24.1 测量（同步练习·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版

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24.1 测量
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝2，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝12，AD＝8，则AB的长为（　　）
A．13 B．14 C．16 D．18
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．AC2＝AD AB B．CD2＝AD BD
C．BC2＝BD AB D．CD AD＝AC BC
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则CD为（　　）
A． B． C．2 D．3
二．填空题（共5小题）
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝2，BD＝3，则AD＝　 　 ．
7．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果BD＝3，CD＝4，那么AD的长是 　 　 ．
8．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD＝9，AC＝15，则DB＝ 　 　 ．
9．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝　 　 ．
10．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
11．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，求△ACP的面积；
（2）已知，当点P运动到CP⊥AB时，．请利用备用图继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
14．小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到底面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
15．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE＝2CE，求OF的长．
24.1 测量
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AB＝4，BD＝2，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】射影定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先利用勾股定理求出，再证明△ABD∽△CAD，利用三角形相似的性质即可求出CD的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝4，BD＝2，
∴，
∵∠BAD+∠CAD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴CD＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了射影定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝12，AD＝8，则AB的长为（　　）
A．13 B．14 C．16 D．18
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】利用射影定理直接代入计算即可．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的高，
∴AC2＝AB AD，
∴AB18．
故选：D．
【点评】本题考查了射影定理，掌握射影定理的三个比例式是解题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．AC2＝AD AB B．CD2＝AD BD
C．BC2＝BD AB D．CD AD＝AC BC
【考点】射影定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决．
【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴由射影定理得：AC2＝AD AB，BC2＝BD AB，
CD2＝AD BD；
∴；
∴CD AC＝AD BC，
∴A，B，C正确，D不正确．
故选：D．
【点评】该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】射影定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】①、根据△ACD∽CBD，得到，依此即可作出判断；
②、根据勾股定理即可作出判断；
③、作EM⊥AB，可证△BCE≌△BEM，从而得，依此即可作出判断；
④、若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，可得∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据含30°的直角三角形的性质即可作出判断．
【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，即CD2＝AD DB，故①正确；
②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，
∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；
③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，
∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BME，
∴BC＝BM＝BD+EH，
∴，故③正确；
④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则CD为（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据勾股定理就可求得AB的长，再根据△ABC的面积 AC BC AB CD，即可求得．
【解答】解：根据题意得：BC．
∵△ABC的面积 AC BC AB CD
∴CD2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝2，BD＝3，则AD＝　1　 ．
【考点】射影定理．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】1．
【分析】根据射影定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴AC2＝AD AB，
∵AC＝2，BD＝3，
∴22＝AD（AD+3），
∴AD＝1（负值舍去），
故答案为：1．
【点评】本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理是解题的关键．
7．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果BD＝3，CD＝4，那么AD的长是 　　 ．
【考点】射影定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】直接套入射影定理公式BD2＝AD CD解答即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，
∴BD2＝AD CD，
∴AD．
故答案为：．
【点评】本题考查了射影定理，熟练掌握射影定理的三个公式是解答本题的关键．
8．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD＝9，AC＝15，则DB＝ 　16　 ．
【考点】射影定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】16．
【分析】现根据勾股定理求出CD的长，再利用射影定理，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴CD12，
根据射影定理可得：
CD2＝AD DB，
解得，BD16，
故答案为：16．
【点评】本题考查射影定理，掌握根据射影定理进行计算是解题的关键．
9．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝　2cm ．
【考点】射影定理；勾股定理．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】2cm．
【分析】证明△ADB∽△BDC，推出，可得BD2＝AD CD，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵BD⊥C，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ADB∽△BDC，
∴，
∵AD＝2cm，CD＝4cm，
∴BD2＝AD CD＝2×4＝8，
∵BD＞0，
∴BD＝2（cm），
故答案为：2cm．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝　2　 ．
【考点】射影定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用勾股定理得到BD2＝180，设BE＝9x，EC＝2x，利用射影定理得到BD2＝BE BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2，于是CD2＝CE CB＝2x 11x＝40，从而得到CD的长．
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，
设BE＝9x，EC＝2x，
∵DE⊥BC，
∴BD2＝BE BC，
即180＝9x（9x+2x），解得x2，
∵CD2＝CE CB＝2x 11x＝2240，
∴CD＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
三．解答题（共5小题）
11．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．
故这棵树高15m
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AB＝10cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝1时，求△ACP的面积；
（2）已知，当点P运动到CP⊥AB时，．请利用备用图继续探索：当t为何值时，△ACP是等腰三角形？
【考点】射影定理；列代数式；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）6cm2；
（2）3或6或或．
【分析】（1）t＝1时，得出CP＝2，利用三角形的面积进行解答即可；
（2）分四种情况进行讨论：①根据AC＝CP列式求解；②根据AC＝AP列式求解；③AC＝CP，根据AP的值列式求解；④AP＝PC，根据AP＝PB列式求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵BC＝8cm，AB＝10cm，
∴AC6cm，
如图，t＝1时，CP＝2，
所以△ACP的面积；
（2）如图2，3，4，5：
因为△ACP是以AC为边的等腰三角形，
①如图2，当AC＝CP＝6时，t1＝6÷2＝3（s）；
②如图3，当AC＝AP＝6时，t2＝46（s）；
③如图4中，当AC＝CP时，过点C作CD⊥AB于点H．
∵AC＝CP，AD⊥AP，
∴AP＝2AD（cm），
∴BP＝10﹣AP（cm），
∴t3＝4（s）；
④如图5，当AP＝CP时，∠A＝∠ACP，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠B＝∠BCP，
∴AP＝CP＝BP，
∴BP＝5cm，
∴t4＝4（s）．
综上所述，t＝3或6或或．
【点评】本题考查了动点运动问题、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、三角函数、角平分线的性质等知识，熟练掌握运用这些基础知识点，然后进行分类讨论是解题关键．
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
【考点】射影定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论；
（2）由AC2＝AB AD得到62＝（AD+5） AD，则可求出AD＝4，然后利用射影定理计算出CD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB AD；
（2）解：∵AC2＝AB AD，
∴62＝（AD+5） AD，
整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4，
∵CD2＝AD BD，
∴CD2．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
14．小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到底面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳长为（x+1）米，
根据题意得：（x+1）2＝x2+52，即2x﹣24＝0，
解得：x＝12．
答：旗杆的高度是12米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用以及解一元一次方程，根据勾股定理列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
15．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE＝2CE，求OF的长．
【考点】射影定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB＝AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2＝AD AB；
【结论运用】（1）根据射影定理得BC2＝BO BD，BC2＝BF BE，则BO BD＝BF BE，即，加上∠OBF＝∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；
（2）先计算出DE＝4，CE＝2，BE＝2，OB＝3，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到，即，然后利用比例性质求OF．
【解答】【问题情境】
证明：如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
而∠CAD＝∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AD AB；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF BE，
∴BO BD＝BF BE，
即，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）方法一：∵BC＝CD＝6，
而DE＝2CE，
∴DE＝4，CE＝2，
在Rt△BCE中，BE2，
在Rt△OBC中，OBBC＝3，
∵△BOF∽△BED，
∴，即，
∴OF．
方法二：将△OFC绕O顺时针旋转90度得到△OGB，如图3，
由△BOF∽△BED得到∠OFB＝45°，
∴∠OGB＝∠OFC＝45°+90°＝135°，
∵OG＝OF，
∴△OGF为等腰直角三角形，
∴∠OGF＝45°，
∴G点在BE上，
∵BG＝CF，
∴GF，
∴OFGF．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．
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