沪科版九年级数学下册24.3.1圆周角定理测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学下册24.3.1圆周角定理测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 337.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-01 20:57:28 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学下册24.3.1《圆周角定理》测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2016 张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
2．（2016 邗江区二模）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位
B．10个单位
C．4个单位
D．15个单位
3．（2016 黔东南州一模）如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
4．（2016 盘龙区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（ ）
A．23°
B．57°
C．67°
D．77°
5．（2016 嘉善县模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
6．（2016 河南模拟）如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
7．（2016 丰润区二模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．（2016 峄城区一模）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．65°
9．（2016 重庆模拟）如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
10．（2016 丹棱县模拟）如图所示，点P在圆O上，将圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOC=β（0°＜β＜180°），则∠P的度数为（用α和β表示）（ ）
A．
B．
C．β﹣α
D．α+β
二．填空题（共4小题）
11．（2016 临夏州）如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=______．
12．（2016 雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为______．
13．（2014秋 怀集县期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC=______．
14．（2012 大丰市二模）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为______°．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 历城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．
16．（2011 曲靖）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
17．（2016 如皋市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC；
（2）求∠BOP的度数．
18．（2015 绥化校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB，PD分别交CD于M，交AB于点N，且CM=BM，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=5，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
19．（2015 浦东新区二模）已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
20．（2012 肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB CE=2DP AD．
沪科版九年级数学下册24.3.1《圆周角定理》测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．
2．（2016 邗江区二模）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位
B．10个单位
C．4个单位
D．15个单位
【分析】根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．从而得到EF即可是直径，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是直径，
∴EF====10．
故选：B．
【点评】考查了圆中的有关性质：90°的圆周角所对的弦是直径．此性质是判断直径的一个有效方法，也是构造直角三角形的一个常用方法．
3．（2016 黔东南州一模）如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOD的度数，再由圆周角定理即可解答．
【解答】解：∵OA∥DE，∠D=50°，∴∠AOD=50°，
∵∠C=∠AOD，
∠C=×50°=25°．
故选A．
【点评】本题比较简单．考查的是平行线的性质及圆周角定理．
4．（2016 盘龙区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（ ）
A．23°
B．57°
C．67°
D．77°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠BAC=23°，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的大小．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=23°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=67°，
∴∠ADC=∠B=67°．
故C．
【点评】本题考查圆周角定理及直角三角形的性质．此题属容易题，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
5．（2016 嘉善县模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【分析】首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=40°，
∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°．
∴∠C=∠AOB=×100°=50°．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理是关键．
6．（2016 河南模拟）如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【分析】根据圆周角定理得∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，然后利用∠D的正弦计算BC的长．
【解答】解：∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=60°，
∴sinD=sin60°=，
∴BC=4×=2．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．（2016 丰润区二模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【分析】连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．
8．（2016 峄城区一模）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．65°
【分析】首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠BDC=∠B是解此题的关键．
9．（2016 重庆模拟）如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（2016 丹棱县模拟）如图所示，点P在圆O上，将圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOC=β（0°＜β＜180°），则∠P的度数为（用α和β表示）（ ）
A．
B．
C．β﹣α
D．α+β
【分析】根据圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）可知∠AOB=α，再由∠AOC=β可求出∠COB的度数，根据圆周角定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°），
∴∠AOB=α，
∵∠AOC=β，
∴∠COB=α﹣β，
∴∠P==．
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理及图形的旋转，解答此题的关键是弄清旋转角即为∠AOB的度数．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 临夏州）如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R= ．
【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了．
【解答】解：∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OC=R，
∴R2+R2=2，
