第23章 图形的相似（单元测试·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 第23章 图形的相似（单元测试·含解析）2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-29 18:48:44 | ||
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文档简介
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第23章 图形的相似
一．选择题（共4小题）
1．（2025秋 历下区期中）如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的，已知直线l被这五条平行线所截，若线段AC＝9，则线段AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025秋 历下区期中）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋 长治期中）如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
4．（2025秋 长治期中）如图，每个小正方形的边长均为1，在△ABC中（其中B，C为网格格点），D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共6小题）
5．（2025秋 桥西区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝3，则BC＝ ．
6．（2025秋 镇海区校级期中）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12，高AD＝10．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为 ．
7．（2025秋 兰州校级期中）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AB＝4，则BC的长为 ．（结果保留根号）
8（2025秋 宣化区期中）如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为 ．
9．（2025秋 龙华区期中）如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，AC与DM交于点O，则的值为 ，若阴影部分的面积为3，则正方形ABCD的边长是 ．
10．（2025秋 邓州市期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB于E，FH⊥AD于F．EG＝15里，HG经过点A，则FH为 里．
三．解答题（共3小题）
11．（2025秋 昌平区期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O．
（1）图中有 对相似三角形；
（2）连接DE，试判断△ODE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由．
12．（2025秋 邓州市期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝100cm，高AD＝50cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ cm；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：3，求这个矩形的面积．
13．（2025 鲤城区校级模拟）请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．
素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m．
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域．
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．
第23章 图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2025秋 历下区期中）如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的，已知直线l被这五条平行线所截，若线段AC＝9，则线段AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过点A作AE⊥过点C的平行横线于E，交过点B的平行横线于D，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可求出AB．
【解答】解：过点A作AE⊥过点C的平行横线于E，交过点B的平行横线于D，
∵BD∥CE，
∴，即，
解得：AB＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
2．（2025秋 历下区期中）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】黄金分割．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
所以．
因为AB的长为8，
所以AP．
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
3．（2025秋 长治期中）如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意可得：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，从而可得∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，然后证明△FBC∽△GBA，利用相似三角形的性质求出BC的长，最后证明△FBC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：由题意得：∠FBC＝∠GBA，：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，
∴∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，
∴△FBC∽△GBA，
∴，
∴，
解得BC＝3，
∵∠FBC＝∠EBD，
∴△FBC∽△EBD，
∴，
∴，
解得DE＝4米．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2025秋 长治期中）如图，每个小正方形的边长均为1，在△ABC中（其中B，C为网格格点），D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求解．
【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，
∴BC5，
又∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴DE，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟记勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
5．（2025秋 桥西区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝3，则BC＝ 9 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】9．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再求出两个三角形的相似比，由DE的长和对应关系可求出BC．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴，
∵DE∥BC，DE＝3，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：BC＝9（经检验，是分式方程的根，且符合题意），
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，找到BC对的应边和确定两个三角形的相似比是解决本题的关键．
6（2025秋 镇海区校级期中）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12，高AD＝10．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为 ．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到∠APM＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：设正方形边长MN为a，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠APM＝∠ADB＝90°，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴a，
即正方体的棱长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7．（2025秋 兰州校级期中）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AB＝4，则BC的长为 ．（结果保留根号）
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】．
