25.2.3 列举所有机会均等的结果（同步练习·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 25.2.3 列举所有机会均等的结果（同步练习·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 18:50:07 | ||
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文档简介
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25.2.3列举所有机会均等的结果
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 历下区期中）趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋 咸阳期中）编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025 武汉模拟）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 高新区期末）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子．小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 城关区校级期末）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025秋 酒泉期中）某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 东港市期中）将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ．
8．（2025 宁夏）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
9．（2025 滑县二模）造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是 ．
10．（2025春 郫都区校级期中）为庆祝西南大学附属中学110周年，该校准备举办音乐庆典活动，现从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，恰好选中一个男生和一个女生的概率是 ．
11．（2025秋 萨尔图区校级期中）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中A，B，C，D表示电路的开关（同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ．
12．（2025春 宝应县期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中 的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鼓楼区校级期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率．
14．（2025秋 兰州校级期中）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C、D，E三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫作化学变化（B、D、E）．
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到物理变化的概率是 ；
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率．
15．（2025秋 兰州校级期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你12元钱的奖品．
（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
（2）求出获奖的概率；
（3）如果有100个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？
25.2.3列举所有机会均等的结果
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 历下区期中）趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他能游览趵突泉的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将趵突泉、大明湖和千佛山分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，C）
C （C，A） （C，B）
共有6种等可能的结果，其中他能游览趵突泉的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种，
∴他能游览趵突泉的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
2．（2025秋 咸阳期中）编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，作树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，随机选择2个试管，溶液都为紫色的结果数有2种，
∴溶液都为紫色的概率是．
故选：D．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
3．（2025 武汉模拟）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
男 女 女 女
男 （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
4．（2024秋 高新区期末）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子．小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】用树状图表示从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：左侧的绳头分别用A、B、C表示，右侧的绳头分别用a、b、c表示，
从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子，用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现结果，其中恰好选中同一根绳子的有3种，
所以恰好选中同一根绳子的概率为 ，
故选：A．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
5．（2024秋 城关区校级期末）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
6．（2025秋 酒泉期中）某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：将《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲分别用A，B，C，D表示，
选择两首歌曲的情况如图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》两首歌曲的有2种，
则恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率，
故选：C．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，画出树状图展示所有等可能的结果是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 东港市期中）将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两次摸出的球上的汉字组成“东港”的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“东港”的结果数为2，
所以两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8．（2025 宁夏）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“器乐文艺社团”、“舞蹈文艺社团”、“声乐文艺社团”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，
∴他们恰好参加同一社团的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2025 滑县二模）造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示，
根据题意画图如下：
由树状图可知，抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（2025春 郫都区校级期中）为庆祝西南大学附属中学110周年，该校准备举办音乐庆典活动，现从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，恰好选中一个男生和一个女生的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】画树状图得出所有等可能结果与恰好选中一个男生、一个女生的结果数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，作树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2个学生恰好是一个男生和一个女生的结果有12种，
∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2025秋 萨尔图区校级期中）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中A，B，C，D表示电路的开关（同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用．
【答案】．
【分析】先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率．
【解答】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种．同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有AB、CD，共2种．
