集合间的相互关系 练习
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集合间的相互关系20160702
解答题（共12小题）
1．已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}．若B A，求实数k的取值范围．
2．设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M [0，3]，求实数a的取值范围．
3．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
4．设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M [1，4]，求实数a的范围．
5．若集合A={x|x2﹣x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，B A，求a的值．
6．已知A={x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}，B={x|＜0}，A B，求a的取值范围．
7．已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M N，求实数a的取值范围．
8．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+ax+a+3=0}，若B A，求实数a的取值范围．
9．设集合A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B A，求实数m的取值范围．
10．设A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣2ax+a+2＜0}
（1）用区间表示A；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
11．已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B A，求实数a的取值范围．
12．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．
集合间的相互关系20160702
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．（2016春 三峡区期中）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}．若B A，求实数k的取值范围．
【分析】化简集合A=[1，4]，结合B A分类讨论B= 与B≠ ，从而分别解出即可．
【解答】解：A=[1，4]．由B A，
当B= 时，△=81﹣8k＜0，
解得k＞．
当B≠ 时，B A等价于2x2﹣9x+k=0的两根均在[1，4]内，
设f（x）=2x2﹣9x+k．
由实根分布可得，
解得7≤k≤．
综上，实数k的范围为[7，]．
2．（2015 张家港市校级模拟）设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M [0，3]，求实数a的取值范围．
【分析】当M [0，3]，通过f（0）≥0，且f（3）≥0，以及对应的二次函数的对称轴的范围，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：设y=x2+2（1﹣a）x+3﹣a，其开口向上，
那么满足y=x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0的x的取值，
即为使二次函数的图象在x轴下方的x的取值范围，
也就是二次函数与x轴交点之间的部分，
当M包含于[0，3]时，
二次函数与x轴两交点之间的部分，或M为空集，应包含于区间[0，3]之间，
即两交点都在[0，3]之间，
可知
f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a﹣1≤3
f（0）=3﹣a≥0，a≤3
f（3）=9+6（1﹣a）+（3﹣a）=18﹣7a≥0，a≤，
0≤a﹣1≤3 1≤a≤4，
当判别式△＜0，即4（1﹣a）2﹣4（3﹣a）＜0，
解得﹣1＜a＜2时，M为空集．
综上﹣1≤a≤．
3．（2015 源汇区校级一模）设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
【分析】先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．
【解答】解：A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，
∵A∩B=B知，B A，
∴B={0}或B={﹣4}或B={0，﹣4}或B= ，
若B={0}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根0，则，∴a=﹣1，
若B={﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根﹣4，则，∴a无解，
若B={0，﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个不相等的根0和﹣4，则，∴a=1，
当B= 时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0无实数根，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，得a＜﹣1，
综上：a=1，a≤﹣1．
4．（2015 天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M [1，4]，求实数a的范围．
【分析】M [1，4]有两种情况：其一是M= ，此时△＜0；其二是M≠ ，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．
【解答】解：M [1，4]有两种情况：其一是M= ，此时△＜0；其二是M≠ ，此时△=0或△＞0，
分三种情况计算a的取值范围．
设f
（x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）
（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M= [1，4]．…（3分）
（2）当△=0时，a=﹣1或2．
