在本题中没有对a的范围进行讨论．导学号 64150379第二章 2.3 2.3.2 第1课时
一、选择题
1．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为导学号 64150410 ( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] C
[解析] 本小题考查内容为双曲线的渐近线．
双曲线的渐近线方程为y＝±x，比较y＝±x，∴a＝2.
2．(2015·安徽理，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
导学号 64150934 ( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
[答案] C
[解析] 由题意，选项A，B的焦点在x轴，故排除A，B；C项的渐近线方程为－x2＝0，即y＝±2x，故选C.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为
导学号 64150411 ( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[答案] C
[解析] e＝＝，∴＝，
∴b2＝a2－a2＝，
∴＝，即渐近线方程为y＝±x.
4．已知0<θ<，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的
导学号 64150413 ( )
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
[答案] D
[解析] ∵双曲线C的离心率
e1＝＝＝，
而双曲线C2的离心率
e2＝＝＝
＝＝＝，
∴e1＝e2，故选D.
5．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于导学号 64150414 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查了双曲线的标准方程，焦点和离心率问题．由双曲线的右焦点(3,0)知c＝3，即c2＝9，
又c2＝a2＋b2，∴9＝a2＋5，即a2＝4，a＝2.
∴离心率e＝＝.
6．如果＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是导学号 64150415 ( )
A．(1，＋∞) B．(0,2)
C．(2，＋∞) D．(1,2)
[答案] A
[解析] 方程化为：－＝1，
∴∴k>2.
又c＝＝>1，
故选A.
二、填空题
7．若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)则双曲线的方程是________．导学号 64150415
[答案] x2－＝1
[解析] 设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ>0)，即－＝1.
∵a2＋b2＝c2，
∴＋λ＝10，解得λ＝9.
∴双曲线方程为x2－＝1.
8．(2015·全国卷Ⅱ文，15)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．导学号 64150416
[答案] －y2＝1
[解析] 根据双曲线渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程－y2＝m，把(4，)代入－y2＝m得m＝1.所以双曲线的方程为－y2＝1.
三、解答题
9．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程．导学号 64150417
[解析] 解法1：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为3x±y＝0.
设所求的双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵点P(3，－1)在所求的双曲线上，∴λ＝80.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
解法2：切点为P(3，－1)的圆的切线方程为3x－y＝10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标对称，
∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.
当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y＝±x，即＝3，则双曲线方程可化为－＝1.
∵双曲线过P(3，－1)，
∴－＝1，a2＝，b2＝80.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则其渐近线方程为y＝±x，即＝3，则双曲线方程可化为－＝1.
∵双曲线过点P(3，－1)，
∴－＝1，得－＝1，此方程无解．
∴所求的双曲线方程为－＝1.
一、选择题
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为导学号 64150418 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] A
[解析] 由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，
∴a2＝5，b2＝20，双曲线标准方程为－＝1，选A.
2．已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是导学号 64150419( )
A．x＝±y B．y＝±x
C．x＝±y D．y＝±x
[答案] D
[解析] 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，
∴椭圆焦点(，0)，
双曲线焦点(，0)．
∴3m2－5n2＝2m2＋3n2.∴m2＝8n2.
又∵双曲线渐近线为y＝±·x，
∴代入m2＝8n2，|m|＝2|n|，得y＝±x.
3．(2016·全国卷Ⅱ理，11)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．2
[答案] A
[解析] 设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，所以y＝±．因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝．故选A．
4．如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是导学号 64150421( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 不妨设双曲线方程为－＝1.
由题意知|BF1|－|BF2|＝2a?|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝4a2，①
并由勾股定理得|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12，②
由①②知12－4a2＝2|BF1|·|BF2|，∴|BF1|·|BF2|＝6－2a2.
下面求|BF1|·|BF2|的值．在椭圆中|BF1|＋|BF2|＝4，故|BF1|2＋|BF2|2＋2|BF1|·|BF2|＝16，
又由②知|BF1|2＋|BF2|2＝4c2＝12，
∴|BF1|·|BF2|＝2，因此有c2－a2＝1，
∵c2＝3，∴a2＝2，∴C2的离心率e＝＝.
二、填空题
5．(2015·北京理，10)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.导学号 64150422
[答案]
[解析] 双曲线－y2＝1(a>0)的渐进线方程为y＝±x，x＋y＝0?y＝－x，∵a>0，则－＝－，a＝.
6．已知点F、A分别为双曲线C︰－＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为________．导学号 64150423
[答案]
[解析] 由已知F(－c,0)，A(a,0)，
∴＝(c，b)，＝(－a，b)，
∴由·＝0得－ac＋b2＝0，
即c2－ac－a2＝0，e2－e－1＝0，
解得e＝(另一根舍去)．
7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
导学号 64150424
[答案] 16
[解析] 本题考查双曲线的标准方程以及a、b、c基本量的关系和运算．
根据标准方程可知，a2＝m，b2＝9，而c＝5，∴c2＝a2＋b2，∴52＝m＋9.
∴m＝16.
三、解答题
8．如图，已知F1、F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．导学号 64150425
[解析] 解法一：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入方程得y0＝±，
∴|PF2|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·，
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2，∴＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x.
解法二：在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，∴|F1F2|＝|PF2|.
∴2c＝2a，c2＝3a2＝a2＋b2.∴2a2＝b2.
∴＝，故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．导学号 64150426
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
[解析] (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b，
∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
∴直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
∴x0＝y0， ①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，
∴x0＝c，
∴点A的坐标为(c，)，代入双曲线方程得
－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2， ②
又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，
整理得c4－2a2c2＋a4＝0，
∴3()4－8()2＋4＝0，
∴(3e2－2)(e2－2)＝0，
∵e>1，∴e＝，∴双曲线的离心率为.