【分析】设BC＝x，则AC＝BD＝4﹣x，利用黄金分割点可以得到成比例线段，即有x2＝4（4﹣x），然后解方程即可求解．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝BD＝4﹣x，
∵C、D两点都是线段AB的黄金分割点，
∴，
∴BC2＝AB BD，
∴x2＝4（4﹣x），整理得x2+4x﹣16＝0，
解得：，（舍去），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割点是解题的关键．
8．（2025秋 宣化区期中）如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为 4m ．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】4m．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，推出△ASG∽△PQM，据此求解即可．
【解答】解：作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，
∴BS＝GR＝0.2×2＝0.4（m），PQ＝0.2×3＝0.6，
∴RC＝2×0.4＝0.8（m），
∴SG＝BR＝BC+RC＝1.9+0.8＝2.7（m），
由题意得△ASG∽△PQM，
∴，即，
∴AS＝3.6（m），
∴AB＝AS+BS＝3.6+0.4＝4（m），
故答案为：4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
9．（2025秋 龙华区期中）如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，AC与DM交于点O，则的值为 ，若阴影部分的面积为3，则正方形ABCD的边长是 3 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】，3．
【分析】根据正方形的性质得出△AOM∽△COD，进而得出，根据阴影部分面积求出，再根据中线的性质得出S△ABC＝9，得出正方形ABCD的面积为18，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵M是AB的中点，
∴，
∵AB∥CD，
∴△AOM∽△COD，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴S正方形ABCD＝2S△ABC＝18，
∴若阴影部分的面积为3，边长为．
故答案为：，．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
10．（2025秋 邓州市期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB于E，FH⊥AD于F．EG＝15里，HG经过点A，则FH为 1.05 里．
【考点】相似三角形的应用；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】1.05．
【分析】证明△HFA∽△AEG，得，即可求出FH的长．
【解答】解：由题意可知，AEAB＝4.5里，AFAD＝3.5里，
∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°，
∴FA∥EG，
∴∠HAF＝∠G，
∴△HFA∽△AEG，
∴，
即，
解得：FH＝1.05，
即FH为1.05里，
故答案为：1.05．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
11．（2025秋 昌平区期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O．
（1）图中有 6 对相似三角形；
（2）连接DE，试判断△ODE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）相似，
证明：∵BD、CE分别为△ABC的两条高，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∴，
∵∠BOC＝∠EOD，
∴△ODE∽△OCB．
【分析】（1）通过分析三角形的角的关系，找出满足相似三角形判定条件的组合，共得到6对相似三角形；
（2）先由高的性质和对顶角相等证明△BOE∽△COD，推出比例关系，再结合角相等，证明△ODE∽△OCB．
【解答】解：（1）题图中相似三角形有△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△COD∽△CAE，△COD∽△BAD，△BEO∽△BDA，△BOE∽△CAE，
共6对．
故答案为6；
（2）相似；
证明：∵BD、CE分别为△ABC的两条高，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∴
∵∠BOC＝∠EOD，
∴△ODE∽△OCB．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，属于中档题．
12.（2025秋 邓州市期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝100cm，高AD＝50cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ 50 cm；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：3，求这个矩形的面积．
【考点】相似三角形的应用；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）50；
（2）1200cm2．
【分析】（1）由矩形的性质得PQ∥BC，再证明△APQ∽△ABC，得，即可得出结论；
（2）设PN＝xcm，则PQ＝3xcm，由矩形的性质得PQ∥BC，再证明△APQ∽△ABC，得，进而求出x＝20，则3x＝60，然后由矩形面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵四边形PQMN为矩形，
∴PQ∥BC，
∵点P恰好为AB中点，
∴AP＝BPAB，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴PQBC100＝50（cm），
故答案为：50；
（2）如图，设AD交PQ于点H，
设PN＝xcm，则PQ＝3xcm，
∵四边形PQMN为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
即，
解得：x＝20，
∴3x＝60，
即PN＝20cm，PQ＝60cm，
∴矩形PQMN的面积＝PQ PN＝60×20＝1200（cm2）．
【点评】本题考查了相似三角形的应用以及矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13.（2025 鲤城区校级模拟）请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．
素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m．
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域．
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 45 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据题意得到△FCD∽△FAB，，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，由此列式得到，即可求解；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC，，得MN0.57m，由此即可求解；
（2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解．
【解答】解：（1）①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE＝2m，DE＝0.5m，
∴BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5m，
∴△FCD∽△FAB，
∴，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，
∴，
∴FD＝3m，
检验，当FD＝3时，原方程的分母不为零，
∴FD＝3m，
∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5m；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7m，FD＝3m，MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3m，
∴△FMN∽△FDC，
∴，
∴MN0.57m，
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
（2）摩托车的速度为90km/h＝25m/s，
∴摩托车在1.2秒的反应时间里的路程为25×1.2＝30（m），
由题意可得：30+32﹣22+5＝45m，
∴摩托车应与小汽车至少保持45米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
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第23章 图形的相似
一．选择题（共4小题）