当a=﹣1时，M={﹣1} [1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2} [1，4]．…（6分）
（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．
设方程f
（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，
那么M=[x1，x2]，由M [1，4]可得
1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f
（x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）
∴，解得2＜a≤．…（10分）
综上可得，M [1，4]时，a的取值范围是
（﹣1，]．…（12分）
5．（2015秋 哈尔滨校级期末）若集合A={x|x2﹣x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，B A，求a的值．
【分析】先化简集合，再由子集的关系求解．
【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6=0}={3，﹣2}
∵B A，
∴（1）B= 时，a=0
（2）当B={3}时，a=﹣
（3）当B={﹣2}时，a=
综上所述：a的值为0或﹣或．
6．（2015春 建瓯市校级期末）已知A={x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}，B={x|＜0}，A B，求a的取值范围．
【分析】解分式不等式求出集合B，然后根据A B，对a的取值进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：∵A={x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x+a）＜0}，
B={x|＜0}=（﹣1，2）…（4分）
①若3a=﹣a即a=0，则A= ，A B，符合题意；…（6分）
②若3a＞﹣a即a＞0，则A=（﹣a，3a），
要使A B，只须满足，∴；…（9分）
③若3a＜﹣a即a＜0，则A=（3a，﹣a），
要使A B，只须满足，
∴；
综合①②③，可得．…（12分）
7．（2015春 福州校级期末）已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M N，求实数a的取值范围．
【分析】需要分类讨论：a+1＜0、a+1=0、a+1＞0三种情况下的集合M是否符合题意，由此求得a的取值范围．
【解答】解：由已知得N={x|﹣3≤x≤1}，M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，由已知M N，得
①当a+1＜0即a＜﹣1时，集合M={x|a+1＜x＜0}．
要使M N成立，只需﹣3≤a+1＜0，解得﹣4≤a＜﹣1；
②当a+1=0即a=﹣1时，M= ，显然有M N，所以a=﹣1符合题意．
③当a+1＞0即a＞﹣1时，集合M={x|0＜x＜a+1}．
要使M N成立，只需0＜a+1≤1，解得﹣1＜a≤0，
综上所述，所以a的取值范围是[﹣4，0]．
8．（2015秋 吉安校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+ax+a+3=0}，若B A，求实数a的取值范围．
【分析】先确定集合A的元素，利用B A，确定a的取值．
【解答】解：因为A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，所以要使B A，则有
①若B= ，则△=a2﹣4（a+3）＜0，即a2﹣4a﹣12＜0，解得﹣2＜a＜6．
②若B≠ ，则B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B={1}，则，即，此时a=﹣2．
若B={2}，则，即，此时方程组无解．
若B={1，2}．则，此时方程组无解．
综上﹣2≤a＜6．
9．（2015秋 贵溪市校级期中）设集合A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B A，求实数m的取值范围．
【分析】分集合B为空集和非空集合两种情况讨论，然后根据集合间的包含关系分别列出不等式组求解，最后两种情况下的结果取并集．
【解答】解：由题意得：
当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，集合B= ，结论显然成立；
当B≠ 时，只需成立，解得2≤m≤3．
综上，所求m的范围是（﹣∞，3]．
10．（2015秋 白山校级期中）设A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣2ax+a+2＜0}
（1）用区间表示A；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化简A={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}=[1，4]，
（2）设f（x）=x2﹣2ax+a+2，从而讨论B是否是空集即可．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣5x+4≤0}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}=[1，4]，
（2）设f（x）=x2﹣2ax+a+2，
若B= ，则△=4a2﹣4（a+2）≤0，
∴a2﹣a﹣2≤0，
∴﹣1≤a≤2；
若B≠ ，则，
解得，2＜a≤；
综上所述，a∈[﹣1，]；
11．（2015秋 乐陵市校级期中）已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B A，求实数a的取值范围．
【分析】要分B等于空集和不等于空集两种情况．再根据B A求出a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，B A，
∴B= 时，a≥2a﹣2，∴a≤2；
B≠ 时，….6
∴2＜a≤5….10
综上述得a的取值范围为{a|a≤5}…12
12．（2015秋 桃江县校级期中）已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．
【分析】解一元二次方程求得集合A，由B是A的非空子集，分类讨论，分别求出实数a的取值．
