25.2.2 频率与概率（同步练习·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 25.2.2 频率与概率（同步练习·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 466.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 18:50:49 | ||
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文档简介
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25.2.2频率与概率
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 桥西区期中）“二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，10cm×10cm的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．36cm2 B．60cm2 C．120cm2 D．200cm2
2．（2025秋 普陀区期中）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A．0.923 B．0.890 C．0.902 D．0.905
3．（2024秋 陈仓区期末）一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ）
A．3张 B．15张 C．5张 D．10张
4．（2025秋 神木市期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在0.4，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（ ）
A．18张 B．12张 C．10张 D．8张
5．（2025 榕城区模拟）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
6．（2024秋 莒南县期末）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 长沙期中）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如表是实验数据：
投掷次数 100 500 1000 5000 10000
相交次数 28 138 273 1354 2698
相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01）
8．（2025 珠海校级三模）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为 ．（结果保留小数点后一位）
9．（2025秋 义县期中）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 ．
10．（2024秋 武胜县期末）做抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
“杯口朝上”的次数 5 15 99 158 302 599 1001
“杯口朝上”的频率 0.100 0.150 0.198 0.198 0.201 0.200 0.200
估计抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为 （结果保留小数点后一位）．
11．（2025秋 凌海市期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球．
12．（2024秋 花都区期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 咸阳期中）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求m的值．
14．（2025秋 银川期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801
摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801
（1）上表中的a＝ ，b＝ ．
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）．
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
15．（2025春 深圳校级期末）THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是 （精确到0.01）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？
25.2.2频率与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 桥西区期中）“二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，10cm×10cm的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．36cm2 B．60cm2 C．120cm2 D．200cm2
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】B
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可．
【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在黑色阴影的概率为0.6，
∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6，
∵二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，
∴黑色阴影的面积为10×10×0.6＝60（cm2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值．
2．（2025秋 普陀区期中）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A．0.923 B．0.890 C．0.902 D．0.905
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为0.902．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比值．
3．（2024秋 陈仓区期末）一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ）
A．3张 B．15张 C．5张 D．10张
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】C
【分析】根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．
【解答】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，
∴25%×20＝5（张），
故选：C．
【点评】本题主要考查已知概率求数量，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
4．（2025秋 神木市期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在0.4，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（ ）
A．18张 B．12张 C．10张 D．8张
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用抽到“中秋”主题贺卡的频率估计抽到“中秋”的概率，再根据频率＝频数÷总数进行计算即可．
【解答】解：30×（1﹣0.4）＝18（张），
故选：A．
【点评】本题考查利用频率估计概率，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．
5．（2025 榕城区模拟）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】B
【分析】分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项．
【解答】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，
∴白球被取得的概率，红球被取得的概率，黄球被取得的概率，
由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率，
故选：B．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
6．（2024秋 莒南县期末）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是1000×0.620＝620，选项A符合题意；