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2.3.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的几何性质第二章1.双曲线的标准方程
2.对于椭圆的几何性质应注意哪些问题？导学号 64150398二、两个标准方程的几何性质与特征比较导学号 64150399导学号 64150400四、性质的进一步探究
1．双曲线的渐近线的求法
渐近线是双曲线独有的性质，根据双曲线的标准方程可写出其渐近线方程，方法有二：
(1)画出以实轴长、虚轴长为邻边，以双曲线的两顶点为一组对边中点的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线斜率的确定；
(2)将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即可得双曲线的渐近线方程，这也是常用的方法．已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线的标准方程．
[解析] 由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线l：3x－y＝10平行，所以，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0，即y＝3x.导学号 64150401 求双曲线5x2－9y2＝45的实轴长、虚轴长、顶点坐标及离心率．
[思路分析] 首先考虑将方程化为标准方程，然后根据定义去求．由双曲线方程研究其性质 导学号 64150402导学号 64150403与双曲线的渐近线有关的问题 导学号 64150404导学号 64150405双曲线离心率的值或范围 导学号 64150406导学号 64150407导学号 64150408[错因分析] 上述解法忽略了双曲线的渐近线因双曲线的焦点位置不同而有所区别，忘记了对双曲线的焦点位置进行分类讨论．导学号 64150409第二章 2.3 2.3.2 第2课时
一、选择题
1．直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1的交点个数是导学号 64150439 ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵直线与渐近线平行，∴有一个交点．
2．已知双曲线＋＝1，离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是导学号 64150440( )
A．(－12,0) B．(－∞，0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
[答案] A
[解析] 显然m<0，∴a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，
∵e∈(1,2)，∴e2∈(1,4)，∴＝＝∈(1,4)，
∴4－m∈(4,16)，∴m∈(－12,0)．
3．已知双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是导学号 64150441( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[答案] B
[解析] 由题意＝，
即m2＝a2＋b2，∴选B.
4．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于导学号 64150931( )
A. B.
C．1 D.
[答案] B
[解析] x2－y2＝1的一个顶点为A(1,0)，一条渐近线为y＝x，则A(1,0)到y＝x距离为d＝＝.
5．(2015·全国卷Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°， 则E的离心率为导学号 64150442 ( )
A. B．2
C. D.
[答案] D
[解析] 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝，故选D.
6．直线y＝x与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左右两支分别交于M，N两点，F是双曲线C的右焦点，O是坐标原点，若||＝||，则双曲线的离心率等于导学号 64150443 ( )
A.＋ B.＋1
C.＋1 D．2
[答案] B
[解析] 由题知|MO|＝|NO|＝|FO|，
∴△MFN为直角三角形，且∠MFN＝90°，
取左焦点为F0，连结NF0，MF0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF0为平行四边形．
又∵∠MFN＝90°，∴四边形NFMF0为矩形，
∴|MN|＝|F0F|＝2c，
又∵直线MN的倾斜角为60°，即∠NOF＝60°，
∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝c，
由双曲线定义知|MF|－|MF0|＝c－c＝2a，∴e＝＝＋1，故选B.
二、填空题
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．导学号 64150444
[答案] 44
[解析] 如图，
由条件知，双曲线右焦点为A(5,0)，则|PF|＝|PA|＋2a＝|PA|＋6，|QF|＝|QA|＋6，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋12＝4b＋12＝28，
∴△PQF的周长为28＋16＝44.
8．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________．导学号 64150445
[答案] 2x－y－15＝0
[解析] 设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则x－4y＝4①
x－4y＝4②
①－②得
(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵P是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝＝2.
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为2x－y－15＝0.
三、解答题
9．双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，与圆x2＋y2＝5交于点P(2，－1)，如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴的一个端点的连线，求双曲线的方程．
导学号 64150446
[解析] ∵双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，
∴双曲线方程可设为－＝1(a>0，b>0)．
∵点P(2，－1)在双曲线上，∴－＝1①.
又∵圆x2＋y2＝5在点P处的切线平行于双曲线左顶点(－a,0)与虚轴的一个端点(0，b)的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为－1，
∴k切＝2，即＝2，∴b＝2a②.
解得①②得a2＝，b2＝15，∴双曲线方程为－＝1.
一、选择题
1．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝导学号 64150447 ( )
A．1或5 B．6
C．7 D．9
[答案] C
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴＝，∵b＝3，∴a＝2.
又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.
∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．
2．已知双曲线－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为导学号 64150448 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图所示，由－＝1知，F1(－3,0)，F2(3,0)．设M(－3，y0)，则y0＝±，取M(－3，)．
直线MF2的方程为x＋6y－＝0，
即x＋2y－3＝0.
∴点F1到直线MF2的距离为d＝＝.
3．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为导学号 64150449 ( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设PF1的中点M，连结F2M，由题意知|F1F2|＝|PF2|＝2c，则F2M⊥PF1，所以|MF2|即为点F2到直线PF1的距离，故|MF2|＝2a.
由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝2a＋2c，从而|F1M|＝a＋c，
故(2c)2＝(a＋c)2＋(2a)2，得e＝＝(e＝－1舍去)．
4．(2016·天津理，6)已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] D
[解析] 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝，yA＝，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为－＝1，故选D．
二、填空题
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距为c.已知原点到直线l：bx＋ay＝ab的距离等于c＋1，则c的最小值为________．导学号 64150451
[答案] 4
[解析] 根据已知，得＝c＋1，又ab≤＝，故得c＋1≤，解得c≥4，即c的最小值为4.
6．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．
导学号 64150452
[答案]
[解析] 设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且|PF′|＝2×＝a，故|PF|＝3a，根据勾股定理得|FF′|＝a.所以双曲线的离心率为＝.
7．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足⊥.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．导学号 64150453
[答案] (1,2)
[解析] 设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，由题意，可得>1，即>1，所以e＝<2，又e>1，故1三、解答题
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．导学号 64150454
(1)求此双曲线方程；
(2)求证：·＝0.
[解析] (1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)、F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
9．已知双曲线C︰－y2＝1，P是C上的任意点．导学号 64150455
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
[解析] (1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.
它们的乘积是·＝＝.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．
(2)设P的坐标为(x，y)，则
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1
＝2＋.
∵|x|≥2，∴当x＝时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.
