第一章 1.1
一、选择题
1．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有( )
导学号98570011
A．8种 B．12种
C．16种 D．20种
[答案] B
[解析] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类．若选ABCD和A1B1C1D1两个面，另一个面可以是ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和ADD1A1中的一个，有4种．同理选另外相对的2个面也有4种．所以共有4×3＝12(种)．
2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或者不亮灯，则共可以发出的不同信号有( )种导学号98570012
A．25 B．52
C．35 D．53
[答案] C
3．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方案有( )
导学号98570013
A．8 B．15
C．125 D．243
[答案] D
4．用0、1、…、9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
导学号98570014
A．243 B．252
C．261 D．279
[答案] B
[解析] 用0,1，…，9十个数字，可以组成的三位数的个数为9×10×10＝900，其中三位数字全不相同的为9×9×8＝648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.
5．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系中，第一、第二象限不同点的个数为( ) 导学号98570015
A．18 B．16
C．14 D．10
[答案] C
[解析] 可分为两类．
以集合M中的元素做横坐标，N中的元素做纵坐标，集合M中取一个元素的方法有3处，要使点在第一、第二象限内，则集合N中只能取5、6两个元素中的一个有2种．根据分步计数原理有3×2＝6(个)．
以集合N的元素做横坐标，M的元素做纵坐标，集合N中任取一元素的方法有4种，要使点在第一、第二象限内，则集合M中只能取1、3两个元素中的一个有2种，根据分步计数原理，有4×2＝8(个)．
综合上面两类，利用分类计数原理，共有6＋8＝14(个)．故选C.
6．(2015·潍坊高二检测)某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有( ) 导学号98570016
A．510种 B．105种
C．50种 D．以上都不对
[答案] A
[解析] 任何一个乘客可以在任一车站下车，且相互独立，所以每一个乘客下车的方法都有5种，由分步计数原理知N＝510.故选A.
7．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示不同的值的个数是( )
导学号98570017
A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3
C．2×3＝6 D．3×3＝9
[答案] D
[解析] 由分步计数原理N＝3×3＝9(种)．故选D.
二、填空题
8．已知a∈{3,4,5}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为____________个．导学号98570018
[答案] 24
[解析] 确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步计数原理知N＝3×4×2＝24(个)．
9．用数字1,2,3组成三位数．导学号98570019
(1)假如数字可以重复，共可组成____________个三位数；
(2)其中数字不重复的三位数共有____________个；
(3)其中必须有重复数字的有____________个．
[答案] (1)27 (2)6 (3)21
[解析] (1)排成数字允许重复的三位数，个位、十位、百位都有3种排法，∴N＝33＝27(个)．
(2)当数字不重复时，百位排法有3种，十位排法有两种，个位只有一种排法，∴N＝3×2×1＝6(个)(也可先排个位或十位)．
(3)当三数必须有重复数字时分成两类：
三个数字相同，有3种，只有两个数字相同，有3×3×2＝18(个)，
∴N＝3＋18＝21(个)．
三、解答题
10．某文艺小组有20人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中14人会唱歌，10人会跳舞．从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同选法？导学号98570020
[解析] 只会唱歌的有10人，只会跳舞的有6人，既会唱歌又会跳舞的有4人．这样就可以分成四类完成：
第一类：从只会唱歌和只会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×6＝60(种)；
第二类：从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得10×4＝40(种)；
第三类：从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选1人，用分步乘法计数原理得6×4＝24(种)；
第四类：从既会唱歌又会跳舞的人中选2人，有6种方法．
根据分类加法计数原理，得出会唱歌与会跳舞的各选1人的选法共有60＋40＋24＋6＝130(种)．
一、选择题
1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) 导学号98570021
A．125 B．15
C．100 D．10
[答案] C
[解析] 由二次函数的定义知a≠0.∴选a的方法有4种．选b与c的方法都有5种．只有a、b、c都确定后，二次函数才确定．故由乘法原理知共有二次函数4×5×5＝100个．故选C.
2．满足a、b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( ) 导学号98570022
A．14 B．13
C．12 D．10
[答案] B
[解析] ①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，
∴(a，b)的取值有4个．
②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.
a＝－1时，b的取值有4个，
a＝1时，b的取值有3个，
a＝2时，b的取值有2个．
∴(a，b)的取法有9个．
综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．
3．(2016·全国卷Ⅱ理，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18
C．12 D．9
[答案] B
[解析] 由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.
二、填空题
4．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1,2,3,4,5,6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的积的结果有____________种．导学号98570024
[答案] 5
[解析] 第1个正方体向上的面标有的数字必大于等于4.如果是3，则3与第二个正方体面上标有数字最大者6的积3×6＝18＜20，
4×5＝5×4＝20,4×6＝6×4＝24,5×5＝25，
5×6＝6×5＝30,6×6＝36，
以上积的结果为20,24,25,30,36共五种．
5．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种．导学号98570025
[答案] 12
[解析] 第一类：第1垄种植作物A，B作物种植在第8,9,10垄中的任一垄，有3种选法；
第二类：第2垄种植A作物，B作物种植在第9,10垄中的任一垄，有2种选法；
第三类：第3垄种植A作物，B作物种植在第10垄中，有1种选法；
第四类：第8垄种植A作物，B作物种植在第1垄，有1种选法；
第五类：第9垄种植A作物，B作物种植在第1,2垄中的任一垄，有2种选法；
第六类：第10垄种植A作物，B作物种植在第1,2,3垄中的任一垄，有3种选法．
由分类加法计数原理，共有3＋2＋1＋1＋2＋3＝12种不同的方法．
三、解答题
6．若x，y∈N＋，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．导学号98570026
[解析] 按x的取值进行分类，x＝1时，y＝1,2，…，5，共构成5个有序自然数对．x＝2时，y＝1,2，…，4，共构成4个有序自然数对．
……
x＝5时，y＝1共构成1个有序自然数对，根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对．
7．设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，其中a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3,4,5,6,7}，求满足上述条件的椭圆的个数．导学号98570027
[解析] 因为椭圆的焦点在y轴上，所以b＞a.
