第22章 一元二次方程（单元测试·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 第22章 一元二次方程（单元测试·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 00:00:00 | ||
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文档简介
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第22章 一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 南昌期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
2．（2025秋 大兴区期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
3．（2025秋 仓山区期中）福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．50（1+2x）＝60.5 B．50（1+x2）＝60.5
C．50（1+x）2＝60.5 D．60.5（1﹣x）2＝50
4．（2025秋 高明区期中）用公式法解方程2x2+7x﹣5＝0时，得，则“□”处应填（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
5．（2025秋 仓山区期中）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
6．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
7．（2025秋 南开区期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，长比宽多12步，问宽和长各几步？设宽为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．2x+2（x+12）＝864
8．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 江门校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．
10．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
11．（2025秋 南昌期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+4＝0的一个解，则m的值是 ．
12．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ．三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 龙华区期中）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x（x﹣2）﹣x＝4．
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
15．（2025秋 南山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售40个，5月份销售64个，3月份到5月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为25元/个，商家经过调查统计，当售价为35元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
第22章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 南昌期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解得定义进行判断．
【解答】解：把x＝﹣2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a﹣2b+c＝0，
所以方程必有一根为x＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2025秋 大兴区期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果．
【解答】解：由条件可知m≠0且Δ＞0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4 m 1＝4﹣4m，
∴4﹣4m＞0，解得：m＜1，
综上，m＜1且m≠0，
只有C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025秋 仓山区期中）福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．50（1+2x）＝60.5 B．50（1+x2）＝60.5
C．50（1+x）2＝60.5 D．60.5（1﹣x）2＝50
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：50（1+x）2＝60.5，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2025秋 高明区期中）用公式法解方程2x2+7x﹣5＝0时，得，则“□”处应填（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【考点】解一元二次方程﹣公式法；二次根式的乘除法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到a＝2，b＝7，c＝﹣5，然后代入求根公式即可．
【解答】解：2x2+7x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣5，
∴x，
∴“□”处应填﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，关键是熟记一元二次方程的求根公式．
5．（2025秋 仓山区期中）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝2，mn＝﹣1，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴2，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
6．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】B．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵x2﹣2kx＝4x﹣1不含x的一次项，
∴﹣2k﹣4＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
7．（2025秋 南开区期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，长比宽多12步，问宽和长各几步？设宽为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．2x+2（x+12）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由长和宽之间的关系可得出长为（x+12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵设宽为x步，长比宽多12步，
∴长为（x+12）步，
依题意，得：x（x+12）＝864．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据新定义得到x （x﹣k）﹣2×4＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x （x﹣k）﹣2×4＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 江门校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和．
【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则是解题的关键．
10．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 1200（1+x）2＝1452 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1200（1+x）2＝1452．
【分析】设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：1200（1+x）2＝1452，
故答案为：1200（1+x）2＝1452．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
11．（2025秋 南昌期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+4＝0的一个解，则m的值是 5 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx+4＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+4＝0得：1﹣m+4＝0，
解得：m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，掌握一元二次方程解的定义和解一元一次方程的方法是解题的关键．
12．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ﹣8 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 龙华区期中）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x（x﹣2）﹣x＝4．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）；
（3）x1＝4，x2＝﹣1
【分析】（1）直接开平方得出两个一元一次方程，解这两个方程即可得答案；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
直接开平方得：x﹣2＝±3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴，
∴．
（3）x（x﹣2）﹣x＝4
x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）△ABC的周长是9．
【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣2）2≥0，进而可证出：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）将k＝4代入原方程，可得出原方程为x2﹣6x+8＝0，利用根与系数的关系，可得出b+c＝6，再结合三角形的周长公式，即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当k＝4时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
∵b，c是这个方程的两个根，
∴b+c＝6，
∴a+b+c＝3+6＝9．
答：△ABC的周长是9．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为，两根之积等于”．
15．（2025秋 南山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售40个，5月份销售64个，3月份到5月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为25元/个，商家经过调查统计，当售价为35元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率约为26.5%；
（2）该品牌头盔每个售价应定为45元．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售40个，5月份销售64个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔每个售价应定为y元，则月销售量为[400﹣10（y﹣35）]个，根据为使月销售利润达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意得：40（1+x）2＝64，
解得：x1≈0.265＝26.5%，x2≈﹣2.265（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率约为26.5%；
（2）设该品牌头盔每个售价应定为y元，则月销售量为[400﹣10（y﹣35）]个，
根据题意得：（y﹣25）[400﹣10（y﹣35）]＝6000，
整理得：y2﹣100y+2475＝0，
解得：y1＝545，y2＝55，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝45，
答：该品牌头盔每个售价应定为45元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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第22章 一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 南昌期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
2．（2025秋 大兴区期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
3．（2025秋 仓山区期中）福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．50（1+2x）＝60.5 B．50（1+x2）＝60.5
C．50（1+x）2＝60.5 D．60.5（1﹣x）2＝50
4．（2025秋 高明区期中）用公式法解方程2x2+7x﹣5＝0时，得，则“□”处应填（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