解得R=．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是通过圆周角定理得到∠AOC的度数．
12．（2016 雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为 8 ．
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，求出AE，再由勾股定理求出BE即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∴BM=EM，
∴CE=2MD=4，
∴AE=AC﹣CE=6，
∴BE==；
故答案为：8．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理，由三角形中位线定理求出CE是解决问题的关键．
13．（2014秋 怀集县期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC= 60° ．
【分析】因为⊙O是等边三角形ABC的外接圆，所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°，所以∠BCD=∠A=60°．
【解答】解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠A=60°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．（2012 大丰市二模）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为 30或90 °．
【分析】根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠AD′B=90°，继而可求得∠DAB的度数，则可求得答案．
【解答】解：如图，∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=∠AD′B=90°，
∵AD=AD′=1，AB=2，
∴cos∠DAB=cosD′AB=，
∴∠DAB=∠D′AB=60°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CAD=30°，∠CAD′=90°．
∴∠CAD的度数为：30°或90°．
故答案为：30或90．
【点评】此题考查了圆周角定理以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 历城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．
【分析】先根据圆周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，再根据三角形内角和定理可知△BCD是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出BC的长．
【解答】解：在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD sin45°，
∵BD=2，
∴．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，关键是求出△BCD是等腰直角三角形．
16．（2011 曲靖）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
【分析】（1）根据垂径定理得出=，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）根据等边三角形的判定得出BC=BO=CO，进而利用（1）中结论得出AO=BO=AC=BC，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴=，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）证明：∵=，
∴AC=BC，
AO=BO，
∵∠BOC的度数为60°，BO=CO
∴△BOC为等边三角形，
∴BC=BO=CO，
∴AO=BO=AC=BC，
∴四边形AOBC是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理和圆周角定理等知识，根据垂径定理得出=是解决问题的关键．
17．（2016 如皋市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC；
（2）求∠BOP的度数．
【分析】（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰进行的性质即可得到BD=CD；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=75°，再根据圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行线的性质得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°，于是可判断△OBP为等腰直角三角形，则∠BOP=90°．
【解答】（1）证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=（180°﹣30°）=75°，
∵四边形ABDE为圆O的内接四边形，
∴∠EDC=∠BAC=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°，
∵OB=OP，
∴△OBP为等腰直角三角形，
∴∠BOP=90°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了等腰三角形的性质．
18．（2015 绥化校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB，PD分别交CD于M，交AB于点N，且CM=BM，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=5，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠P=∠C，然后根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AC，根据垂径定理及圆周角定理得到∠P=∠A，∠ACB=90°，则sinA=sinP，然后根据正弦的定义得到==，得出AB的长即可．
【解答】（1）证明：∵CM=BM，
∴∠C=∠CBM，
∵∠C=∠P，
∴∠P=∠CBM，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，如图所示
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∴∠BPD=∠A，
∴sinA=sin∠BPD=，
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA==，即=，
解得：AB=，
即⊙O的直径为．
【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；运用相似三角形的判定与性质证明线段之间的关系；运用正弦的定义进行几何计算．
19．（2015 浦东新区二模）已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
【分析】（1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；
（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）连接EF，
∵由题意可得FC是⊙D的直径，
∴∠FEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB=AC=5，cosB=，AE=1，
∴EC=4，cosB=cos∠ACB===，
解得：FC=5，
则DC=2.5；
（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，
∵AB=5，cosB=，
∴BN=4，
∴AN=3，
∵cosC=cosB=，
∴NC=4，
∴FN=1，
∴AF==．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20．（2012 肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB CE=2DP AD．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点；
（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC；
（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB CE=2DP AD．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；
（3）∵△BEC∽△ADC，
∴∠CBE=∠CAD，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴，
∴，
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，
∴△BPD∽△BCE，
∴=，
∵BC=2BD，∴AB：AD=2BD：BE，
∴，
∴AB CE=2DP AD．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
第6页（共19页）
一．选择题（共10小题）
1．（2016 张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
2．（2016 邗江区二模）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位
B．10个单位
C．4个单位
D．15个单位
3．（2016 黔东南州一模）如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
4．（2016 盘龙区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（ ）
A．23°
B．57°
C．67°