则当a＝1时，b可取2,3,4,5,6,7，有6种取法；
当a＝2时，b可取3,4,5,6,7，有5种取法；
当a＝3时，b可取4,5,6,7，有4种取法；
当a＝4时，b可取5,6,7，有3种取法；
当a＝5时，b可取6,7，有2种取法．
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．
8．(2015·锦州期中)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的有3人．导学号98570028
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
[解析] 从O型血的人中选1人有28种不同的选法．从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选择哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-3 计数原理第一章上海影城是国内和东南亚最大的影城之一，共有几座风格各异的电影放映厅，SR立体声音响效果撼人．第一放映厅：红色基调热烈辉煌，银幕宽22米，高10.5米．上海影城建筑风格独特典雅，环境恢宏气派，功能设施齐全，作为世界12大A类电影节之一——上海国际电影节的主会场，已成为上海标志性的文化建筑．
某次电影展，有12部参赛影片，影展组委会要在两天内在某一影院播映这12部电影，每天6部，其中有2部电影要求不在同一天放映，共有多少种不同的排片方案？1.1 基本计数原理第一章课时随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则：
(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？
(2)这3人的值班顺序中，甲在乙之前的排法有多少种？
答案：(1)3个人值班的顺序所有可能的情况如下图所示．
甲乙丙丙乙 乙甲丙丙甲 丙甲乙乙甲
由上图知，所有不同的排列顺序共有6种．
(2)由上图知，甲排在乙之前的排法有3种．一、分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。
应用分类加法计数原理要注意的问题：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．
(2)完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．
(3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数是( )
A．50 B．26
C．24 D．616
[答案] A
[解析] 选一位同学或者选男生，或者选女生，用加法原理完成．导学号98570000二、分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同方法，做第二个步骤有m2种不同方法……做第n个步骤有mn种不同方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
应用分步乘法计数原理要注意的问题：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．
(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．
(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是( )
A．8 B．7
C．11 D．12
[答案] D
[解析] 从一个门进有4种选择，从另一个门出有3种选择，共有4×3＝12(种)走法．导学号98570001三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系
(1)共同点：两个原理都是把一个事件分解成若干个事件来完成．
(2)不同点：分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关．具体讲解如下——如果完成一件事情有n类方案，这些方案彼此之间相互独立，无论哪一类方案中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理，如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数，就用分步乘法计数原理．
应用两个计算数原解决问题时应注意的问题：
在解决简单问题时，首先要弄清是分类．还是“分步”．判断的主要方法是结合题目中的条件及结论，研究题中涉及的方法能否独立完成任务，若能独立完成，则用分类加法计数原理解决，在此种方法中应注意各类方法不重不漏；若所涉及方法不能单独完成任务，则用分步乘法计数原理解决，在此种方法中要合理设计步骤、顺序，各步互不干扰．然后，利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理的公式解决．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？
[解析] 由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类：
(1)“多面手”入选，则有6＋2＝8(种)选法；
(2)“多面手”不入选，则有6×2＝12(种)选法．
因此选法共有8＋12＝20(种)．导学号98570002
四、涂色问题
涂色问题是指用几种不同颜色给已知图形的区域涂色，共有几种涂色法的问题．
①图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题，在高考中经常出现，处理这类问题的关键是弄清题意，找准分类标准．
②关注图形特征．区域的个数、区域间的相邻情况、图形形状，都有可能使分类的标准、分类的过程不同．
③关注几种颜色，题中要求什么条件．若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步．
④注意前后分类标准一致，不重不漏，分步要仔细，考虑全面．
⑤涂色问题大致有两种方案：
1°选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算。
2°首先根据涂色时所用色数的多少，进行分类处理，然后在每一类的涂色方案的计算上需要用到分步乘法计数原理．最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为( )
A．96 B．84
C．60 D．48
[答案] B导学号98570003
[解析] A有4种不同种法；
B有3种不同种法；
对于C可分为两类，若C与A种相同的花，则D有3种不同种法；若C与A种不同的花，则C有3种不同种法，D也有2种不同种法．
所以共有4×3×(3＋2×2)＝84(种)不同的种法．故选B. 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示，那么，这名同学可能的专业选择有多少种？分类加法计数原理 导学号98570004[分析] 由于这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．
[解析] 这名同学可以选择A，B两所大学的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5＋4＝9(种)．
[方法总结] 使用分类加法计数原理时，要根据问题的特点确定一个分类的标准．高三·一班有学生50人，男30人，女20人；高三·二班有学生60人，男30人，女30人；高三·三班有学生55人，男35人，女20人．
(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？
[解析] (1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有165种．
(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种.导学号98570005 某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？
[分析] 解答本题可按分步乘法计数原理，每一步从不同型号电视机中选择一点，各步执行完成后，各步的方法数相乘即可．分步乘法计数原理的应用 导学号98570006[解析] 完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成：
第一步：从甲种型号中选一台，有10种不同的方法；
第二步：从乙种型号中选一台，有8种不同的方法；
第三步：从丙种型号中选一台，有12种不同的方法；
根据分步乘法计数原理，得10×8×12＝960(种)．
因此共有960种不同的方法．
[方法总结] 利用分步乘法计数原理解题时，首先要确定一个可行的分步标准，其次，还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
[解析] 第一步，从30名男生中选出1人，有30种不同的选法；
第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法．