5．（2025秋 仓山区期中）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
6．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
7．（2025秋 南开区期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，长比宽多12步，问宽和长各几步？设宽为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．2x+2（x+12）＝864
8．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 江门校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 ．
10．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
11．（2025秋 南昌期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+4＝0的一个解，则m的值是 ．
12．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ．三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 龙华区期中）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x（x﹣2）﹣x＝4．
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
15．（2025秋 南山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售40个，5月份销售64个，3月份到5月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为25元/个，商家经过调查统计，当售价为35元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
第22章 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025秋 南昌期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0中的a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则方程必有根（ ）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解得定义进行判断．
【解答】解：把x＝﹣2代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得4a﹣2b+c＝0，
所以方程必有一根为x＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．（2025秋 大兴区期中）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果．
【解答】解：由条件可知m≠0且Δ＞0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4 m 1＝4﹣4m，
∴4﹣4m＞0，解得：m＜1，
综上，m＜1且m≠0，
只有C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025秋 仓山区期中）福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，根据题意，可列方程为（ ）
A．50（1+2x）＝60.5 B．50（1+x2）＝60.5
C．50（1+x）2＝60.5 D．60.5（1﹣x）2＝50
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：50（1+x）2＝60.5，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2025秋 高明区期中）用公式法解方程2x2+7x﹣5＝0时，得，则“□”处应填（ ）
A．﹣7 B．﹣5 C．5 D．7
【考点】解一元二次方程﹣公式法；二次根式的乘除法．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到a＝2，b＝7，c＝﹣5，然后代入求根公式即可．
【解答】解：2x2+7x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝7，c＝﹣5，
∴x，
∴“□”处应填﹣7，
故选：A．
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，关键是熟记一元二次方程的求根公式．
5．（2025秋 仓山区期中）已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝2，mn＝﹣1，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴2，
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
6．（2025秋 长治期中）若关于x的方程x2﹣2kx＝4x﹣1化成一般形式后不含有x的一次项，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】B．
【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵x2﹣2kx＝4x﹣1不含x的一次项，
∴﹣2k﹣4＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
7．（2025秋 南开区期中）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，长比宽多12步，问宽和长各几步？设宽为x步，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣12）＝864 B．2x+2（x﹣12）＝864
C．x（x+12）＝864 D．2x+2（x+12）＝864
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；数学常识．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由长和宽之间的关系可得出长为（x+12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵设宽为x步，长比宽多12步，
∴长为（x+12）步，
依题意，得：x（x+12）＝864．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2025秋 宣化区期中）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算ad﹣bc，例如：4×6﹣1×2＝22，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据新定义得到x （x﹣k）﹣2×4＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x （x﹣k）﹣2×4＝0，
整理得x2﹣kx﹣8＝0，
∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
二．填空题（共4小题）
9．（2025秋 江门校级期中）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2的值为 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和．
【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：
，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则是解题的关键．
10．（2025秋 朝阳区校级期中）杭州亚运会的吉祥物“江南忆”出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．经统计，某商店吉祥物“江南忆”6月份的销售量为1200件，8月份的销售量为1452件．设吉祥物“江南忆”6月份到8月份销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 1200（1+x）2＝1452 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1200（1+x）2＝1452．
【分析】设月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程即可．
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：1200（1+x）2＝1452，
故答案为：1200（1+x）2＝1452．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键．
11．（2025秋 南昌期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣mx+4＝0的一个解，则m的值是 5 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx+4＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+4＝0得：1﹣m+4＝0，
解得：m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，掌握一元二次方程解的定义和解一元一次方程的方法是解题的关键．
12．（2025秋 长治期中）一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝ ﹣8 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣8．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025秋 龙华区期中）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣2x﹣1＝0；
（3）x（x﹣2）﹣x＝4．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）；
（3）x1＝4，x2＝﹣1
【分析】（1）直接开平方得出两个一元一次方程，解这两个方程即可得答案；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
直接开平方得：x﹣2＝±3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴，
∴．
（3）x（x﹣2）﹣x＝4
x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
14．（2025秋 固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）△ABC的周长是9．
【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣2）2≥0，进而可证出：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）将k＝4代入原方程，可得出原方程为x2﹣6x+8＝0，利用根与系数的关系，可得出b+c＝6，再结合三角形的周长公式，即可求出结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k
＝k2+4k+4﹣8k
＝（k﹣2）2≥0，
∴k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当k＝4时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
∵b，c是这个方程的两个根，
∴b+c＝6，
∴a+b+c＝3+6＝9．
答：△ABC的周长是9．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为，两根之积等于”．
15．（2025秋 南山区期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售40个，5月份销售64个，3月份到5月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为25元/个，商家经过调查统计，当售价为35元/个时，月销售量为400个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率约为26.5%；
（2）该品牌头盔每个售价应定为45元．
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售40个，5月份销售64个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设该品牌头盔每个售价应定为y元，则月销售量为[400﹣10（y﹣35）]个，根据为使月销售利润达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意得：40（1+x）2＝64，
解得：x1≈0.265＝26.5%，x2≈﹣2.265（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率约为26.5%；
（2）设该品牌头盔每个售价应定为y元，则月销售量为[400﹣10（y﹣35）]个，
根据题意得：（y﹣25）[400﹣10（y﹣35）]＝6000，
整理得：y2﹣100y+2475＝0，
解得：y1＝545，y2＝55，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝45，
答：该品牌头盔每个售价应定为45元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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