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解直角三角形 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
2．Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将 ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'， M是BC的中点，P是A'B'的中点， 连接PM，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简 的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
5．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为（ ）米
A． B． C． D．
6．两根长度分别为5cm，9cm的钢条，下面为第三根的长，则可组成一个三角形框架的是（ ）
A．3cm B．4cm C．9cm D．14cm
7．如图，点 是矩形 的对角线 上一点，正方形 的顶点 、 都在边 上， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
9．如图，在中，，D为的中点，，则（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝4米，则AC的长度是 米．
12．一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为 ．
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ ，点E、F分别为AC和AB的中点，若EF＝ ，则CF＝ ．
14．如图，在中，，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若，则CD的长为 ．
15．已知a，b，c是的三边长，则代数式 0（填“＞”，“＜”或“=”）．
16．如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯，测量人员从点处测得吊灯顶端的仰角为，吊灯底端的仰角为，从点沿水平方向前进6米到达点，测得吊灯底端的仰角为，求吊灯的长度．（结果保留根号， 参考数据：，，）
18．如图，在中，，，，求的长．
19． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为边BC(除端点外)上的一点，设∠ADC=α，∠B=β.
（1）猜想 sinα与 sinβ之间的大小关系并证明.
（2）若D 为射线CB(除端点外)上一点，试猜想锐角α，β之间的大小关系与它们正弦值的规律.
20．“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.4， ≈1.7)
21．如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．
22．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳市文昌古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退12米至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（结果保留根号）.
23．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
24．如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒后，点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似
25．我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形．
（1）如图1，M是AB的中点，若ME=DG，AB=6，求CG的长．
（2）如图2，M是AB的中点，连结HF，EG交于点O，连结OM．
①求证：OM∥AD
②如图3，若AH=HE，取AD的中点N，连接ON，NG，MH，若，求的值.
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解直角三角形 单元模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知是锐角，，则的值为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：是锐角，，
.
故答案为：B.
【分析】若α与β互余，则sinα=cosβ，据此解答.
2．Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3 ，∴c=，∴cosA= = .
故答案为：.
【分析】本题主要考查的就是三角函数的求法，根据勾股定理可得：c=5，则根据余弦函数的计算方法即可得出答案。
3．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，将 ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C'， M是BC的中点，P是A'B'的中点， 连接PM，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，连接PC，
∵∠ACB=90°，BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
由旋转的性质可知： ， ，
∵P、M分别是 、BC的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴PM的最大值为3，且此时P、C、M三点共线.
故答案为：C.
【分析】连接PC，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=4，由旋转的性质可知： ∠A′CB′=∠ACB=90°，A′B′=AB=4，根据直角三角形斜边上中线的性质可得PC=A′B′=2，根据中点的概念可得CM=BC=1，根据两点之间，线段最短的性质可得PM的最小值为MC+PC，据此计算.
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，则化简 的结果为（ ）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣3c D．2a
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，c为斜边，a、b为直角边，
∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式=|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|
=a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）
=a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b
=﹣a﹣3b+3c．
故选B．
【分析】根据三角形三边的关系得到a+b＞c，a+c＞b，则根据二次根式的性质得原式=|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|=a﹣b+c+2（c﹣a﹣b），然后去括号后合并即可．
5．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是6米．若梯子与地面的夹角为，则梯子底端到墙面的距离的长为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵AB=6，∠A=∠α，∠C=90°
∴在Rt△ACB中cosα=
即：AC=AB·cosα=6·cosα
故答案为A
【分析】有直角三角形中余弦公式直接求解。
6．两根长度分别为5cm，9cm的钢条，下面为第三根的长，则可组成一个三角形框架的是（ ）
A．3cm B．4cm C．9cm D．14cm
【答案】C
【解析】【解答】解：设第三边的长为x
依题意得： ，
即 ，只有 符合.
故答案为：C.
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之和小于第三边，据此解答即可.