根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选法．导学号98570007 现有高一四个班学生34个，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
[分析] (1)是从四个班的34人中选一人，应分类求解，(2)是从各班中选一人，共选4人，应分步求解，(3)是先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选1人．两个计数原理的综合应用 导学号98570008
[解析] (1)分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法
N＝7＋8＋9＋10＝34种．
(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040种．(3)分六类，每类又分两步；从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、 四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种．
[方法总结] 对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类．导学号98570009 4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？
[错解] 错解1：第一步，第1位同学去夺这3项冠军，有可能1项都不夺或夺1项、2项、3项，因此有4种不同的情况；
第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；
第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；
同理第3位、第4位同学也各有4种不同的情况．
由分步乘法计数原理，共有4×4×4×4＝44＝256种不同的情况．导学号98570010错解2：第一步，第1位同学去争冠军，有3种不同的情况；
第二步，第2位同学去争冠军，也有3种不同的情况；
同理第3位、第4位同学也各有3种不同的情况．
由分步乘法计算原理，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的情况．
[辨析] 完成夺取冠军这件事，即每项冠军都有人夺取．错解1中可能有4位同学都不得冠军以及1项冠军不止1人获得这种情况，与题意不符；错解2中可能有1项冠军不止1人获得这种情况，也不符合题意．
[正解] 可分三步完成，第一项冠军被4名同学争夺，一定是其中1名而且只能是其中一名同学获得，共有4种不同的情况；同理其余2项冠军分被4名同学中的1名获得，各有4种不同的情况．由分步乘法计算原理，共有4×4×4＝43＝64种不同的夺得冠军的情况．第一章 1.2 第1课时
一、选择题
1.等于( )导学号98570042
A．12 B．24
C．30 D．36
[答案] D
[解析] A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) 导学号98570043
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
[答案] B
[解析] 分两类：最左端排甲有A＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有AA＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．
3．若A－A＝n！·126(n∈N＋)，则n等于( ) 导学号98570044
A．4 B．5
C．6 D．5或6
[答案] D
[解析] 本题不易直接求解，可考虑用代入验证法．故选D.
4．(2015·抚顺高二检测)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( )种( ) 导学号98570045
A．720 B．360
C．240 D．120
[答案] C
[解析] 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A种排法，但甲、乙两人有A种排法，由分步计数原理可知：
共有A·A＝240种不同的排法．故选C.
5．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有多少种( ) 导学号98570046
A．144 B．90
C．260 D．120
[答案] A
[解析] 3名女生先排好，有A种排法，让3个男生去插空，有A种方法，故共有A·A＝144种．故选A.
6．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为( ) 导学号98570047
A．A B．A
C．A D．A
[答案] A
[解析] 把3个空位看作一个元素与3辆汽车共4个元素全排列．故选A.
7．6个人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为( )
导学号98570048
A．720 B．144
C．576 D．684
[答案] C
[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A－AA＝576.故选C.
二、填空题
8．(2015·广东理，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 导学号98570049
[答案] 1 560
[解析] 同学两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560条毕业留言．
9．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有____________种．导学号98570050
[答案] 20
三、解答题
10．(1)从4名学生中选出两名参加数学竞赛，共有多少种选法？导学号98570051
(2)从4名学生中选出两名担任班长和副班长，共有多少种选法？
[解析] (1)因为被选出的两名学生选出后没有顺序，所以不是排列问题．设四名学生分别为A，B，C，D，则可能选AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种选法．
(2)因为从4名同学中选出两名当班长和副班长是有顺序的，因此符合排列条件，可用排列数公式计算：有A＝4×3＝12(种)不同的选法．
一、选择题
1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
导学号98570052
A．144 B．120
C．72 D．24
[答案] D
[解析] 就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A＝24种不同坐法，故选D.
2．为了迎接2015年长春城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5s.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( ) 导学号98570053
A．1 205s B．1 200s
C．1 195s D．1 190s
[答案] C
[解析] 由题意每次闪烁共5s，所以不同的闪烁为A＝120s，而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A＋(A－1)×5＝1 195s.
说明：本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力．
3．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( ) 导学号98570054
A．108种 B．186种
C．216种 D．270种
[答案] B
[解析] (间接法)考虑“至少有1名女生”的对立事件“全部为男生”则有A＝24种方案，
不考虑男女差异则共有A＝210种方案，
∴“至少有1名女生”有210－24＝186种选派方案．故选B.
二、填空题
4．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．导学号98570055
[答案] 448
[解析] 千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2,0)，(3,1)…(9,7)前一个数为千位数字，后一个数为个位数字．其余两位无任何限制．
∴共有8A＝448个．
5．航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．
导学号98570056
[答案] 36
[解析] ∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2A＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体，甲中间，有AA＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．
三、解答题
6．解方程：3A＝2A＋6A.导学号98570057
[解析] 原方程可化为3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，∴x＝5.