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2.3.2 双曲线的几何性质
第2课时 双曲线方程及性质的应用第二章1.如何判断直线与椭圆的位置关系？
2．椭圆中，中点弦问题的处理方法有哪些？
答案：1.判断直线l与椭圆的位置关系时，可将直线l的方程代入椭圆的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若Δ>0，则直线l与椭圆相交；若Δ＝0，则直线l与椭圆相切；若Δ<0，则直线l与椭圆相离．一、直线与双曲线交点个数的判断：
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
另外，当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，故直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线相切的必要而不充分条件．已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)．求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围，使l与C只有一个交点．导学号 64150427二、直线与双曲线的相交弦问题
1．直线和双曲线相交所得弦长的两种求法
(1)距离公式：求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长；
(2)弦长公式：根据根与系数的关系，利用弦长公式求解．
2．中点弦问题的两种处理方法
(1)方程法：联立方程组消去一个未知数，得到一元二次方程，利用根与系数的关系，代入中点坐标公式，求出参数的值或求出直线方程，使问题解决．
(2)点差法：设端点(x1，y1)，(x2，y2)代入双曲线方程，两式作差后采用“平方差”，代入中点坐标公式，得直线的斜率，建立点斜式方程，使问题解决．直线2x－3y＝0被双曲线2x2－3y2＝6截得的弦长是________．导学号 64150428三、与双曲线有关的综合问题
涉及知识点：双曲线的综合问题往往涉及双曲线的离心率、渐近线、范围等性质，需要综合上述性质解决问题；
常见联系点：双曲线的综合问题常常与平面向量、三角函数以及不等式等知识结合考查，考查综合运用数学的能力；
常用解题法：双曲线的综合问题多以直线与双曲线相交的形式出现，因此一般需联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程根与系数的关系构造相关数量关系，通过解方程和解不等式达到解决问题的目的．导学号 64150429 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围．
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线组成方程组，对方程解的个数进行讨论．直线与双曲线的公共点问题 导学号 64150430导学号 64150431直线与双曲线相交弦问题导学号 64150432已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，与双曲线交于A，B两点，且倾斜角为45°，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．导学号 64150433双曲线中一些参数(变量)范围问题 导学号 64150434导学号 64150435对称问题 导学号 64150436已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程．
[解析] 若直线斜率不存在，即P1P2⊥Ox，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l斜率存在．
故可设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.导学号 64150437导学号 64150438第二章 2.4 2.4.1
一、选择题
1．(2015·陕西文，3)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为导学号 64150469 ( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
[答案] B
[解析] 由抛物线y2＝2px(p＞0)得准线x＝－，因为准线经过点(－1,1)，所以p＝2，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B.
2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是导学号 64150470( )
A．2 B．2
C. D．1
[答案] D
[解析] 由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝＝1.
3．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是导学号 64150471( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
[答案] D
[解析] 依题意可知M点到F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴，∴其方程为y2＝16x，故答案为D.
4．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为
导学号 64150472( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 解法一：∵y＝4，∴x2＝4·y＝16，
∴x＝4，∴A(4,4)，焦点坐标为(0,1)，
∴所求距离为＝＝5.
解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又∵A到准线的距离与A到焦点的距离相等．
∴距离为5.
5．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是导学号 64150473( )
A．(2，－1) B．(1，－1)
C．(，－) D．(，－)
[答案] A
[解析] y＝x2?x2＝4y，焦点为(0,1)，其关于x－y－1＝0的对称点为(2，－1)．
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M(4，y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为导学号 64150474( )
A．1 B.
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 抛物线准线方程为x＝，由于M(4，y)到焦点F的距离为5，故有|4＋|＝5，由于p>0，故p＝2，|OF|＝1，抛物线方程为y2＝4x，则M(4，±4)，于是S△OFM＝2.
二、填空题
7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
导学号 64150475
[答案] 2 x＝－1
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．导学号 64150476
[答案] y2＝8x
[解析] 由题意可设抛物线方程为y2＝2ax，
∵点P(2,4)在抛物线上，∴42＝4a，∴a＝4.
即所求抛物线的方程为y2＝8x.
三、解答题
9．求适合下列条件的抛物线的标准方程：导学号 64150477
(1)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.
(2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5，2)到焦点的距离是6.
[解析] (1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点，l的方程为x＝－，如图，作AA′⊥l于A′，BB′⊥l于B′，则|AF|＝|AA′|＝|FK|＝|m|，同理
|BF|＝|m|.又|AB|＝6，则2|m|＝6.
∴m＝±3，故所求抛物线方程为y2＝±6x.
(2)设焦点F(a,0)，|PF|＝＝6，即a2＋10a＋9＝0，解得a＝－1或a＝－9.当焦点为F(－1,0)时，p＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－4x；当焦点为F(－9,0)时，p＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y2＝－36x.
一、选择题
1．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|︰|MN|＝导学号 64150478( )
A．2︰ B．1︰2
C．1︰ D．1︰3
[答案] C
[解析] 本题考查了抛物线定义等．如图：
过M作准线的垂线MH，设∠FAO＝∠MNH＝α，则tanα＝，sinα＝＝＝＝.
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为导学号 64150479( )
A. B.
C. D．2
[答案] C
[解析] 本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用．
设∠AFx＝θ(0<θ<π)及|BF|＝m；由点A到准线l：x＝－1的距离为3，
得：3＝2＋3cosθ?cosθ＝，
又m＝2＋mcos(π－θ)?m＝＝，
△AOB的面积为S＝×|OF|×|AB|×sinθ＝×1×(3＋)×＝.故选C.在解决解析几何有关问题时，要加强与图形的结合，合理的选取方法求解．
3．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为导学号 64150480( )
A．a>0时为(0，a)，a<0时为(0，－a)
B．a>0时为(0，)，a<0时为(0，－)
C．(0，a)
D．(，0)
[答案] C
[解析] a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点， 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是导学号 64150481 ( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] D
[解析] ∵P到直线BC与直线C1D1的距离相等，又ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴D1C1⊥侧面BCC1B1.