【解答】解：由已知，A={﹣2，4}．
∵B是A的非空子集，∴B={﹣2}或{4}或{﹣2，4}．
若B={﹣2}，则有，解得：a=4；
若B={4}，则有，解得a∈ ；
若B={﹣2，4}，由韦达定理可得，解得a=﹣2
综上，所求实数a的值为﹣2或4．
解答题（共12小题）
1．已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}．若B A，求实数k的取值范围．
2．设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M [0，3]，求实数a的取值范围．
3．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
4．设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M [1，4]，求实数a的范围．
5．若集合A={x|x2﹣x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，B A，求a的值．
6．已知A={x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}，B={x|＜0}，A B，求a的取值范围．
7．已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M N，求实数a的取值范围．
8．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+ax+a+3=0}，若B A，求实数a的取值范围．
9．设集合A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B A，求实数m的取值范围．
10．设A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣2ax+a+2＜0}
（1）用区间表示A；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
11．已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B A，求实数a的取值范围．
12．已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．
集合间的相互关系20160702
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．（2016春 三峡区期中）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}．若B A，求实数k的取值范围．
【分析】化简集合A=[1，4]，结合B A分类讨论B= 与B≠ ，从而分别解出即可．
【解答】解：A=[1，4]．由B A，
当B= 时，△=81﹣8k＜0，
解得k＞．
当B≠ 时，B A等价于2x2﹣9x+k=0的两根均在[1，4]内，
设f（x）=2x2﹣9x+k．
由实根分布可得，
解得7≤k≤．
综上，实数k的范围为[7，]．
2．（2015 张家港市校级模拟）设集合M={x|x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0，x∈R}，M [0，3]，求实数a的取值范围．
【分析】当M [0，3]，通过f（0）≥0，且f（3）≥0，以及对应的二次函数的对称轴的范围，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：设y=x2+2（1﹣a）x+3﹣a，其开口向上，
那么满足y=x2+2（1﹣a）x+3﹣a≤0的x的取值，
即为使二次函数的图象在x轴下方的x的取值范围，
也就是二次函数与x轴交点之间的部分，
当M包含于[0，3]时，
二次函数与x轴两交点之间的部分，或M为空集，应包含于区间[0，3]之间，
即两交点都在[0，3]之间，
可知
f（0）≥0，f（3）≥0，且0≤a﹣1≤3
f（0）=3﹣a≥0，a≤3
f（3）=9+6（1﹣a）+（3﹣a）=18﹣7a≥0，a≤，
0≤a﹣1≤3 1≤a≤4，
当判别式△＜0，即4（1﹣a）2﹣4（3﹣a）＜0，
解得﹣1＜a＜2时，M为空集．
综上﹣1≤a≤．
3．（2015 源汇区校级一模）设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
【分析】先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．
【解答】解：A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，
∵A∩B=B知，B A，
∴B={0}或B={﹣4}或B={0，﹣4}或B= ，
若B={0}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根0，则，∴a=﹣1，
若B={﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根﹣4，则，∴a无解，
若B={0，﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个不相等的根0和﹣4，则，∴a=1，
当B= 时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0无实数根，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，得a＜﹣1，
综上：a=1，a≤﹣1．
4．（2015 天津校级模拟）设不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，若M [1，4]，求实数a的范围．
【分析】M [1，4]有两种情况：其一是M= ，此时△＜0；其二是M≠ ，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，再取并集，即得所求．
【解答】解：M [1，4]有两种情况：其一是M= ，此时△＜0；其二是M≠ ，此时△=0或△＞0，
分三种情况计算a的取值范围．
设f
（x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．…（2分）
（1）当△＜0时，﹣1＜a＜2，M= [1，4]．…（3分）
（2）当△=0时，a=﹣1或2．
当a=﹣1时，M={﹣1} [1，4]，故舍去．