7．某校为庆祝2015年教师节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：导学号98570058
(1)3个舞蹈节目互不相邻；
(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．
[解析] (1)先安排4个小品节目，有A种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，共有A种排法，
∴共有A·A＝1 440(种)排法．
(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈排在2,4,6位，安排时可分步进行．
解法1：先安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A种排法；再安排舞蹈节目在2,4,6位，有A种排法，故共有A·A＝144(种)排法．
解法2：先安排3个舞蹈节目在2,4,6位，有A种排法；再安排4个小品节目在1,3,5,7位，共A种排法，故共有A·A＝144(种)排法．
8．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？
导学号98570059
(1)六位数且是奇数；
(2)个位上的数字不是5的六位数；
(3)不大于4310的四位数且是偶数．
[解析] (1)方法一：从特殊位置入手(直接法)．第一步：排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法；第二步：排十万位，有A种排法；第三步：排其他位，有A种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个)．
方法二：从特殊元素入手(直接法).0不在两端有A种排法；从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；其他数字全排列有A种排法．故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个)．
方法三：(排除法)6个数字全排列有A种排法；0,2,4，在个位上的排列有3A个；1,3,5在个位上且0在十万位上的排有3A个，故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的有A－3A－3A＝288(个)．
(2)方法一：(排除法)0在十万位上的排列，5在个位上的排列都不是符合题意的6位数，故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
方法二：(直接法)十万位上的数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因而分两类．
第一类：当个位上排0时，有A种排法；
第二类：当个位上不排0时，有AAA种排法．
故符合题意的六位数共有A＋AAA＝504(个)．
(3)当千位上排1,3时，有AAA种排法；
当千位上排2时，有AA种排法；
当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A个，形如41××的偶数有AA个，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数满足题意．
故不大于4310的四位数且是偶数的共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)．
课件49张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-3 计数原理第一章1.2 排列与组合 第一章 第1课时 排列2014年教师节，习近平主席来到北师大视察，听完一节课后与老师们座谈．有12位教师参加，面对习主席坐成一排．
问：这12位教师的坐法共有多少种？1.分类加法计数原理中各类加法有何关系？分步乘法计数原理中各个步骤有何关系？
2．应用两个计数原理解题时应注意哪些问题？
答案：1.分类加法计数原理中各类办法相互独立，即“类类互斥”，且每一类都能独立完成这件事；分步乘法计数原理中各个步骤相互依存，缺一不可，即“步步关联”，且每一个步骤都不能独立完成这件事．
2．(1)确定计数原理：要分清涉及的问题从大的方面看是利用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，还是两种原理综合应用解题．
(2)处理好类与步的关系：对于较为复杂的题目，在某一类中需要分步计算所用的方法，而在某一步中又可能分类计算所用的方法，两都要有机结合．
(3)注意不重不漏：做到分类类不重，分步步不漏．一、排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
注意：(1)排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．研究的n个元素是互不相同的，取出的m个元素也是互不相同的．(2)从定义知，只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一个排列．
(3)判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换任意两个元素的位置(这里的位置应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序．有序的就是排列问题．
(4)定义中规定m≤n，即当m[答案] 60导学号98570029二、排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
注意：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数．[答案] C导学号98570030四、几类特殊排列问题的解决方法
1．相邻元素捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序．
2．插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当．
3．缩倍法：某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘．3名男生，4名女生，按照不同的要求排列，求不同的排队方案的方法种数．
(1)全体站成一排，男生必须排在一起；
(2)全体站成一排，男生不能排在一起；
(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(4)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(5)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变．导学号98570031五、有限制条件的排列应用问题的解法
(1)解答这类有限制条件的排列问题，常用的方法有“直接法”和“间接法”(即剔除不符合限制条件的情况，因而间接法又称为排除法)，如果问题的正面分的类较多或正面问题计算较复杂，而反面问题分的类少或计算较简便，往往采用“间接法”．
(2)用“直接法”来解决这类有限制条件的排列问题的基本方法有：元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
(4)不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数关系、大小关系等，也可以有相邻问题、插空问题，也可以与数列等知识相联系．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．尤其不能疏忽这类问题的隐含条件上“0不能在首位”．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
[答案] D导学号98570032 判断下列问题是否是排列问题：
(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相加(乘)可得多少种不同的结果？
(2)有12个车站，共需准备多少种车票？
(3)从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？
(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？排列定义的理解和应用 导学号98570033
[解析] (1)与顺序无关，不是排列问题；
(2)满足排列的定义，是排列问题；
(3)与顺序无关，不是排列问题；
(4)由于确定直线时与两点顺序无关，所以不是排列问题，而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题．下列问题是排列问题吗？
(1)从5个人中选取两个人去完成某项工作．
(2)从5个人中选取两个人担任正副组长．
[解析] (1)不是，甲和乙去与乙和甲去完成这项工作是同一种选法．
(2)是，甲担任组长、乙担任副组长，与甲担任副组长、乙担任组长是不同的方法.导学号98570034 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
[分析] 对于第(1)问每次取出的两个数是1,2,3,4中的任意两个，且取出的两个数在两位数上的位置任意，对于第(2)问从4个元素中任取3个，位置任意．
解答本题可按顺序分步解决，然后利用树形图列出所有排列．简单的排列问题 导学号98570035
[解析] (1)由题意作树形图，如图．
1234 2134 3124 4123
故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？导学号98570036 三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解有约束条件的排列问题 导学号98570037[方法总结] 1.解决排列、应用问题最常用、最基本的方法是位置分析法和元素分析法．
(1)若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置．有两个以上约束条件，往往在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件．
(2)若以元素为主，需先满足特殊元素的要求，再处理其他的元素．
2．间接法有时也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得更简单、明快．
3．捆绑法、插入法适用于某些问题，要认真搞清在什么条件下使用．一般地，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？(用式子表达)
(1)男甲必排在首位；
(2)男甲、男乙必排在正中间；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位；
(4)男甲、男乙必排在一起；
(5)4名女生排在一起；
(6)任何两个女生都不得相邻；
(7)男生甲、乙、丙顺序一定．导学号98570038有关排列数的计算或证明 导学号98570039导学号98570040导学号98570041[辨析] (1)0不能作首位；(2)自然数可能有1位，2位，3位，4位，5位五种情况．第一章 1.2 第2课时
一、选择题
1．若C＝C，则n＝( )导学号98570078
A．2 B．8
C．10 D．12
[答案] C
[解析] 由组合数的性质可知n＝8＋2＝10.
