第三章 3.1 第1课时
一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足导学号 96660439 ( )
A．Δx＜0 B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[答案] D
[解析] 自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．函数在某一点的导数是导学号 96660440 ( )
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析] 由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
3．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为导学号 96660441 ( )
A．4＋4t0 B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t
[答案] C
[解析] Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
＝4Δt＋4＋8t0， ＝ (4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
4．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝导学号 96660442 ( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
[答案] D
[解析] 当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，因变量y的改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
5．函数y＝3x2在x＝1处的导数为导学号 96660443 ( )
A．2 B．3
C．6 D．12
[答案] C
[解析] f′(1)＝
＝ ＝6.
6．若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于
导学号 96660444 ( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
[答案] C
[解析] ＝＝4＋2Δx.
二、填空题
7．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．导学号 96660445
[答案] 8
[解析] ＝＝8.
8．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于____．导学号 96660446
[答案] 2
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，
＝a，
∴ ＝a，∴f′(1)＝a＝2.
三、解答题
9．若函数f(x)在x＝a处的导数为A，导学号 96660447
求 的值．
[解析] ∵ ＝A，
∴ ＝A(用－Δx替换Δx)．
∴
＝·
＝[ ＋ ]
＝[A＋ ](当Δx→0时，－Δx→0)＝(A＋A)＝A.
一、选择题
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a、b为常数)，则导学号 96660448 ( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
[答案] C
[解析] ＝＝a＋bΔx，
f′(x0)＝li ＝a.
2．如果函数f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是导学号 96660449 ( )
A. B.
C．1 D．3
[答案] A
[解析] ＝＝＝，所以f′(x0)＝ ＝＝，所以x0＝.
3．设f(x)在x＝2处有导数，则 等于导学号 96660450 ( )
A．2f′(2) B.f′(2)
C．f′(2) D．4f′(2)
[答案] C
[解析] f′(2)＝
＝ ，所以
＝
＝( ＋ )
＝(f′(2)＋f′(2))＝f′(2)．
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是导学号 96660451 ( )
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
二、填空题
5．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．导学号 96660452
[答案] π
[解析] ∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴V′＝＝＝π.
6．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则 ＝________.导学号 96660453
[答案] 8
[解析] ＝2
＝2f′(x0)＝8.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：
导学号 96660454
(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．
[解析] (1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝－2.
8．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，那么在哪一点附近的平均变化率最大？导学号 96660455
[解析] 在x＝1附近的平均变化率为：
k1＝＝＝2＋Δx.
在x＝2附近的平均变化率为：
k2＝＝＝4＋Δx.
在x＝3附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.
若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，
k3＝6＋＝.
由于k19．用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．导学号 96660456
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－＝
＝
∴＝，
∴li ＝li
＝＝－，
∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.