∴D1C1⊥PC1，∴PC1为P到直线D1C1的距离，即PC1等于P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．
二、填空题
5．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．导学号 64150482
[答案] 10
[解析] 因为抛物线方程为y2＝4x，
则准线方程为x＝－1.
设P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
|PM|＝x0＋1＝5.所以x0＝4.
把x0＝4代入y2＝4x，解得y0＝±4，
所以△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.
6．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C、F两点，则＝________.导学号 64150483
[答案] ＋1
[解析] 本题考查抛物线的方程．
由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，则
?＝＋1，故填＋1.
7．焦点在直线3x－4y－12＝0上，顶点在原点，关于坐标轴对称的抛物线的标准方程是________．导学号 64150484
[答案] y2＝16x或x2＝－12y
[解析] 直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为(4,0)，则以(4,0)为焦点的抛物线方程为y2＝16x；直线3x－4y－12＝0与y轴的交点为(0，－3)，则以(0，－3)为焦点的抛物线方程为x2＝－12y.
三、解答题
8．过抛物线y＝4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝5，求线段AB的长．导学号 64150485
[解析] 将抛物线方程化为x2＝y，设焦点为F，
|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，p＝，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝.
9．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．导学号 64150486
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程．
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
[解析] 如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程第二章1.二次函数y＝ax2(a≠0)的开口方向和顶点坐标对称轴分别是怎样的？
2．若动P到定点F(0,4)的距离与直线y＝－4的距离相等，则点P的轨迹方程是________．一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
注意：(1)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
(2)抛物线的定义用集合语言表示为：P＝{M||MF|＝d}(d为M到直线l的距离)．
(3)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
(4)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
[答案] D
[解析] 由题意知动圆圆心到定点A和y轴的距离相等，故所求轨迹为抛物线．导学号 64150456二、抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有四种形式：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2px，x2＝－2py，标准方程中只含一个参数p(p>0)，参数p的几何意义是焦点到准线的距离，所以p恒为正．
抛物线的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程.[答案] D
[解析] 由题意得2p＝4，p＝2，抛物线的焦点坐标为(1,0)．三、求抛物线标准方程的方法
1．定义法：先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程．
2．待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数p.
待定系数法求抛物线方程要注意先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置，后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程．
注意：当焦点的位置不确定时，为避免讨论带来的麻烦，可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)，若m>0，抛物线开口向右或向上；若m<0，抛物线开口向左或向下．准线方程为y＝－2的抛物线的标准方程是( )
A．y＝8x2 B．x2＝8y
C．y2＝8x D．y2＝－8x
[答案] B导学号 64150458四、抛物线定义的应用
(1)由抛物线的定义知抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，因此，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
(2)涉及抛物线上的点与焦点或准线有关的距离最值问题，常用方法是利用定义，将到焦点的距离与到准线的距离进行转化，利用数形结合，将折线段转化为直线段求最值．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点到y轴的距离是________．
[答案] 2导学号 64150459 若点P到F(3,0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，求动点P的轨迹方程．
[思路点拨] 可以考虑运用直接法，设出P点坐标，列等式或者考虑抛物线的定义．有关抛物线的定义 导学号 64150460判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线：
(1)过点P(0,3)且与直线y＋3＝0相切的动圆的圆心M的轨迹；
(2)到点A(0,2)的距离比到直线l︰y＝－4的距离小2的动点P的轨迹．导学号 64150461
[解析] (1)依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y＝－3的距离，∴动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y＝－3为准线的抛物线．
(2)依题意，动点P到点A(0,2)的距离与到直线l︰y＝－2的距离相等，∴P的轨迹是以点A为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线.求焦点或准线 已知抛物线方程为3x2＝y，求其焦点坐标和准线方程．
[思路分析] 抛物线应先化为标准形式，然后再求．
[方法总结] 方程一定要先化为标准方程，同时一定要明确焦点的位置．导学号 64150462已知抛物线的方程如下，分别求其焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝8x；(2)x＝ay2(a≠0)．
[分析] 将方程化为标准形式，求p，结合图形，从而求得焦点坐标与准线方程．
[解析] (1)因为2p＝8，所以p＝4，开口向右，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.导学号 64150463抛物线的标准方程 已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m值；
(2)求抛物线的焦点和准线方程．导学号 64150464(1)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
(2)根据下列条件，求抛物线的标准方程：
①焦点到准线的距离是4；
②过点(1,2)．导学号 64150465抛物线的实际应用 一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，如图所示．已知拱口宽AB恰好是拱高CD的4倍，求能使卡车通过的拱宽am的最小整数值．
[思路分析] 求拱宽a的最小整数值，需建立适当的坐标系，写出抛物线方程，然后利用方程求解．导学号 64150466某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
[分析] 要解决本题，首先要建立适当的坐标系，求出拱桥的方程，然后求出船与桥恰有两个触点时的坐标，进而转化为水面与拱顶的距离．导学号 64150467[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p>0)上．导学号 64150468[错因分析] 错解是对抛物线标准方程认识不清造成的，事实上，题目中所给方程不是抛物线的标准方程，首先应把该方程化为标准方程，再求解．第二章 2.4 2.4.2 第1课时
一、选择题
1．与y轴相切并和圆x2＋y2－10x＝0外切的动圆圆心的轨迹为导学号 64150499 ( )
A．圆 B．抛物线和一条射线
C．椭圆 D．抛物线
[答案] B
[解析] 如图，
设动圆圆心坐标为(x，y)，由题意得
y＝0(x<0)或y2＝20x(x≠0)．
2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为导学号 64150500 ( )
A．2 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.
3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是导学号 64150501 ( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 本题考查抛物线的相关概念．特别注意定义在本题中的应用．
由题意知当圆的半径大于4时满足条件，即y0＋2>4，y0>2.