2．以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( ) 导学号98570079
A．70个 B．64个
C．58个 D．52个
[答案] C
[解析] 四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，∴共有四面体C－12＝58个．故选C.
3．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有( ) 导学号98570080
A．(C)2A个 B．AA个
C．(C)2104个 D．A104个
[答案] A
[解析] ∵前两位英文字母可以重复，∴有(C)2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C)2A个．
4．6人站成一排，若调换其中的三个人的位置，有多少种不同的换法( )
导学号98570081
A．40 B．60
C．120 D．240
[答案] A
[解析] 先从6人中选取3人确定调换他们的位置，而这三人的位置全换只有2种不同方法，故共有2C＝40种．故选A.
5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) 导学号98570082
A．60种 B．63种
C．65种 D．66种
[答案] D
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识.4个数和为偶数，可分为三类．四个奇数C，四个偶数C，二奇二偶，CC.共有C＋C＋CC＝66种不同取法．分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．
6．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) 导学号98570083
A．CA B．CA
C．CA D．CA
[答案] C
[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有CA种排法．
7．(2015·青岛市胶州市高二期中)在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是( ) 导学号98570084
A．CC B．CC
C．C－C D．A－A
[答案] C
[解析] 从100件产品中抽取3件的取法数为C，其中全为正品的取法数为C，∴共有不同取法为C－C.故选C.
二、填空题
8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若＝，则这组学生共有________人．导学号98570085
[答案] 15
[解析] 设有学生n人，则＝，解之得n＝15.
9．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种．导学号98570086
[答案] 42
[解析] 若甲在第一位有A种方法；若甲在第二位有CA＝18种方法，故共有18＋24＝42种方法．
三、解答题
10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内：导学号98570087
(1)共有几种放法；
(2)恰有1个空盒，有几种放法；
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法．
[解析] (1)由分步乘法计数原理可知，共有44＝256种放法．
(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三个，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法．根据分步乘法计数原理，共有CA＝144种不同的放法．
(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个盒子中有A种放法，共有CA种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有CA＋CC＝84种．
一、选择题
1．圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点的个数最多是( ) 导学号98570088
A．A B．AA
C．CC D．C
[答案] D
[解析] 圆周上每4个点组成一个四边形，其对角线在圆内有一个交点．∴交点最多为C个．故选D.
2．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) 导学号98570089
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
[答案] C
[解析] 本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有C＝15种选法，从5名女医生选1人有C＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．
3．为促进城乡教育均衡发展，某学校将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加城乡交流活动，若每个小组由1名女教师和2名男教师组成，不同的安排方案共有( ) 导学号98570090
A．12种 B．24种
C．9种 D．8种
[答案] A
[解析] 不同的安排方案共有C·C·C·C＝12种．
二、填空题
4．n个不同的球放入n个不同的盒子中，如果恰好有1个盒子是空的，则共有________种不同的方法．导学号98570091
[答案] CA
[解析] 有一个盒子中放2个球，先选出2球有C种选法，然后将2个球视作一个整体，连同其余的n－2个球共有n－1个，从n个不同盒子中选出n－1个，放入这n－1个不同的球有A种放法，∴共有CA种．
5．有6名学生，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞．现在从中选出2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法________种．导学号98570092
[答案] 15
[解析] C·C＋C·C＋C＝15种．
三、解答题
6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．导学号98570093
(1)共有多少种不同的取法；
(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？
[解析] (1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C＝C＝126(种)；
(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法，∴共有C·C＝70种取法．
7．解方程：A＝140A.导学号98570094
[解析] 根据原方程，x(x∈N＋)应满足
解得x≥3.
根据排列数公式，原方程化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，
∵x≥3，两边同除以4x(x－1)，得
(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，
即4x2－35x＋69＝0，
解得x＝3或x＝(因x为整数，应舍去)．
∴原方程的解为x＝3.
8．有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？导学号98570095
[解析] 解法1：从0和1两个特殊值考虑，可分三类：
第一类，取0不取1，可先从另四张卡片中任选一张作百位，有C种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；除含0的那张外，
其他两张都有正面或反面两种可能，因此可组成不同的三位数C·C·C·22个．
第二类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个．
第三类：0和1都不取，有不同的三位数C23A个．
综上所述，不同的三位数共有CCC22＋C22A＋C23A＝432(个)．
解法2：任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A(个)，其中0在百位的有C22A(个)，这是不合题意的，故不同的三位数共有C23A－C22A＝432(个)．
课件64张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-3 计数原理第一章1.2 排列与组合 第一章第2课时 组合1.排列、排列数与排列数公式按照一定的顺序排成一列 所有排列的个数 n(n－1)…(n－m＋1) × × × 一、组合的概念
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
学习时主要应理解以下几点：
(1)给出的n个元素是互不相同的，且从n个元素中抽取m个元素是没有重复抽取情况的，因而这m个元素也是互不相同的，这就决定了m≤n.