当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，选项B不合题意；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．选项C符合题意；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 长沙期中）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如表是实验数据：
投掷次数 100 500 1000 5000 10000
相交次数 28 138 273 1354 2698
相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 0.27 ．（精确到0.01）
【考点】利用频率估计概率；平行线的判定．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】0.27．
【分析】根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值．
【解答】解：小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近，
因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27，
故答案为：0.27．
【点评】本题考查了由频率估计概率，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
8．（2025 珠海校级三模）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为 0.9 ．（结果保留小数点后一位）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据频率和概率的关系判断即可．
【解答】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出将冰壶“投掷到中心区域”的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
9．（2025秋 义县期中）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 10 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】10．
【分析】设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可
【解答】解：设红色小球x个，
根据题意，得：，
解得x＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可．
10．（2024秋 武胜县期末）做抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
“杯口朝上”的次数 5 15 99 158 302 599 1001
“杯口朝上”的频率 0.100 0.150 0.198 0.198 0.201 0.200 0.200
估计抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为 0.2 （结果保留小数点后一位）．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】0.2．
【分析】根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．
【解答】解：∵随着实验次数的增加，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，
∴“杯口朝上”的概率为0.2，
故答案为：0.2．
【点评】本题考查用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
11．（2025秋 凌海市期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 12 个白球．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】用红球个数除以红球的频率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：由题意知，盒子中球的总个数约为3÷0.2＝15（个），
则盒子种白球个数约为15﹣3＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．（2024秋 花都区期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 16 个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8，
∴发现摸到白球的频率稳定于0.8，
设白球的个数有x个，
根据题意，得：0.8，
解得x＝16，
经检验x＝16是分式方程的解，
∴估计箱子里白球的个数为16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 咸阳期中）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求m的值．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】60．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：摸到黄球的频率稳定在20%，因此摸到黄球的概率为20%．
即 ，
解得m60．
∴m＝60．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄色乒乓球的频率得到相应的等量关系．
14．（2025秋 银川期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801
摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801
（1）上表中的a＝ 0.78 ，b＝ 158 ．
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 0.8 （精确到0.1）．
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）0.78；158；
（2）0.8；
（3）除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【解答】解：（1），b＝200×0.79＝158；
故答案为：0.78；158；
（2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.8，
∴摸到白球的概率估计值是0.8；
故答案为：0.8；
（3）12÷0.8﹣12＝3（个）；
答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
15．（2025春 深圳校级期末）THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161
（1）表中的a＝ 0.11 ，b＝ 33 ．
（2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是 0.16 （精确到0.01）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）0.11，33；
（2）0.16；
（3）560个．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，计算即可；
（2）利用频率估计概率即可得出答案；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）表中的a0.11，b＝200×0.165＝33；
故答案为：0.11，33；
（2）大量重复实验下，“抽到LABUBU”的概率的估计值是0.16；
故答案为：0.16；
（3）∵“抽到LABUBU”的概率为0.16，抽到其他三种角色的概率相同，
∴抽到ZIMOMO的概率为0.28，
∴2000×0.28＝560（个），
答：抽到ZIMOMO的次数是560个．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
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25.2.2频率与概率
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 桥西区期中）“二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，10cm×10cm的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．36cm2 B．60cm2 C．120cm2 D．200cm2
2．（2025秋 普陀区期中）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A．0.923 B．0.890 C．0.902 D．0.905
3．（2024秋 陈仓区期末）一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ）
A．3张 B．15张 C．5张 D．10张
4．（2025秋 神木市期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在0.4，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（ ）