当a=2时，M={2} [1，4]．…（6分）
（3）当△＞0时，有a＜﹣1或a＞2．
设方程f
（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，
那么M=[x1，x2]，由M [1，4]可得
1≤x1＜x2≤4，故应有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f
（x）=0的对称轴x=a∈[1，4]，即，…（8分）
∴，解得2＜a≤．…（10分）
综上可得，M [1，4]时，a的取值范围是
（﹣1，]．…（12分）
5．（2015秋 哈尔滨校级期末）若集合A={x|x2﹣x﹣6=0}，B={x|ax+1=0}，B A，求a的值．
【分析】先化简集合，再由子集的关系求解．
【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6=0}={3，﹣2}
∵B A，
∴（1）B= 时，a=0
（2）当B={3}时，a=﹣
（3）当B={﹣2}时，a=
综上所述：a的值为0或﹣或．
6．（2015春 建瓯市校级期末）已知A={x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}，B={x|＜0}，A B，求a的取值范围．
【分析】解分式不等式求出集合B，然后根据A B，对a的取值进行分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：∵A={x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x+a）＜0}，
B={x|＜0}=（﹣1，2）…（4分）
①若3a=﹣a即a=0，则A= ，A B，符合题意；…（6分）
②若3a＞﹣a即a＞0，则A=（﹣a，3a），
要使A B，只须满足，∴；…（9分）
③若3a＜﹣a即a＜0，则A=（3a，﹣a），
要使A B，只须满足，
∴；
综合①②③，可得．…（12分）
7．（2015春 福州校级期末）已知集合M={x|x2＜（a+1）x}，N={x|x2+2x﹣3≤0}，若M N，求实数a的取值范围．
【分析】需要分类讨论：a+1＜0、a+1=0、a+1＞0三种情况下的集合M是否符合题意，由此求得a的取值范围．
【解答】解：由已知得N={x|﹣3≤x≤1}，M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，由已知M N，得
①当a+1＜0即a＜﹣1时，集合M={x|a+1＜x＜0}．
要使M N成立，只需﹣3≤a+1＜0，解得﹣4≤a＜﹣1；
②当a+1=0即a=﹣1时，M= ，显然有M N，所以a=﹣1符合题意．
③当a+1＞0即a＞﹣1时，集合M={x|0＜x＜a+1}．
要使M N成立，只需0＜a+1≤1，解得﹣1＜a≤0，
综上所述，所以a的取值范围是[﹣4，0]．
8．（2015秋 吉安校级期中）已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+ax+a+3=0}，若B A，求实数a的取值范围．
【分析】先确定集合A的元素，利用B A，确定a的取值．
【解答】解：因为A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，所以要使B A，则有
①若B= ，则△=a2﹣4（a+3）＜0，即a2﹣4a﹣12＜0，解得﹣2＜a＜6．
②若B≠ ，则B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B={1}，则，即，此时a=﹣2．
若B={2}，则，即，此时方程组无解．
若B={1，2}．则，此时方程组无解．
综上﹣2≤a＜6．
9．（2015秋 贵溪市校级期中）设集合A={x|2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B A，求实数m的取值范围．
【分析】分集合B为空集和非空集合两种情况讨论，然后根据集合间的包含关系分别列出不等式组求解，最后两种情况下的结果取并集．
【解答】解：由题意得：
当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，集合B= ，结论显然成立；
当B≠ 时，只需成立，解得2≤m≤3．
综上，所求m的范围是（﹣∞，3]．
10．（2015秋 白山校级期中）设A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣2ax+a+2＜0}
（1）用区间表示A；
（2）若B A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）化简A={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}=[1，4]，
（2）设f（x）=x2﹣2ax+a+2，从而讨论B是否是空集即可．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣5x+4≤0}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}=[1，4]，
（2）设f（x）=x2﹣2ax+a+2，
若B= ，则△=4a2﹣4（a+2）≤0，
∴a2﹣a﹣2≤0，
∴﹣1≤a≤2；
若B≠ ，则，
解得，2＜a≤；
综上所述，a∈[﹣1，]；
11．（2015秋 乐陵市校级期中）已知集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，若满足B A，求实数a的取值范围．
【分析】要分B等于空集和不等于空集两种情况．再根据B A求出a的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜8}，集合B={x|a＜x＜2a﹣2}，B A，
∴B= 时，a≥2a﹣2，∴a≤2；
B≠ 时，….6
∴2＜a≤5….10
综上述得a的取值范围为{a|a≤5}…12
12．（2015秋 桃江县校级期中）已知A={x∈R|x2﹣2x﹣8=0}，B={x∈R|x2+ax+a2﹣12=0}，B是A的非空子集，求实数a的值．
【分析】解一元二次方程求得集合A，由B是A的非空子集，分类讨论，分别求出实数a的取值．
【解答】解：由已知，A={﹣2，4}．
∵B是A的非空子集，∴B={﹣2}或{4}或{﹣2，4}．
若B={﹣2}，则有，解得：a=4；
若B={4}，则有，解得a∈ ；
若B={﹣2，4}，由韦达定理可得，解得a=﹣2
综上，所求实数a的值为﹣2或4．