(2)组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
(3)由定义知，两个组合相同，只需这两个组合的元素相同即可．
例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出2个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，而数字3就是组合数．求组合数的问题也可以从集合的角度进行解释．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有( )
A．60种 B．36种
C．10种 D．6种
[答案] D导学号98570060导学号98570061四、有限制条件的组合实际应用问题
(1)解答有限制条件的组合应用题时的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是当正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．
(2)有限制条件组合问题的常见类型
①解决所选取的组合中“含”与“不含”某个元素，这类问题的处理方法通常是直接法．
②解决“至多”或“至少”问题，通常用间接法，也可以用直接法．
③解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽取组合问题，往往寻找一个组合的模型加以处理．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A．14 B．24
C．28 D．48
[答案] A导学号98570062五、排列与组合的综合应用题
在解排列、组合应用题时，注意利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题．
注意三点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合；要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多；(3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计算原理来解决．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)
[答案] 210导学号98570063六、分组分配问题
(1)n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分定额分配和随机分配两种．将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题．分组问题有不平均分组、平均分组和部分平均分组三种情况．分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的．对于后者必须先分组后排列．有6件不同的礼品，
(1)分给甲、乙、丙三人，每人各得两件，有多少种分法？
(2)分给甲、乙、丙三人，甲得1件，乙得2件，丙得3件，有多少种分法？
(3)分成三堆，一堆1件，一堆2件，一堆3件，有多少种分法？导学号98570064 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？
(4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？
(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？ 组合概念的理解 导学号98570065[分析] 分析题意与顺序是否有关，无关是组合问题，有关是排列问题．
[解析] (1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．
(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．
(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别为组合问题．
(5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．下列问题中是组合问题的个数是( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B导学号98570066
[解析] 对于①，从50人中选出5人即可组成班委会，是组合问题．②为排列问题．对于③，从1,2,3，…，9中任取两个数求积是组合问题．因为乘法满足交换律而减法或除法则不满足，故④为排列问题.有关运算问题 导学号98570067导学号98570068[答案] 333 298导学号98570069[分析] 将组合数不等式转化为代数不等式来解．解方程、不等式和证明 导学号98570070导学号98570071 在某次救灾活动中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种；
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种；
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种．
[分析] 本题是组合问题，解答本题应首先分清“恰有”、“至少”、“至多”的含义，正确地分类或分步解决． 有条件限制的组合问题 导学号98570072
[方法总结] 解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从问题的反面入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)队长中至少有1人参加；
(4)既要有队长，又要有女运动员．导学号98570073排列、组合的综合应用题 导学号98570074[方法总结] 对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列，即先取出元素再安排元素，这是分步计数原理的典型应用．有六种不同的工作分配给6个人担任，每个人只担任其中一种工作，甲只能担任其中某两项工作，而乙不能担任这两项工作．共有多少种分配方法？导学号98570075 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
(1)一人得一本，一人得二本，一人得三本；
(2)平均分给甲、乙、丙三人；
(3)平均分成三堆．分组问题 导学号98570076导学号98570077第一章 1.3 第1课时
一、选择题
1．(2015·湖南理，6)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝( )
导学号98570107
A. B．－
C．6 D．－6
[答案] D
[解析] Tr＋1＝C(－1)rarx－r，令r＝1，可得－5a＝30?a＝－6，故选D.
2．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( ) 导学号98570108
A．(x－2)4 B．x4
C．(x＋1)4 D．x4＋1
[答案] B
[解析] S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝[(x－1)＋1]4＝x4.故应选B.
3.6的展开式的第三项为( ) 导学号98570109
A. B．－
C．－ D.
[答案] A
[解析] T3＝T2＋1＝C4·2＝.故应选A.
4．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3项的系数是( )
导学号98570120
A．74 B．121
C．－74 D．－121
[答案] D
[解析] (1－x)5，(1－x)6，(1－x)7，(1－x)8中x3项的系数分别为－C，－C，－C，－C，故所求x3项的系数为－(C＋C＋C＋C)＝－121.
5．(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是( ) 导学号98570121
A．－20 B．－5
C．5 D．20
[答案] A
[解析] 展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝()5－r·(－2)rCx5－ryr.
当r＝3时为T4＝()2(－2)3Cx2y3＝－20x2y3，故选A.
6．(2015·日照高二检测)在20的展开式中，系数是有理数的项共有( )
导学号98570122
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
[答案] A
[解析] Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r＝r·C·2·x20－r.，
∵系数为有理数．且0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20.故选A.
7．(＋)8的展开式中常数项为( ) 导学号98570123
A. B.
C. D．105
[答案] B
[解析] Tr＋1 ＝C()8－r()r＝C·×x，当r＝4时，Tr＋1为常数，此时C×＝，故选B.
二、填空题
8．(2016·全国卷Ⅰ，14)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)
[答案] 10
[解析] 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10.
9．已知二项式(x－)n的展开式中含x3的项是第4项，则n的值为____________．
导学号98570125
[答案] 9
[解析] ∵通项公式Tr＋1＝C(－1)rxn－2r，
又∵第4项为含x3的项，
∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
三、解答题
10．(1)求(1＋2x)7的展开式中第四项的系数；导学号98570126
(2)求9的展开式中x3的系数及二项式系数．
[解析] (1)(1＋2x)7的展开式的第4项为
T3＋1＝C(2x)3＝280x3，
∴(1＋2x)7的展开式中第四项的系数是280.