D．77°
5．（2016 嘉善县模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
6．（2016 河南模拟）如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
7．（2016 丰润区二模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．（2016 峄城区一模）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．65°
9．（2016 重庆模拟）如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
10．（2016 丹棱县模拟）如图所示，点P在圆O上，将圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOC=β（0°＜β＜180°），则∠P的度数为（用α和β表示）（ ）
A．
B．
C．β﹣α
D．α+β
二．填空题（共4小题）
11．（2016 临夏州）如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=______．
12．（2016 雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为______．
13．（2014秋 怀集县期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC=______．
14．（2012 大丰市二模）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为______°．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 历城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．
16．（2011 曲靖）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
17．（2016 如皋市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC；
（2）求∠BOP的度数．
18．（2015 绥化校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB，PD分别交CD于M，交AB于点N，且CM=BM，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=5，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
19．（2015 浦东新区二模）已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
20．（2012 肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB CE=2DP AD．
沪科版九年级数学下册24.3.1《圆周角定理》测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
【分析】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠OBC=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及角的计算，解题的关键是找出∠ACB=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出直径所对的圆周角为90°是关键．
2．（2016 邗江区二模）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把0点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位
B．10个单位
C．4个单位
D．15个单位
【分析】根据圆中的有关性质“90°的圆周角所对的弦是直径”．从而得到EF即可是直径，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是直径，
∴EF====10．
故选：B．
【点评】考查了圆中的有关性质：90°的圆周角所对的弦是直径．此性质是判断直径的一个有效方法，也是构造直角三角形的一个常用方法．
3．（2016 黔东南州一模）如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOD的度数，再由圆周角定理即可解答．
【解答】解：∵OA∥DE，∠D=50°，∴∠AOD=50°，
∵∠C=∠AOD，
∠C=×50°=25°．
故选A．
【点评】本题比较简单．考查的是平行线的性质及圆周角定理．
4．（2016 盘龙区一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（ ）
A．23°
B．57°
C．67°
D．77°
【分析】由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，又由∠BAC=23°，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的大小．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=23°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=67°，
∴∠ADC=∠B=67°．
故C．
【点评】本题考查圆周角定理及直角三角形的性质．此题属容易题，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与半圆（或直径）所对的圆周角是直角定理的应用．
5．（2016 嘉善县模拟）如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【分析】首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=40°，
∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°．
∴∠C=∠AOB=×100°=50°．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理是关键．
6．（2016 河南模拟）如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
【分析】根据圆周角定理得∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，然后利用∠D的正弦计算BC的长．
【解答】解：∵BD为直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=60°，
∴sinD=sin60°=，
∴BC=4×=2．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．（2016 丰润区二模）如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【分析】连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．
【解答】解：连接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．
8．（2016 峄城区一模）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA的度数（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．65°
【分析】首先连接BC，由AB是直径，可求得∠ACB=90°，则可求得∠B的度数，然后由翻折的性质可得，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，继而求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理以及折叠的性质．注意掌握辅助线的作法，能得到∠BDC=∠B是解此题的关键．
9．（2016 重庆模拟）如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°．
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．（2016 丹棱县模拟）如图所示，点P在圆O上，将圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOC=β（0°＜β＜180°），则∠P的度数为（用α和β表示）（ ）
A．
B．
C．β﹣α
D．α+β
【分析】根据圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）可知∠AOB=α，再由∠AOC=β可求出∠COB的度数，根据圆周角定理即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°），
∴∠AOB=α，
∵∠AOC=β，
∴∠COB=α﹣β，
∴∠P==．
故选A．
【点评】本题考查的是圆周角定理及图形的旋转，解答此题的关键是弄清旋转角即为∠AOB的度数．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 临夏州）如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R= ．
【分析】通过∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根据OA=OC就可以结合勾股定理求出AC的长了．
【解答】解：∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=90°，
∵OA=OC=R，
∴R2+R2=2，
解得R=．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是通过圆周角定理得到∠AOC的度数．