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为导学号 64150502 ( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 本题考查抛物线的几何性质、直线的斜率，直线与抛物线的位置关系．
由题意知，准线方程为x＝－2，∴p＝4，
抛物线方程：y2＝8x，焦点坐标(2,0)．
设过A点的直线为y＝k(x＋2)＋3
联立
化简得y2－y＋＋16＝0 ①
∴Δ＝－4(＋16)＝0，
∴k＝，k＝－2(舍去)．
将k＝代入方程①，∴y＝8，∴x＝8.
B点坐标为(8,8)．
∴kBF＝＝.
5．已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为导学号 641505003 ( )
A．(2,1) B．(1,1)
C．(，1) D．(，1)
[答案] D
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，
由图可知|PF|＝|PH|.
当A、P、H三点共线时|PA|＋|PH|最小，
此时P点纵坐标为1.
而P点在抛物线y2＝4x上．
则x＝.故P点坐标为(，1)．
6．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为导学号 64150504 ( )
A. B．1
C. D.
[答案] C
[解析] 本小题考查抛物线的定义．
如图，|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|
＝2|MN|＝3，
∴|MN|＝，
又p＝，∴AB中点M到y轴的距离为|MN|－＝.
二、填空题
7．(2016·浙江理，9)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
[答案] 9
[解析] 由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9．故M到y轴的距离是9．
8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．导学号 64150506
[答案] x＝－2
[解析] 由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.
三、解答题
9．已知A、B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
求两点的横坐标之积和纵坐标之积．导学号 64150507
[解析] 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.
∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
一、选择题
1．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是导学号 64150508( )
A．4 B．4或－4
C．－2 D．2或－2
[答案] B
[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，
由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.
又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.
2．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是导学号 64150509 ( )
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
[答案] C
[解析] 由抛物线的对称性及AB⊥x轴知，抛物线的焦点在x轴上．设方程为y2＝nx(n≠0)．
∵OA的方程为y＝x，且OA＝1.
得A或A，
代入y2＝nx，得n＝±，∴方程为y2＝±x，故选C.
3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是导学号 64150510 ( )
A. B.
C. D．0
[答案] B
[解析] 设M(x，y)，且方程化为x2＝y，则必有|MF|＝y＋＝y＋＝1，所以y＝，故选B.
4．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为
导学号 64150511( )
A．2 B．3
C．4 D．4
[答案] C
[解析] 双曲线的左焦点，抛物线的准线x＝－，∴－＝－?p2＝16，由题意知p>0，∴p＝4.故选C.
二、填空题
5．(2015·陕西理，14)若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.导学号 64150512
[答案]
[解析] 由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－，因为p＞0，所以该准线过双曲线的左焦点，由双曲线的方程可知，左焦点坐标为(－，0)；故由－＝－可解得p＝2.故本题正确答案为2.
6．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.导学号 64150513
[答案]
[解析] 本题考查了抛物线的性质，设|AF|＝x，|BF|＝y，由抛物线的性质知＋＝＝2，又x＋y＝，∴x＝，y＝，即|AF|＝.
7．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为________．
导学号 64150514
[答案] 2
[解析] 由题意，设A点坐标为(x,2)，则x＝3，
又焦点F(1,0)，∴焦点到AB的距离为2.
三、解答题
8．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．导学号 64150515
[解析] 设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
∵|OA|＝|OB|，
∴x＋y＝x＋y，
即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1，
∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
∵x1>0，x2>0,2p>0，
∴x1－x2＝0，∴x1＝x2.
由此可知|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，
∴AB垂直于x轴，且∠AOx＝30°，即＝tan30°＝.
∵x1＝，
∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p.
故这个正三角形的边长为4p.
9．如图所示，线段AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数，且a≥1)，求弦的中点M到x轴的最近距离．导学号 64150516
[解析] 如右图所示，设点A，M，B的纵坐标为y1，y2，y3，点A，M，B在抛物线y＝x2的准线上的射影分别为A′，M′，B′，
由抛物线的定义，得
|AF|＝|AA′|＝y1＋，
|BF|＝|BB′|＝y3＋，
∴y1＝|AF|－，y3＝|BF|－.
又M是线段AB的中点，
∴y2＝(y1＋y3)
＝(|AF|＋|BF|－)≥(|AB|－)
＝(2a－1)
当且仅当线段AB过焦点F时等号成立，即当定长为a的弦AB过焦点F时，点M到x轴的距离最近，最近距离为(2a－1)．
课件46张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的几何性质第二章1.抛物线的标准方程有几种形式？
2．抛物线的标准方程中参数p的几何意义是什么？
答案：1.抛物线的标准方程有4种形式即y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p>0)．
2．在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p>0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭．一、抛物线的几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，①
其性质有如下几个方面：
1．范围
因为p>0，由方程①可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口向右．
2．对称性
以－y代y，方程①不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝1.
注意：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，它没有中心．导学号 64150487二、四种标准形式的抛物线几何性质比较设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
[答案] y2＝8x或y2＝－16x导学号 64150488过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线交于两点，两个交点的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2.导学号 64150489导学号 64150490五、与抛物线有关的最值问题
1．涉及抛物线上的点与焦点或准线有关的距离最值问题，一般用定义转化为几何问题求解．
2．最值问题的一般方法是根据条件建立目标函数，转化为求函数的最值问题．
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解；也可以转化为抛物线的切线与定直线平行时，两直线的距离问题．求抛物线y2＝64x上的点到直线4x＋3y＋46＝0的距离的最小值，并求取得最小值时该点的坐标．导学号 64150491 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．
[思路分析] 先确定椭圆短轴所在的坐标轴，再利用抛物线的几何性质可求．抛物线几何性质求标准方程导学号 64150492导学号 64150493抛物线中最值问题 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点坐标．
[思路分析] 若设出P点坐标利用两点间距离公式求解，含有根号较复杂，考虑用定义将|PF|转化为到准线的距离．导学号 64150494抛物线y＝4x2上的点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标是什么？
[分析] 只需在抛物线上设出点，进而表示出点到直线距离，转化为函数求解即可．导学号 64150495抛物线的证明与求值 导学号 64150496导学号 64150497导学号 64150498第二章 2.4 2.4.2 第2课时
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是导学号 64150527 ( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
[答案] D
[解析] ∵切线方程与直线2x－y＋4＝0平行，
∴切线方程为y＝2x＋b，联立得
∴x2＝2x＋b，即x2－2x－b＝0.