∴小灯泡L发光的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12．（2025春 宝应县期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中 白色 的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）．
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】用黑色小正方形和白色小正方形的个数分别除以正方形的总个数可得．
【解答】解：∵共有36个小正方形，其中黑色正方形的有16个，白色正方形有20个，
∴任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色小正方形的概率是，
任意投掷飞镖一次，刚好击中白色小正方形的概率是，
∵，
∴击中白色的小正方形的概率较大．
故答案为：白色．
【点评】本题考查几何概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鼓楼区校级期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，
∴抽到决策类人工智能的卡片的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的结果有：（A，C），（A，D），（C，A），（C，D），（D，A），（D，C），共6种，
∴抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（2025秋 兰州校级期中）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C、D，E三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫作化学变化（B、D、E）．
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到物理变化的概率是 ；
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）列出表格，根据表格解答即可；
【解答】解：（1）由题意知，从乙口袋中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有1种，
∴概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
乙甲 C D E
A （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，C） （B，D） （B，E）
共有6种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有共2种，
∴概率．
【点评】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
15．（2025秋 兰州校级期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你12元钱的奖品．
（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
（2）求出获奖的概率；
（3）如果有100个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？
【考点】列表法与树状图法；有理数的混合运算；概率公式．
【专题】实数；概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
共有36种等可能的结果数；
（2）；
（3）100元．
【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可；
（2）先找出两次都摸白球的结果数，共9种，再根据概率公式计算即可；
（3）结合概率的知识，计算一定人数参与游戏时，摊主的盈利情况．
【解答】解：（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
共有36种等可能的结果数；
（2）前后两次摸得的都是白球的结果数为9，
所以概率；
（3）（元），
即如果有100个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走100元．
【点评】本题考查了概率的相关知识．熟练掌握概率的相关知识是解题的关键．
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25.2.3列举所有机会均等的结果
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 历下区期中）趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025秋 咸阳期中）编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025 武汉模拟）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 高新区期末）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子．小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 城关区校级期末）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025秋 酒泉期中）某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 东港市期中）将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ．
8．（2025 宁夏）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
9．（2025 滑县二模）造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是 ．
10．（2025春 郫都区校级期中）为庆祝西南大学附属中学110周年，该校准备举办音乐庆典活动，现从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，恰好选中一个男生和一个女生的概率是 ．
11．（2025秋 萨尔图区校级期中）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中A，B，C，D表示电路的开关（同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ．
12．（2025春 宝应县期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中 的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鼓楼区校级期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率．
14．（2025秋 兰州校级期中）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C、D，E三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫作化学变化（B、D、E）．
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到物理变化的概率是 ；
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率．
15．（2025秋 兰州校级期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你12元钱的奖品．
（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
（2）求出获奖的概率；
（3）如果有100个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？
25.2.3列举所有机会均等的结果
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2025秋 历下区期中）趵突泉、大明湖和千佛山是济南三大著名景点．若小明从这三个景点中随机选择两个景点游览，则他能游览趵突泉的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他能游览趵突泉的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将趵突泉、大明湖和千佛山分别记为A，B，C，
列表如下：
A B C
A （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，C）
C （C，A） （C，B）
共有6种等可能的结果，其中他能游览趵突泉的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种，
∴他能游览趵突泉的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
2．（2025秋 咸阳期中）编号为1、2、3、4的试管中分别装有4种溶液，4个试管外观完全相同，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，溶液都为紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【解答】解：将4个试管放入一个不透明的箱子中，打乱顺序后从中随机抽取2个试管，作树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，随机选择2个试管，溶液都为紫色的结果数有2种，
∴溶液都为紫色的概率是．
故选：D．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
3．（2025 武汉模拟）某校举办文艺汇演，在主持人选拔环节中，有一名男同学和三名女同学表现优异．若从以上四名同学中随机抽取两名同学担任主持人，则刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
男 女 女 女
男 （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一名男同学和一名女同学的结果有6种，