12．（2016 雅安）如图，在△ABC中，AB=AC=10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE长为 8 ．
【分析】连接AD，由圆周角定理得出∠AEB=∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出BD=CD，由三角形中位线定理得出OD∥AC，CE=2MD=4，求出AE，再由勾股定理求出BE即可．
【解答】解：连接AD，如图所示：
∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∴BM=EM，
∴CE=2MD=4，
∴AE=AC﹣CE=6，
∴BE==；
故答案为：8．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理，由三角形中位线定理求出CE是解决问题的关键．
13．（2014秋 怀集县期末）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是⊙O上一点，则∠BDC= 60° ．
【分析】因为⊙O是等边三角形ABC的外接圆，所以∠A=∠ABC=∠ACB=60°，所以∠BCD=∠A=60°．
【解答】解：∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BDC=∠A=60°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．（2012 大丰市二模）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中画出弦AD，使AD=1，则∠CAD的度数为 30或90 °．
【分析】根据题意作图，由AB是圆O的直径，可得∠ADB=∠AD′B=90°，继而可求得∠DAB的度数，则可求得答案．
【解答】解：如图，∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=∠AD′B=90°，
∵AD=AD′=1，AB=2，
∴cos∠DAB=cosD′AB=，
∴∠DAB=∠D′AB=60°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CAD=30°，∠CAD′=90°．
∴∠CAD的度数为：30°或90°．
故答案为：30或90．
【点评】此题考查了圆周角定理以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 历城区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．
【分析】先根据圆周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，再根据三角形内角和定理可知△BCD是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出BC的长．
【解答】解：在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD sin45°，
∵BD=2，
∴．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，关键是求出△BCD是等腰直角三角形．
16．（2011 曲靖）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
【分析】（1）根据垂径定理得出=，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）根据等边三角形的判定得出BC=BO=CO，进而利用（1）中结论得出AO=BO=AC=BC，即可证明结论．
【解答】（1）解：∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴=，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=∠BOC=2∠ADC=60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）证明：∵=，
∴AC=BC，
AO=BO，
∵∠BOC的度数为60°，BO=CO
∴△BOC为等边三角形，
∴BC=BO=CO，
∴AO=BO=AC=BC，
∴四边形AOBC是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理和圆周角定理等知识，根据垂径定理得出=是解决问题的关键．
17．（2016 如皋市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结OP．
（1）求证：BD=DC；
（2）求∠BOP的度数．
【分析】（1）连结AD，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而AB=AC，根据等腰进行的性质即可得到BD=CD；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=75°，再根据圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠BAC=30°，然后利用平行线的性质得到∠PBC=∠EDC=30°，所以∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°，于是可判断△OBP为等腰直角三角形，则∠BOP=90°．
【解答】（1）证明：连结AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：∵∠BAC=30°，AB=AC，
∴∠ABC=（180°﹣30°）=75°，
∵四边形ABDE为圆O的内接四边形，
∴∠EDC=∠BAC=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠OBP=∠ABC﹣∠PBC=45°，
∵OB=OP，
∴△OBP为等腰直角三角形，
∴∠BOP=90°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了等腰三角形的性质．
18．（2015 绥化校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，连接PB，PD分别交CD于M，交AB于点N，且CM=BM，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=5，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和圆周角定理得出∠P=∠C，然后根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）连接AC，根据垂径定理及圆周角定理得到∠P=∠A，∠ACB=90°，则sinA=sinP，然后根据正弦的定义得到==，得出AB的长即可．
【解答】（1）证明：∵CM=BM，
∴∠C=∠CBM，
∵∠C=∠P，
∴∠P=∠CBM，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，如图所示
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴，
∴∠BPD=∠A，
∴sinA=sin∠BPD=，
又∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA==，即=，
解得：AB=，
即⊙O的直径为．
【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；运用相似三角形的判定与性质证明线段之间的关系；运用正弦的定义进行几何计算．
19．（2015 浦东新区二模）已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
【分析】（1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；
（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）连接EF，
∵由题意可得FC是⊙D的直径，
∴∠FEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB=AC=5，cosB=，AE=1，
∴EC=4，cosB=cos∠ACB===，
解得：FC=5，
则DC=2.5；
（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，
∵AB=5，cosB=，
∴BN=4，
∴AN=3，
∵cosC=cosB=，
∴NC=4，
∴FN=1，
∴AF==．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
20．（2012 肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）AB CE=2DP AD．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点；
（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC；
（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB CE=2DP AD．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中点；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；
（3）∵△BEC∽△ADC，
∴∠CBE=∠CAD，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴，
∴，
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，
∴△BPD∽△BCE，
∴=，
∵BC=2BD，∴AB：AD=2BD：BE，
∴，
∴AB CE=2DP AD．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
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