由于交点为切点，故方程只含有一个根，即需要判别式Δ＝(－2)2－4×(－b)＝0
∴b＝－1.
∴所求直线方程为2x－y－1＝0.
2．过点A(－p，p)作直线l与抛物线y2＝2px(p>0)仅有一个公共点的直线共有
导学号 64150528( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不能确定
[答案] C
[解析] 由题意知，点A(－p，p)在抛物线的“锅”外，则过点A(－p，p)有三条直线与抛物线仅有一个公共点，其中两条切线，一条是与抛物线的对称轴平行的直线．
3．(2015·浙江理，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是导学号 64150529( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] ＝＝＝，故选A.
4．(2016·全国卷Ⅱ文，5)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A． B．1
C． D．2
[答案] D
[解析] 易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1,2)代入曲线y＝(k>0)得k＝2．
5．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点导学号 64150531( )
A．(4,0) B．(2,0)
C．(0,2) D．(0，－2)
[答案] B
[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x＋2＝0相切．∴动圆过定点F(2,0)，故选B.
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围导学号 64150532( )
A．[－，] B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
[答案] C
[解析] 准线x＝－2，Q(－2,0)，设y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，当k≠0时，Δ≥0，
－1≤k<0或0是[－1,1]，故选C.
二、填空题
7．过点P(0,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有________条．导学号 64150533
[答案] 3
[解析] 作出抛物线y2＝2x的图形如图，可以看出点P在y轴上，由图中看出过点P有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y轴(斜率不存在的切线)，过点P与x轴平行的直线以及过点P与抛物线相切的斜率存在一条直线．
8．已知过抛物线y2＝4x焦点的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则＋＝________.导学号 64150534
[答案]
[解析] 弦AB是过焦点F(1,0)的弦，又过点(0,2)
∴其方程为x＋＝1，
2x＋y－2＝0与y2＝4x联立得
y2＋2y－4＝0，y1＋y2＝－2，y1y2＝－4，
＋＝＝＝.
三、解答题
9．已知抛物线y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线满足下列条件：导学号 64150535
①只有一个公共点；
②有两个公共点；
③没有公共点．
[解析] 由题意得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由消去x得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①，
当k＝0时，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，此时，直线l与抛物线只有一个公共点(，1)．
当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．
①当Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l与抛物线只有一个公共点．
②当Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1③当Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k>或k<－1，
此时，直线l与抛物线没有公共点．
综上所述可知当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点；
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线没有公共点.
一、选择题
1．抛物线y2＝－4px(p>0)的焦点为F，准线为l，则p表示导学号 64150536( )
A．F到l的距离 B．F到y轴的距离
C．F点的横坐标 D．F到l的距离的
[答案] B
[解析] 设y2＝－2p′x(p′>0)，p′表示焦点到准线的距离，又2p′＝4p，p＝，故P表示焦点到y轴的距离．
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝8，那么|AB|等于导学号 64150537( )
A．10 B．8
C．6 D．4
[答案] A
[解析] 设F为抛物线y2＝4x的焦点，则由抛物线的定义知|AF|＝x1＋＝x1＋1，|BF|＝x2＋＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝10.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则一定有等于导学号 64150538( )
A．4 B．－4
C．p2 D．－p2
[答案] B
[解析] 设过焦点的直线方程为x＋ay－＝0(a∈R)，则代入抛物线方程有y2＋2apy－p2＝0，故由根与系数的关系知y1y2＝－p2.又由y＝2px1，①
y＝2px2，②
①②相乘得yy＝4p2x1x2，∴x1x2＝，
∴＝－4.
4．(2016·全国卷Ⅰ理，10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D、E两点，已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
[解析] 由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A(，2)，D(－，)，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B．
二、填空题
5．P点是抛物线y2＝4x上任一点，到直线x＝－1的距离为d，A(3,4)，|PA|＋d的最小值为________．导学号 64150540
[答案] 2
[解析] 设抛物线焦点为F(1,0)，
则d＝|PF|，∴|AP|＋d＝|AP|＋|PF|≥|AF|＝＝2.
6．已知点P在抛物线y2＝2x上运动，点Q与点P关于(1,1)对称，则点Q的轨迹方程是________．导学号 64150541
[答案] y2－4y＋2x＝0
[解析] 设P(x0，y0)，Q(x，y)由已知得
∴x0＝2－x，y0＝2－y，
又P(x0，y0)在y2＝2x上，
∴(2－y)2＝2(2－x)
即y2－4y＋2x＝0.
7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若＝，则p＝______.导学号 64150542
[答案] 2
[解析] 如图，设B(x0，y0)，则MK＝BH，
则x0＋＝2有x0＝＋2.
可得y0＝，又直线AB方程为y＝(x－1)，代入有＝，解得p＝2.
三、解答题
8．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．导学号 64150543
(1)求证OA⊥OB；
(2)当△AOB的面积等于时， 求k的值．
[解析] (1)证明：如图所示，由方程组消去x得ky2＋y－k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由根与系数的关系知y1y2＝－1.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以y＝－x1，y＝－x2，yy＝x1x2，因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，所以OA⊥OB.
(2)解：设直线AB与x轴交于点N，显然k≠0，所以点N的坐标为(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN
＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，所以S△OAB＝·1·＝，因为S△OAB＝，所以＝，解得k＝±.
9．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．导学号 64150544
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆 F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个交公共，求坐标原点到m，n距离的比值．
[解析] (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.
因为△ABD的面积为4，
所以|BD|·d＝4，
即·2p·p＝4，
解得p＝－2(舍去)，p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知，|AD|＝|FA|＝|AB|，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得
x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.
因为m的截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
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2.4.2 抛物线的几何性质
第2课时 抛物线方程及性质的应用第二章
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的.1.点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系
(1)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内部?________.
(2)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上?________.