A．18张 B．12张 C．10张 D．8张
5．（2025 榕城区模拟）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
6．（2024秋 莒南县期末）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 长沙期中）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如表是实验数据：
投掷次数 100 500 1000 5000 10000
相交次数 28 138 273 1354 2698
相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01）
8．（2025 珠海校级三模）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为 ．（结果保留小数点后一位）
9．（2025秋 义县期中）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 ．
10．（2024秋 武胜县期末）做抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
“杯口朝上”的次数 5 15 99 158 302 599 1001
“杯口朝上”的频率 0.100 0.150 0.198 0.198 0.201 0.200 0.200
估计抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为 （结果保留小数点后一位）．
11．（2025秋 凌海市期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 个白球．
12．（2024秋 花都区期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 咸阳期中）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求m的值．
14．（2025秋 银川期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801
摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801
（1）上表中的a＝ ，b＝ ．
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）．
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
15．（2025春 深圳校级期末）THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是 （精确到0.01）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？
25.2.2频率与概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 桥西区期中）“二维码”已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，10cm×10cm的正方形二维码，为了估计该二维码纸片中黑色阴影部分的面积，琪琪在该二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．36cm2 B．60cm2 C．120cm2 D．200cm2
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】B
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.6，即黑色阴影的面积占整个面积的0.6，据此求解即可．
【解答】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，
∴点落在黑色阴影的概率为0.6，
∴黑色阴影的面积占整个面积的0.6，
∵二维码打印在面积为10cm×10cm的正方形纸片上，
∴黑色阴影的面积为10×10×0.6＝60（cm2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，已知概率求数量，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值．
2．（2025秋 普陀区期中）某种幼树在相同条件下移植实验的结果如表：
移植总数n 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 369 662 1335 3203 6335 8073 12628
成活的频率 0.923 0.8829 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902
根据以上数据可以估计幼树成活的概率约为（ ）
A．0.923 B．0.890 C．0.902 D．0.905
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：由此表可以估计该种幼树移植成活的概率为0.902．
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比值．
3．（2024秋 陈仓区期末）一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，这些贺卡外观完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，那么估计盒子中“元旦”主题贺卡有（ ）
A．3张 B．15张 C．5张 D．10张
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用．
【答案】C
【分析】根据频率及概率的关系和题意可直接列式计算．
【解答】解：∵一个不透明的盒子里有“元旦”主题和“新年”主题的贺卡共20张，抽到“元旦”主题贺卡的频率稳定在25%，
∴25%×20＝5（张），
故选：C．
【点评】本题主要考查已知概率求数量，熟练掌握频率与概率的关系是解题的关键．
4．（2025秋 神木市期中）一个不透明的盒子里有“中秋”主题和“国庆”主题的贺卡共30张，这些贺卡的外观、大小、质地完全相同，每次抽卡前先将盒子里的贺卡洗匀，任意抽出一张贺卡记下主题后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，抽到“国庆”主题贺卡的频率稳定在0.4，则估计盒子中“中秋”主题贺卡有（ ）
A．18张 B．12张 C．10张 D．8张
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用抽到“中秋”主题贺卡的频率估计抽到“中秋”的概率，再根据频率＝频数÷总数进行计算即可．
【解答】解：30×（1﹣0.4）＝18（张），
故选：A．
【点评】本题考查利用频率估计概率，掌握频率＝频数÷总数是正确解答的关键．
5．（2025 榕城区模拟）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】B
【分析】分别求出白球、红球和黄球被取到的概率，再结合图表给出某种颜色的球出现的频率即可得到问题的选项．
【解答】解：∵不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，
∴白球被取得的概率，红球被取得的概率，黄球被取得的概率，
由频率图可知，某球被取得的频率大约在0.2左右波动，接近黄球被取得的概率，
故选：B．
【点评】本题考查频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．
6．（2024秋 莒南县期末）如图，是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面是根据实验结果所作出的四个推断，其中合理的是（ ）
A．当投掷次数是1000时，“钉尖向上”的次数是620
B．当投掷第1000次时，“钉尖向上”的概率是0.620
C．随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率趋近于0.618，故可以估计其概率是0.618
D．若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；几何直观．
【答案】C
【分析】根据图形和各个选项的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是1000时，此次计算机记录“钉尖向上”的频率是0.620，故此次次数约是1000×0.620＝620，选项A符合题意；
当投掷次数是1000时，此时“钉尖向上”的频率是0.620，但“钉尖向上”的概率不一定是0.620，选项B不合题意；
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．选项C符合题意；
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 长沙期中）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，如表是实验数据：
投掷次数 100 500 1000 5000 10000
相交次数 28 138 273 1354 2698