(2)∵9的展开式的通项为
Tr＋1＝Cx9－rr＝(－1)r·Cx9－2r.
令9－2r＝3，r＝3，
∴x3的系数为(－1)3C＝－84.
x3的二项式系数为C＝84.
一、选择题
1．(4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( ) 导学号98570127
A．－20 B．－15
C．15 D．20
[答案] C
[解析] 设第r＋1项为常数项，
Tr＋1＝C22x(6－r)(－2－x)r＝(－1)r·C212x－2rx－rx，
∴12x－3rx＝0，∴r＝4.∴常数项为T5＝(－1)4C＝15.
2．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是( ) 导学号98570128
A．－297 B．－252
C．297 D．207
[答案] D
[解析] x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
3．使(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( ) 导学号98570129
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] B
[解析] 由二项式的通项公式得Tr＋1＝C3n－rxn－r，若展开式中含有常数项，则n－r＝0，即n＝r，所以n最小值为5.选B.
二、填空题
4．(2016·天津卷理，10)(x2－)8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
[答案] －56
[解析] 二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)8－r(－)r＝(－1)rCx16－3r，令16－3r＝7，得r＝3，故x7的系数为－C＝－56.
5．设a＝sinxdx，则二项式(a－)6的展开式中的常数项等于________．
导学号98570131
[答案] －160
[解析] a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，二项式(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·(－)r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C＝－160.
三、解答题
6．已知n的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为56?3，求展开式中的常数项．导学号98570132
[解析] T5＝C()n－424x－8＝16Cx，
T3＝C()n－222x－4＝4Cx.
由题意知，＝，解得n＝10.
Tk＋1＝C()10－k2kx－2k＝2kCx，
令5－＝0，解得k＝2，
∴展开式中的常数项为C22＝180.
7．求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．导学号98570133
[解析] 解法1：(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8.
∴Tr＋1＝C(x＋x2)r，则x5的系数由(x＋x2)r来决定．
T′k＋1＝Cxr－kx2k＝Cxr＋k，令r＋k＝5，
∵k≤r，∴；或；或.
∴含x5的系数为CC＋CC＋CC＝504.
解法2：(1＋x＋x2)＝[(1＋x)＋x2]8＝C(1＋x)8＋C(1＋x)7·x2＋C(1＋x)6·(x2)2＋C(1＋x)5·(x2)3＋…，则展开式中含x5的系数为CC＋CC＋CC＝504.
8．在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．导学号98570134
[解析] 要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项公式即可．
(1)∵T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，
∴第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1 120.
(2)解法1：展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
解法2：在8展开式中的倒数第3项就是8展开式中的第3项，T3＝C·8－2·(2x2)2＝112x2.
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-3 计数原理第一章 1.3 二项式定理第一章第1课时 二项式定理牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．
那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？1 × √ × [答案] C
[解析] 原式＝(1－2)n＝(－1)n.
故选C．导学号98570096[答案] D导学号98570097(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40
C．20 D．10
[答案] B导学号98570098导学号98570099二项式系数与项的系数问题 导学号98570100
[方法总结] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异．
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．导学号98570101 求常数项问题 导学号98570102[方法总结] 二项式的展开式的某一项为常数项，就是指这项不含“变元”，一般采用令通项Tr＋1中的变元的指数为零的方法求得常数项．导学号98570103导学号98570104利用通项公式求二项展开式中的特定项 导学号98570105[方法总结] (1)求展开式的特定项的关键是抓住其通项公式，所谓二项展开式的特定项是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值等的特殊项．求解时，先准确写出通项公式，再把系数和字母分离开(应注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数具有的特征，列出方程或不等式求解即可．
(2)求由多个二项式的和(或差)组成的式子的展开式中某些特定项的常用思路有两个：其一是先求各展开式中的特定项，再求其和(或差)；其二是先对其式子进行变形化简，再求其展开式中的特定项．一般来说，若能化简式子，则应先化简，这样解题较方便．导学号98570106第一章 1.3 第2课时
一、选择题
1．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )
导学号98570147
A．6 B．7
C．8 D．9
[答案] B
[解析] 本题主要考查二项式定理中二项展开式的通项公式的应用．二项式(1＋3x)n展开式的通项公式为Tr＋1＝3rCxr，∴x5与x6的系数分别为35C，36C.由条件知：35C＝36C，即C＝3C，∴＝3·，∴n＝7，选B.
2．若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a＝( ) 导学号98570148
A．2 B.
C．1 D.
[答案] C
[解析] 二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
3．已知8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( ) 导学号98570149
A．28 B．38
C．1或38 D．1或28
[答案] C
[解析] Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·(－a)r·x8－2r.当r＝4时，Tr＋1为常数项，此时T5＝C(－a)4＝70a4＝1120.∴a＝±2.令x＝1，则8＝(1±2)8＝1或38.故选C.
4．233除以9的余数是( ) 导学号98570150
A．1 B．2
C．4 D．8
[答案] D
[解析] 233＝811＝(9－1)11＝911－C910＋…＋C9－1，∴余数为8.故选D.
5．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( )
导学号98570151
A．偶数 B．奇数
C．3的倍数 D．被3除余1的数
[答案] B
[解析] 原式＝[(9＋1)n＋1－1]＝[10n＋1－1]是11的倍数，∴10n＋1－1是99的倍数，∴n为奇数．故选B.