7．如图，点 是矩形 的对角线 上一点，正方形 的顶点 、 都在边 上， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠AHE=∠ABC=90°，∠HAE=∠BCA，
∴△AHE∽△CBA．
∴ ，设HE=3a，则AH=4a．
∴AG=7a，GF=3a．
∴tan∠GAF= ．
故答案为：A．
【分析】先证明△AHE∽△CBA，得到HE与AH的倍数关系，则可知GF与AG的倍数关系，从而求解tan∠GAF的值．
8．如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．75°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2=∠ACB=90°﹣∠1=50°．
故选B．
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2=∠ACB=90°﹣∠1的值．
9．如图，在中，，D为的中点，，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，D为的中点，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，即
∴.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠BCD=∠CBD，然后结合三角函数的概念进行计算.
10．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠CFB=∠ABF，
又∵CD=2AD，F为CD中点，
∴CF=DF=AD=BC，
∴∠CFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF，
故①正确.
②延长EF交BC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠FCG，
在△DEF和△CGF中，
∵ ，
∴△DEF≌△CGF（ASA），
∴EF=FG，
又∵BE⊥AD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=90°，
∴△BEG为直角三角形，
又∵F为EG中点，
∴EF=BF，
故②正确.
③由②知△DEF≌△CGF，
∴S△DEF=S△CGF，
∴S四DEBC=S△BEG，
又∵F为EG中点，
∴S△BEF=S△BGF，
∴S△BEG=2S△BEF，
即S四DEBC=2S△BEF，
故③正确.
④设∠FEB=x，
由②知EF=BF，
∴∠FBE=∠FEB=x，
∴∠BFE=180°-2x，
又∵∠BED=∠AED=∠EBC=90°，
∴∠DEF=∠CBF=90°-x，
∵CF=BC，
∴∠CFB=∠CBF=90°-x，
又∵∠CFE=∠CFB+∠BFE，
∴∠CFE=90°-x+180°-2x，
=270°-3x，
=3（90°-x），
=3∠DEF.
故④正确.
故答案为：D.
【分析】①根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，根据平行线的性质得∠CFB=∠ABF，由中点定义结合已知条件得CF=DF=AD=BC，根据等边对等角得∠CFB=∠CBF，等量代换即可得∠ABF=∠CBF，从而得①正确.
②延长EF交BC于点G，根据平行线的性质得∠D=∠FCG，根据全等三角形的判定ASA得△DEF≌△CGF，再由全等三角形的性质得EF=FG，根据平行线的性质和垂直定义得∠AEB=∠EBC=90°，故△BEG为直角三角形，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即知②正确.
③由②知△DEF≌△CGF，根据全等三角形的定义得S△DEF=S△CGF，S四DEBC=S△BEG，又F为EG中点得S△BEF=S△BGF，故S△BEG=2S△BEF，即S四DEBC=2S△BEF，得③正确.
④设∠FEB=x，由②知EF=BF，根据等边对等角得∠FBE=∠FEB=x，由三角形内角和得∠BFE=180°-2x，根据三角形内角和和等边对等角得∠CFB=∠CBF=90°-x，由∠CFE=∠CFB+∠BFE，代入数值化简即可得④正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝4米，则AC的长度是 米．
【答案】8
【解析】【解答】解：河坝的横断面的坡比是，
，
米，
米，
故答案为：8．
【分析】根据坡度的概念列式计算即可．
12．一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为 ．
【答案】20cm
【解析】【解答】解：（1）当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形．（2）当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20cm．
故这个等腰三角形的周长是20cm．
故答案为：20cm．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为4cm；（2）当等腰三角形的腰为8cm；两种情况讨论，从而得到其周长．
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ ，点E、F分别为AC和AB的中点，若EF＝ ，则CF＝ ．
【答案】2.5
【解析】【解答】解：∵点E、F分别为AC和AB的中点，EF＝ ，
∴EF是△ABC的中位线
∴BC＝2EF＝
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
在Rt△ABC中，点F为AB的中点，
∴CF＝ AB＝2.5，
故答案为：2.5．
【分析】先利用三角形中位线的性质求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质，可以求出CF的长。
14．如图，在中，，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若，则CD的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】∵点E，F分别为AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10，
∵， 点D分别为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5，
故答案为：5.