(3)P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)外部?________.2．在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较一、判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：
利用图形，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差，影响判断结果．
(2)代数法：
设直线l的方程为：y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．过点M(2,5)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有________条．
[答案] 3
[解析] 由题可知点M(2,5)在抛物线外，故应有2条．两条与抛物线相切，另一条与x轴平行过M点．导学号 64150517给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．导学号 64150518求过点(2,1)的直线与抛物线y2＝4x相交所得弦的中点的轨迹方程．导学号 64150519 (1)过点(0，－1)的直线与抛物线x2＝－2y公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
(2)已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．
[思路分析] 直线与抛物线联立．利用二次方程根的个数求解．直线与抛物线的位置关系 导学号 64150520题(2)中，若直线与曲线有两个不同的公共点，求a的取值范围．导学号 64150521与弦长有关的问题 导学号 64150522[思路分析] 直线与抛物线联立方程，利用弦长公式求解．(1)已知抛物线y2＝2x，点(4,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点，则直线方程是________．
(2)过点M(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被点M所平分，求弦AB所在直线的方程．导学号 64150523定点定值问题 过抛物线y2＝2x的顶点作互相垂直的弦OA、OB.
(1)求AB中点的轨迹方程；
(2)证明AB与x轴交点为定点．
[思路分析] (1)AB中点由A、B确定，而A、B由OA的斜率确定，可通过参数求轨迹方程．(2)只要写出直线AB的方程，即能看出过定点．导学号 64150524设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点O.导学号 64150525导学号 64150526[错因分析] 上述解法只考虑了直线l的斜率k存在且不为0的情况，而忽视了k不存在以及直线l平行于抛物线对称轴这两种情况．第二章 2.5
一、选择题
1．如图所示，若ab≠0且a≠b，则ax－y＋b＝0与bx2＋ay2＝ab，所表示的曲线只可能是导学号 64150559 ( )
[答案] C
[解析] 由A图可知a>0，b>0.故曲线应为椭圆，排除A.由B可知，a<0，b<0，该曲线不存在，排除B.D项可知，a<0，b>0，该曲线为双曲线，排除D.故选C.
2．若不论k为何值，直线y＝k(x－2)＋b与曲线x2－y2＝1总有公共点，则b的取值范围是导学号 64150560 ( )
A．(－，) B．[－，]
C．(－2,2) D．[－2,2]
[答案] B
[解析] 由题意可知，直线所过的定点(2，b)应在双曲线上或内部，即y2≤x2－1，∴b2≤3，∴－≤b≤.
3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是导学号 64150561 ( )
A.或 B.或
C.或 D.
[答案] B
[解析] 由焦点弦长公式|AB|＝得
＝12，∴sinθ＝.∴θ＝或π.故选B.
4．已知抛物线y2＝4x上一点P(x0，y0)，若y0∈[1,2]，则|PF|的范围是导学号 64150562 ( )
A．[，1] B．[，2]
C．[1,2] D．[2,3]
[答案] B
[解析] ∵y0∈[1,2]，∴x0∈[，1]，
由定义|PF|＝1＋x0∈[，2]．
故选B.
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是导学号 64150563 ( )
A．(1，) B．(1，)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] C
[解析] 双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝，
要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，
只要满足>2即可，
∴>2，∴>2，∴e>.
6．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程是导学号 64150564 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] D
[解析] 由c＝，得a2＋b2＝7.
∵焦点为F(，0)，
∴可设双曲线方程为－＝1，①
并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝x－1代入①并整理得
(7－2a2)x2＋2a2x－a2(8－a2)＝0，
∴x1＋x2＝－，
由已知得－＝－×2，解得a2＝2，得双曲线的方程为－＝1.
二、填空题
7．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的张长为1，则椭圆C1的方程为________．导学号 64150565
[答案] ＋x2＝1
[解析] 由题意得
∴所求的椭圆方程为＋x2＝1.
8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为______．导学号 64150566
[答案] (－9，－6)或(－9,6)
[解析] 由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，
∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．
三、解答题
9．已知双曲线的方程为x2－＝1. 导学号 64150567
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在直线的方程；
(2)以点B(1,1)为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是弦的两个端点，则有x－＝1，x－＝1.两式相减，得
(x1＋x2)(x1－x2)－＝0.①
∵A(2,1)为弦P1P2的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
代入①得4(x1－x2)＝.
∴kP1P2＝6.故直线P1P2的方程为y－1＝6(x－2)．
即6x－y－11＝0.
(2)假设这样的直线存在，同(1)可求得3x－y－2＝0.
由得6x2－12x＋7＝0.
∵Δ＝122－4×6×7<0，
∴所求直线3x－y－2＝0与双曲线x2－＝1无交点．
故假设不成立，即这样的直线不存在.
一、选择题
1．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为导学号 64150568 ( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
[答案] C
[解析] 由抛物线方程y2＝4x知焦点F(1,0)，准线x＝－1，设直线l：x＝my＋1，代入y2＝4x中消去x得，y2－4my－4＝0.
由根与系数的关系得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1>0>y2，
∵|AF|＝3|BF|，∴y1＝－3y2，
由解得y2＝－，∴y1＝2.
∴m＝＝，
∴直线l的方程为x＝y＋1.
由对称性知，这样的直线有两条．即y＝±(x－1)．
2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是导学号 64150569 ( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由已知，直线方程为x＋y－a＝0，
两渐近线为±＝0.
由得xB＝.
由得xC＝.
∵＝，∴2(xB－xA)＝xC－xB，
∴3xB＝2xA＋xC，
∴＝＋2a，解得b＝2a，
∴c2＝＝5，∴e＝.
故选C.
3．(2015·天津理，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为导学号 64150570 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] D
[解析] 双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，由点(2，)在渐近线上，所以＝，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x准线方程x＝－上，所以c＝，由此可解得a＝2，b＝，所以双曲线方程为－＝1，故选D.