6．在(1－x)11的展开式中，含x奇次幂的各项系数的和是( ) 导学号98570152
A．－210 B．210
C．－211 D．211
[答案] A
[解析] 令f(x)＝(1－x)11＝a0＋a1x＋…＋a11x11，
f(1)＝a0＋a1＋…＋a11＝0，
f(－1)＝a0－a1＋…－a11＝211，
f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋…＋a11)＝－211.
∴含x奇次幂的系数的和为a1＋a3＋…＋a11＝－210.故选A.
7．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7等于( )
导学号98570153
A．32 B．－32
C．－33 D．－31
[答案] D
[解析] 令x＝0，得a0＝1.
令x＝－1，得25＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7，
∴a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝1－25＝－31.
二、填空题
8．(2015·重庆理，12)5的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．
导学号98570154
[答案]
[解析] 由二项式定理得Tr＋1＝Cr5(x3)r()5－r＝Cr5x3r5－rx－＝Cr5()5－rx－
当r－＝8时，易得r＝3，故x8系数为C()2＝.
9．设(2x＋)4＝a0＋a1x＋…＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________．
导学号98570155
[答案] 1
[解析] (a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)，在(2x＋)4＝a0＋a1x＋…＋a4x4中，令x＝1，得a1＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋)4；
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2)4，
由此得(2＋)4(－2)4＝1.
三、解答题
10．在8的展开式中，导学号98570156
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项；
(3)求系数最大的项；
(4)求系数最小的项．
[解析] (1)设第r＋1项系数的绝对值最大，即
∴
从而有5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
∴T5＝C()4·4＝.
(3)由(1)知展开式中的第6项及第7项的系数绝对值最大，而第6项系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C·()26＝.
(4)系数最小的项为T6＝C·()35＝－1792＝－1 792x－.
一、选择题
1．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的第几项( ) 导学号98570157
A．13 B．18
C．11 D．20
[答案] D
[解析] 含x4项的系数为C＋C＋C＝C－1＝55.
设它为等差数列的第k项，则－2＋3(k－1)＝55.
∴k＝20.故选D.
2．若a为实数，且(ax－)2015的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2015项为( ) 导学号98570158
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析]由条件知，(a－1)2015＝1，∴a－1＝1，
∴a＝2.
∴展开式的第2015项为：
T2015＝C·(2x)·(－)2014
＝2C·x－2013＝，故选C.
3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋…＋bnan，且b0＋b1＋b2＋…＋bn＝30，则自然数n的值为( ) 导学号98570159
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 令a＝1得：b0＋b1＋b2＋…＋bn＝2＋22＋23＋…＋2n
＝＝2n＋1－2＝30.
∴2n＋1＝32.∴n＝4.故选B.
二、填空题
4．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C＝________.
导学号98570160
[答案] 63
[解析] 逆用二项式定理，得
C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729.
即3n＝36，所以n＝6，
所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.
5．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.导学号98570161
[答案] 10
[解析] 本题考查二项式定理的展开式．x5＝[(x＋1)－1]5＝(x＋1)5－C(x＋1)4＋C(x＋1)3－C(x＋1)2＋C(x＋1)－C(x＋1)0，
∴a3＝C＝10.适当的变形将问题简化．
三、解答题
6．已知(2x－3)7＝a0(x－1)7＋a1(x－1)6＋…＋a6(x－1)＋a7. 导学号98570162
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a7；
(2)求a0－a7.
[解析] (1)令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(4－3)7＝1.
(2)令x＝1，得a7＝(2×1－3)7＝－1，
x7的系数a0＝C27(－3)0＝128，
∴a0－a7＝129.
7．已知n的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a＋b)2n展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的第三项．导学号98570163
[解析] (a＋b)2n展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，n展开式中偶数项的二项式系数的和为2n－1.依题意，有
2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0.
解得2n＝16，或2n＝－15(舍)．∴n＝4.
于是，第一个展开式中第三项为T3＝C()22
＝6.
8．(2015·胶州市期中)已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112. 导学号98570164
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
[解析] (1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.
含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2，或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8
所以含x2的系数为C24－C22＝1008.
课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 · 选修2-3 计数原理第一章 1.3 二项式定理第一章第2课时 杨辉三角
就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1到9两数对调，左7右3两数对调，最后把2,4,6,8向外面挺出，这样三阶幻方填好了．杨辉还系统研究了四阶幻方至十阶幻方，并且他还发现了著名的杨辉三角．
那么，杨辉三角与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？1.(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第r＋1项相同吗？
2．解决与二项式系数有关问题的基本点和注意点是什么？(1)(1－x)4n＋1的展开式中系数最大的项是( )
A．第2n项
B．第2n＋1项
C．第2n项和第2n＋1项
D．第2n＋2项
[答案] B导学号98570135[答案] 11导学号98570136与杨辉三角有关的问题 导学号98570137[方法总结] 杨辉三角中的数都与二项式系数相对应，所以杨辉三角的问题都要转化为二项式系数的问题进行计算．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．导学号98570138 (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[分析] 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项．二项式系数与二项展开式项的系数的区别 导学号98570139
[方法总结] (1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．导学号98570140 在二项式(2x－3y)9展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)所有项的系数绝对值的和．
[分析] 写出体现系数的展开式，根据需要赋值．求展开式的系数和 导学号98570141已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求：
(1)a1＋a2＋…＋a14； (2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.导学号98570142 求1.9975精确到0.001的近似值．二项式定理在近似计算中的应用 导学号98570143二项式定理在整除性问题中的应用 导学号98570144导学号98570145导学号98570146