1．（2025秋 历下区期中）如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的，已知直线l被这五条平行线所截，若线段AC＝9，则线段AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025秋 历下区期中）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025秋 长治期中）如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
4．（2025秋 长治期中）如图，每个小正方形的边长均为1，在△ABC中（其中B，C为网格格点），D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共6小题）
5．（2025秋 桥西区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝3，则BC＝ ．
6．（2025秋 镇海区校级期中）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12，高AD＝10．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为 ．
7．（2025秋 兰州校级期中）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AB＝4，则BC的长为 ．（结果保留根号）
8（2025秋 宣化区期中）如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为 ．
9．（2025秋 龙华区期中）如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，AC与DM交于点O，则的值为 ，若阴影部分的面积为3，则正方形ABCD的边长是 ．
10．（2025秋 邓州市期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB于E，FH⊥AD于F．EG＝15里，HG经过点A，则FH为 里．
三．解答题（共3小题）
11．（2025秋 昌平区期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O．
（1）图中有 对相似三角形；
（2）连接DE，试判断△ODE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由．
12．（2025秋 邓州市期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝100cm，高AD＝50cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ cm；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：3，求这个矩形的面积．
13．（2025 鲤城区校级模拟）请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．
素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m．
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域．
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．
第23章 图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2025秋 历下区期中）如图，五线谱的基本结构是由五条等距离的平行线组成的，已知直线l被这五条平行线所截，若线段AC＝9，则线段AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】过点A作AE⊥过点C的平行横线于E，交过点B的平行横线于D，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可求出AB．
【解答】解：过点A作AE⊥过点C的平行横线于E，交过点B的平行横线于D，
∵BD∥CE，
∴，即，
解得：AB＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．
2．（2025秋 历下区期中）鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB的长为8，则AP的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】黄金分割．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：由题知，
因为已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
所以．
因为AB的长为8，
所以AP．
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
3．（2025秋 长治期中）如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题意可得：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，从而可得∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，然后证明△FBC∽△GBA，利用相似三角形的性质求出BC的长，最后证明△FBC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：由题意得：∠FBC＝∠GBA，：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，
∴∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，
∴△FBC∽△GBA，
∴，
∴，
解得BC＝3，
∵∠FBC＝∠EBD，
∴△FBC∽△EBD，
∴，
∴，
解得DE＝4米．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2025秋 长治期中）如图，每个小正方形的边长均为1，在△ABC中（其中B，C为网格格点），D，E分别为AB，AC的中点，则线段DE的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】三角形中位线定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求解．
【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，
∴BC5，
又∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴DE，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟记勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
5．（2025秋 桥西区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，若DE＝3，则BC＝ 9 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】9．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再求出两个三角形的相似比，由DE的长和对应关系可求出BC．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴，
∵DE∥BC，DE＝3，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
解得：BC＝9（经检验，是分式方程的根，且符合题意），
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，找到BC对的应边和确定两个三角形的相似比是解决本题的关键．
6（2025秋 镇海区校级期中）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC＝12，高AD＝10．若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为 ．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到∠APM＝∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：设正方形边长MN为a，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠APM＝∠ADB＝90°，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴a，
即正方体的棱长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
7．（2025秋 兰州校级期中）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若AB＝4，则BC的长为 ．（结果保留根号）
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】．
【分析】设BC＝x，则AC＝BD＝4﹣x，利用黄金分割点可以得到成比例线段，即有x2＝4（4﹣x），然后解方程即可求解．
【解答】解：设BC＝x，则AC＝BD＝4﹣x，