4．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线导学号 64150571 ( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
[答案] B
[解析] 设该抛物线焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．
二、填空题
5．已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y≤1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为________．导学号 64150572
[答案] [2,2]
[解析] 当P在原点处时，|PF1|＋|PF2|取得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|取得最大值2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围为[2,2]．
6.＋＝1有两个动点P，Q，E(3,0)，EP⊥EQ，则·的最小值为________．
导学号 64150573
[答案] 6
[解析] 设P(x0，y0)，·＝·(－)＝||2＝(x0－3)2＋y＝(x0－3)2＋9－x＝x－6x0＋18＝[(x0－4)2－16]＋18≥6，当x0＝4时等号成立．
7．已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．导学号 64150574
[答案]
[解析] 设l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，
设l′：y＝－x＋m，由得y2＋2y－2m＝0，
由Δ＝0，得m＝－，两直线距离d＝＝.即|PQ|min＝.
三、解答题
8．过椭圆＋y2＝1的一个焦点F作直线l交椭圆于A，B两点，椭圆的中心为O，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．导学号 64150575
[解析] 过椭圆焦点F(1,0)的直线l垂直于x轴时，可知此时△AOB的面积等于.
当l不垂直x轴时，可设直线l的方程为y＝k(x－1)．因为|OF|是定值1，所以△AOB的面积可以用×1×|y1－y2|(其中y1，y2是A，B的纵坐标)来计算．
将y＝kx－k代入＋y2＝1，消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－k2＝0.
由根与系数的关系可得
(y1－y2)2＝＝2－<2.
可以看出|y1－y2|<，
此时△AOB的面积小于，所以直线l的方程为x＝1或x＝－1.
9．(2016·浙江文，19)如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1．
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围．
[解析] (1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2．
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，
可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1．
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，
由消去x得y2－4sy－4＝0，
故y1y2＝－4，所以B(，－)．
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－．
从而得直线FN：y＝－(x－1)，
直线BN：y＝－，所以N(，－)．
设M(m,0)，由A，M，N三点共线得＝，
于是m＝．
所以m<0或m>2．
经检验，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
课件62张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-1圆锥曲线与方程第二章2.5 直线与圆锥曲线第二章2．弦长公式
当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：
若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝________＝________＝________＝________.
3．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过椭圆上一点P的直线与该椭圆必有两个公共点．( )
(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条．( )
(3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切．一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离、相交和相切．相离和相切时，直线与圆锥曲线分别无公共点和有一个公共点；相交时，直线与椭圆有两个公共点，但直线与双曲线、抛物线的公共点个数可能为一个(直线与双曲线的渐近线平行时，直线与抛物线的轴平行时)或两个．2．直线与圆锥曲线的位置关系，从代数角度来看(几何问题代数化)是直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；有一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式为零时必相切，若二次项系数为零，有一组解时必相交(代数结果几何化)．
3．判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)当a≠0时，若Δ>0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ<0，则直线l与曲线C相离．
(2)当a＝0时，得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个公共点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．
注意：当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．(1)等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．0C．a>1 D．a≥1
[答案] D
[解析] 等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.导学号 64150545(2)直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2|x|(x∈R，k≠0)的公共点的个数是( )
A．－1 B．2
C．3 D．4
[答案] D二、弦长公式
1．圆锥曲线的弦
直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．若该直线通过圆锥曲线的焦点，此时得到的弦叫焦点弦．若焦点弦垂直于焦点所在的对称轴，此时焦点弦也叫通径．
2．弦长公式
若直线l与圆锥曲线F(x，y)＝0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＝2上，则弦AB的长为________．导学号 64150546三、中点弦问题的处理方法
1．中点弦问题的解法
解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种：
(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．
(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，则设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立了中点坐标和斜率的关系．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为点的弦所在的直线方程是( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
[答案] C导学号 64150547四、最值问题的求法
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值的确定等与之有关的一些问题．
在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围，最值存在的条件．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
[解析] 若直线斜率不存在，则y＋y＝32；若直线斜率存在，则设直线AB的斜率为k，当k＝0，直线AB的方程为y＝0，不合题意，故k≠0.导学号 64150548五、定点、定值问题
定点、定值是在变化过程中表现出来的不变的量，解决这类问题的基本思想是函数思想．可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量影响的某个点或某个值，就是要求的定点或定值．具体处理方法有以下两种：
(1)从特殊关系入手，求出定点或定值，再证明这个定(值)与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(定值)．设A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上两动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，证明直线AB恒过定点．导学号 64150549 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
[思路分析] 只需将两方程联立，求方程组解的个数即可．直线与圆锥曲线交点的个数 导学号 64150550导学号 64150551弦长问题 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
[思路分析] 用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要是一元二次方程根的判别式Δ≥0.导学号 64150552导学号 64150553中点弦问题 导学号 64150554即x2＋2y2－4y＝0.
当x1＝x2时，P点为(0,0)，P点的坐标仍适合方程x2＋2y2－4y＝0.
综上所述，P点的轨迹方程为x2＋2y2－4y＝0.
[方法总结] 本题采用的是设点作差的方法，常称为点差法，点差法的要点是用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A、B的坐标，常用来解决与弦中点有关的问题．主要有三种类型：平行弦中点的轨迹；过定点的弦中点的轨迹；过定点且被该定点平分的弦所在的直线的方程．在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
[分析] 由A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，可设直线AB的方程为x＝－ky＋m，且由A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，可得m与k的等量关系，而直线与抛物线有两个交点，所以Δ>0，可得m与k的不等式．导学号 64150555圆锥曲线中定点、定值及最值问题 导学号 64150556已知双曲线x2－y2＝1，动直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．求k的取值范围，并求x2－x1的最小值．导学号 64150557导学号 64150558[错因分析] 上述解法在设直线方程时，只考虑到斜率存在的情况，而没有验证直线斜率不存在，即直线与x轴垂直的情况．
当直线斜率不存在时，点(1,0)就是弦的中点，把点(1,0)的坐标带入方程4x2＋9y2－4x＝0得该点满足方程．所以弦的中点轨迹方程为4x2＋9y2－4x＝0.
[思路分析] 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，不应忽略直线斜率不存在的情况.