相交频率 0.28 0.276 0.273 0.2708 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 0.27 ．（精确到0.01）
【考点】利用频率估计概率；平行线的判定．
【专题】统计与概率；运算能力．
【答案】0.27．
【分析】根据频率与概率的关系，大量重复试验中频率的稳定值可作为概率的估计值．
【解答】解：小针与平行线相交的频率逐渐稳定在0.27附近，
因此可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27，
故答案为：0.27．
【点评】本题考查了由频率估计概率，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
8．（2025 珠海校级三模）某冰壶运动队的队员们要反复训练在无阻碍的情况下，将冰壶准确投掷到大本营的中心区域，现将其平时训练的结果统计如下：
投掷次数 20 40 100 200 400 1000
“投掷到中心区域”的频数 15 34 88 184 356 910
“投掷到中心区域”的频率 0.75 0.85 0.88 0.92 0.89 0.91
估计这支运动队在无阻碍情况下将冰壶“投掷到中心区域”的概率为 0.9 ．（结果保留小数点后一位）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据频率和概率的关系判断即可．
【解答】解：在大量重复试验中，根据频率估计概率的方法可估计出将冰壶“投掷到中心区域”的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点评】本题主要考查频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解题的关键．
9．（2025秋 义县期中）在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为 10 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】10．
【分析】设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可
【解答】解：设红色小球x个，
根据题意，得：，
解得x＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，设红色小球x个，由题意可知摸到红色小球的概率为0.4，再根据概率公式列出方程，求出答案即可．
10．（2024秋 武胜县期末）做抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下数据：
抛掷次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
“杯口朝上”的次数 5 15 99 158 302 599 1001
“杯口朝上”的频率 0.100 0.150 0.198 0.198 0.201 0.200 0.200
估计抛掷一只纸杯，“杯口朝上”的概率为 0.2 （结果保留小数点后一位）．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】0.2．
【分析】根据通过大量实验，某事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数可作为此事件发生的概率求解即可．
【解答】解：∵随着实验次数的增加，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.2左右，
∴“杯口朝上”的概率为0.2，
故答案为：0.2．
【点评】本题考查用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
11．（2025秋 凌海市期中）在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有 12 个白球．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】用红球个数除以红球的频率求出球的总个数，继而可得答案．
【解答】解：由题意知，盒子中球的总个数约为3÷0.2＝15（个），
则盒子种白球个数约为15﹣3＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．（2024秋 花都区期末）一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 16 个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
【解答】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8，
∴发现摸到白球的频率稳定于0.8，
设白球的个数有x个，
根据题意，得：0.8，
解得x＝16，
经检验x＝16是分式方程的解，
∴估计箱子里白球的个数为16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 咸阳期中）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求m的值．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】60．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：摸到黄球的频率稳定在20%，因此摸到黄球的概率为20%．
即 ，
解得m60．
∴m＝60．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄色乒乓球的频率得到相应的等量关系．
14．（2025秋 银川期中）在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 78 123 b 402 644 801
摸到白球的频率 a 0.82 0.79 0.804 0.805 0.801
（1）上表中的a＝ 0.78 ，b＝ 158 ．
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 0.8 （精确到0.1）．
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）0.78；158；
（2）0.8；
（3）除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
【分析】（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【解答】解：（1），b＝200×0.79＝158；
故答案为：0.78；158；
（2）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.8，
∴摸到白球的概率估计值是0.8；
故答案为：0.8；
（3）12÷0.8﹣12＝3（个）；
答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
15．（2025春 深圳校级期末）THEMONSTERS（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩IP，主要角色为LABUBU、ZIMOMO、MOKOKO、TYCOCO等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到LABUBU获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到LABUBU的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到LABUBU的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161
（1）表中的a＝ 0.11 ，b＝ 33 ．
（2）“抽到LABUBU”的概率的估计值是 0.16 （精确到0.01）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除LABUBU外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到ZIMOMO的次数是多少个？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）0.11，33；
（2）0.16；
（3）560个．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数，计算即可；
（2）利用频率估计概率即可得出答案；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）表中的a0.11，b＝200×0.165＝33；
故答案为：0.11，33；
（2）大量重复实验下，“抽到LABUBU”的概率的估计值是0.16；
故答案为：0.16；
（3）∵“抽到LABUBU”的概率为0.16，抽到其他三种角色的概率相同，
∴抽到ZIMOMO的概率为0.28，
∴2000×0.28＝560（个），
答：抽到ZIMOMO的次数是560个．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
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