∵C、D两点都是线段AB的黄金分割点，
∴，
∴BC2＝AB BD，
∴x2＝4（4﹣x），整理得x2+4x﹣16＝0，
解得：，（舍去），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割点是解题的关键．
8．（2025秋 宣化区期中）如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为 4m ．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】三角形；图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】4m．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，推出△ASG∽△PQM，据此求解即可．
【解答】解：作GR⊥BM，GS⊥AB，则四边形BRGS是矩形，
∴BS＝GR＝0.2×2＝0.4（m），PQ＝0.2×3＝0.6，
∴RC＝2×0.4＝0.8（m），
∴SG＝BR＝BC+RC＝1.9+0.8＝2.7（m），
由题意得△ASG∽△PQM，
∴，即，
∴AS＝3.6（m），
∴AB＝AS+BS＝3.6+0.4＝4（m），
故答案为：4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
9．（2025秋 龙华区期中）如图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，AC与DM交于点O，则的值为 ，若阴影部分的面积为3，则正方形ABCD的边长是 3 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】，3．
【分析】根据正方形的性质得出△AOM∽△COD，进而得出，根据阴影部分面积求出，再根据中线的性质得出S△ABC＝9，得出正方形ABCD的面积为18，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵M是AB的中点，
∴，
∵AB∥CD，
∴△AOM∽△COD，
∴；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴S正方形ABCD＝2S△ABC＝18，
∴若阴影部分的面积为3，边长为．
故答案为：，．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．
10．（2025秋 邓州市期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB于E，FH⊥AD于F．EG＝15里，HG经过点A，则FH为 1.05 里．
【考点】相似三角形的应用；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】1.05．
【分析】证明△HFA∽△AEG，得，即可求出FH的长．
【解答】解：由题意可知，AEAB＝4.5里，AFAD＝3.5里，
∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°，
∴FA∥EG，
∴∠HAF＝∠G，
∴△HFA∽△AEG，
∴，
即，
解得：FH＝1.05，
即FH为1.05里，
故答案为：1.05．
【点评】本题主要考查了相似三角形的应用以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
11．（2025秋 昌平区期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别为△ABC的两条高，且交于点O．
（1）图中有 6 对相似三角形；
（2）连接DE，试判断△ODE与△OCB是否相似，若相似，请给予证明；若不相似，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】（1）6；
（2）相似，
证明：∵BD、CE分别为△ABC的两条高，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∴，
∵∠BOC＝∠EOD，
∴△ODE∽△OCB．
【分析】（1）通过分析三角形的角的关系，找出满足相似三角形判定条件的组合，共得到6对相似三角形；
（2）先由高的性质和对顶角相等证明△BOE∽△COD，推出比例关系，再结合角相等，证明△ODE∽△OCB．
【解答】解：（1）题图中相似三角形有△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△COD∽△CAE，△COD∽△BAD，△BEO∽△BDA，△BOE∽△CAE，
共6对．
故答案为6；
（2）相似；
证明：∵BD、CE分别为△ABC的两条高，
∴∠OEB＝∠ODC＝90°，
∵∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，
∴
∵∠BOC＝∠EOD，
∴△ODE∽△OCB．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，属于中档题．
12.（2025秋 邓州市期中）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝100cm，高AD＝50cm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ 50 cm；
（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：3，求这个矩形的面积．
【考点】相似三角形的应用；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）50；
（2）1200cm2．
【分析】（1）由矩形的性质得PQ∥BC，再证明△APQ∽△ABC，得，即可得出结论；
（2）设PN＝xcm，则PQ＝3xcm，由矩形的性质得PQ∥BC，再证明△APQ∽△ABC，得，进而求出x＝20，则3x＝60，然后由矩形面积公式列式计算即可．
【解答】解：（1）∵四边形PQMN为矩形，
∴PQ∥BC，
∵点P恰好为AB中点，
∴AP＝BPAB，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴PQBC100＝50（cm），
故答案为：50；
（2）如图，设AD交PQ于点H，
设PN＝xcm，则PQ＝3xcm，
∵四边形PQMN为矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
即，
解得：x＝20，
∴3x＝60，
即PN＝20cm，PQ＝60cm，
∴矩形PQMN的面积＝PQ PN＝60×20＝1200（cm2）．
【点评】本题考查了相似三角形的应用以及矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13.（2025 鲤城区校级模拟）请根据以下素材，完成探究任务：
【汽车盲区与行车安全实践】
素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．
素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m．
素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域．
问题解决
任务一 （1）①如图2，求车头盲区EF的长度； ②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 45 米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①根据题意得到△FCD∽△FAB，，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，由此列式得到，即可求解；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC，，得MN0.57m，由此即可求解；
（2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解．
【解答】解：（1）①根据题意，AB⊥BF，CD⊥BF，BE＝2m，DE＝0.5m，
∴BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5m，
∴△FCD∽△FAB，
∴，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，
∴，
∴FD＝3m，
检验，当FD＝3时，原方程的分母不为零，
∴FD＝3m，
∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5m；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，
∴FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7m，FD＝3m，MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3m，
∴△FMN∽△FDC，
∴，
∴MN0.57m，
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
（2）摩托车的速度为90km/h＝25m/s，
∴摩托车在1.2秒的反应时间里的路程为25×1.2＝30（m），
由题意可得：30+32﹣22+5＝45m，
∴摩托车应与小汽车至少保持45米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
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