∴刚好抽中一名男同学和一名女同学的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
4．（2024秋 高新区期末）如图，在一段长管中放置三根完全相同的绳子．小明从左边随机选取一根绳子，小华从右边随机选取一根绳子，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】用树状图表示从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：左侧的绳头分别用A、B、C表示，右侧的绳头分别用a、b、c表示，
从左边随机选取一根绳子，再从右边随机选取一根绳子，用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现结果，其中恰好选中同一根绳子的有3种，
所以恰好选中同一根绳子的概率为 ，
故选：A．
【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
5．（2024秋 城关区校级期末）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种，
所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
6．（2025秋 酒泉期中）某班准备从《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲中任选两首进行排练，以参加市级合唱大赛，那么该班恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：将《我爱你中国》《我和我的祖国》《让世界充满爱》《在灿烂阳光下》四首歌曲分别用A，B，C，D表示，
选择两首歌曲的情况如图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》两首歌曲的有2种，
则恰好选中《我和我的祖国》和《在灿烂阳光下》这两首歌曲的概率，
故选：C．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，画出树状图展示所有等可能的结果是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2025秋 东港市期中）将分别标有汉字“鲜”“灵”“东”“港”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两次摸出的球上的汉字组成“东港”的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“东港”的结果数为2，
所以两次摸出的球上的汉字组成“东港”的概率．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
8．（2025 宁夏）为提升学生艺术素养，学校在周三同时开展了多种文艺社团活动．现从参加器乐、舞蹈和声乐这三个文艺社团的学生中随机抽取两名，他们恰好参加同一社团的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“器乐文艺社团”、“舞蹈文艺社团”、“声乐文艺社团”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，随机抽取两名恰好选择同一个社团的有3种情况，
∴他们恰好参加同一社团的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（2025 滑县二模）造纸术、指南针、火药、印刷术是我国古代四大发明．如图是秦奋同学收集的四大发明的不透明卡片，四张卡片除正面图案外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】解：印刷术、造纸术、火药和指南针分别用A、B、C、D表示，
根据题意画图如下：
由树状图可知，抽到的两张卡片恰好是“指南针”和“印刷术”的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（2025春 郫都区校级期中）为庆祝西南大学附属中学110周年，该校准备举办音乐庆典活动，现从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，恰好选中一个男生和一个女生的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】画树状图得出所有等可能结果与恰好选中一个男生、一个女生的结果数，再由概率公式求解即可．
【解答】解：从音乐团的2个男生和3个女生中选取2个同学参加表演，作树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2个学生恰好是一个男生和一个女生的结果有12种，
∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（2025秋 萨尔图区校级期中）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中A，B，C，D表示电路的开关（同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用．
【答案】．
【分析】先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率．
【解答】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种．同时闭合开关A与B或C与D，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有AB、CD，共2种．
∴小灯泡L发光的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．
12．（2025春 宝应县期末）如图，飞镖游戏中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中 白色 的小正方形的概率较大（填“黑色”或“白色”）．
【考点】几何概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】用黑色小正方形和白色小正方形的个数分别除以正方形的总个数可得．
【解答】解：∵共有36个小正方形，其中黑色正方形的有16个，白色正方形有20个，
∴任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色小正方形的概率是，
任意投掷飞镖一次，刚好击中白色小正方形的概率是，
∵，
∴击中白色的小正方形的概率较大．
故答案为：白色．
【点评】本题考查几何概率：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 鼓楼区校级期中）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
（1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到决策类人工智能的卡片的结果有1种，
∴抽到决策类人工智能的卡片的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的结果有：（A，C），（A，D），（C，A），（C，D），（D，A），（D，C），共6种，
∴抽取到的两张卡片中不含人工智能机器人的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（2025秋 兰州校级期中）九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A，B两张卡片，乙口袋中装有C、D，E三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（A、C）；生成其他物质的变化叫作化学变化（B、D、E）．
（1）若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到物理变化的概率是 ；
（2）从两个口袋中分别随机抽取1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）列出表格，根据表格解答即可；
【解答】解：（1）由题意知，从乙口袋中随机抽取1张卡片，共有3种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有1种，
∴概率是，
故答案为：；
（2）列表如下：
乙甲 C D E
A （A，C） （A，D） （A，E）
B （B，C） （B，D） （B，E）
共有6种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有共2种，
∴概率．
【点评】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．
15．（2025秋 兰州校级期中）在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其他均相同）放在口袋里，让你摸球．规定：每次付4元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你12元钱的奖品．
（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果；
（2）求出获奖的概率；
（3）如果有100个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走多少钱？
【考点】列表法与树状图法；有理数的混合运算；概率公式．
【专题】实数；概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
共有36种等可能的结果数；
（2）；
（3）100元．
【分析】（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可；
（2）先找出两次都摸白球的结果数，共9种，再根据概率公式计算即可；
（3）结合概率的知识，计算一定人数参与游戏时，摊主的盈利情况．
【解答】解：（1）通过列表的方式列举出所有可能的摸球结果即可，列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
共有36种等可能的结果数；
（2）前后两次摸得的都是白球的结果数为9，
所以概率；
（3）（元），
即如果有100个人每人各玩一局，摊主可能会从这些人身上骗走100元．
【点评】本题考查了概率的相关知识．熟练掌握概率的相关知识是解题的关键．
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