【分析】先利用三角形中位线的性质求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求出CD的长即可.
15．已知a，b，c是的三边长，则代数式 0（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】
【解析】【解答】解：将进行因式分解得：，
，，是的三边长，
根据三角形的三边关系可知：，，
∴，，
，
即，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式，先将原式变形为，，，是的三边长，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知：，，进而得出，即可得出答案．
16．如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 过点D作 于点M，过点F作 于点N，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴
又∵ ，D为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
①当点N在点D下方时，作图如下：(两图情况略有不同，但证明过程完全一致)
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∴此时，点F在直线 的右侧，且与 距离为 的直线上，这条直线与 平行，
②当点N在点D上方时，作图如下：
∵ ， ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ， ，
∴
∴ ，
∴此时，点F在直线 的右侧，且与 距离为 的直线上，这条直线与 平行，
③当点 与点 重合时，作图如下：
由图可知： ，
∴此时，点F在直线 的右侧，且与 距离为 的直线上，这条直线与 平行，
综上所述：点F在直线 的右侧，且与 距离为 的直线上，这条直线与 平行．
根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时， 最小，
即 ，
故答案为： ．
【分析】过点D作 于点M，点F作 于点N，分①点N在点D下方，②点N在点D上方，③点N与点D重合三种情况讨论，都可以得到 ，重合得到点F在直线 的右侧，且与 距离为 的直线上，这条直线与 平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时， 最小，重合得解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯，测量人员从点处测得吊灯顶端的仰角为，吊灯底端的仰角为，从点沿水平方向前进6米到达点，测得吊灯底端的仰角为，求吊灯的长度．（结果保留根号， 参考数据：，，）
【答案】解：延长与的延长线交于点，
，，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
【解析】【分析】 延长与的延长线交于点， 根据已知条件求得， 进而得到， 在中， 利用三角函数求得DE，BE的值，进而得到CE的值，最后再利用三角函数求得AE的值，从而求解.
18．如图，在中，，，，求的长．
【答案】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】先根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB的长，再根据勾股定理算出AC的长即可.
19． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 为边BC(除端点外)上的一点，设∠ADC=α，∠B=β.
（1）猜想 sinα与 sinβ之间的大小关系并证明.
（2）若D 为射线CB(除端点外)上一点，试猜想锐角α，β之间的大小关系与它们正弦值的规律.
【答案】（1）解：sinα>sinβ.
∴ sinα>sinβ
（2）解：当α>β时，sinα>sinβ；当α=β时，sinα=sinβ；当α<β时，sinα【解析】【分析】（1）根据正弦的定义比较大小即可；
（2）根据（1）中的结论得到规律即可.
20．“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.4， ≈1.7)
【答案】解： 过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知 AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°， ∵∠SAB＝37°，DB∥AS， ∴∠DBA＝37°， ∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°． ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°， ∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°． ∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°． ∵在Rt△AMB中， AB＝2海里，∠ABC＝60°， ∴BM＝1海里，AM＝ 海里． ∵在Rt△AMC中，tanC＝ ∴CM＝ ≈ ≈ ＝4.25（海里） ∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里） 答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．
【解析】【分析】
过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意可得AB＝2海里，∠CAB＝53°+45°＝98°，∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，利用三角形内角和，可求出∠C=22°.在Rt△AMB中， AB＝2海里，∠ABC＝60°，可得BM＝1海里，AM＝ 海里．在Rt△AMC中，tanC＝ ，可求出CM的长， 由CB=CM+BM
，从而求出BC的长.
21．如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点D距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．
【答案】解：先过点B作BG⊥DE于点G．
∵DE⊥CE，EC⊥CF，DF⊥AC，
∴四边形DECF是矩形，
∵BC=1m，DE=2m，
∴EG=BC=1m，DG=BF=1m，
在Rt△DBF中，
∵∠BDF=30°，BF=1m，
∴DF= = = ，
同理，在Rt△ADF中，
∵∠ADF=60°，DF= ，
∴AF=DF tan60°= × =3m．
∴AB=AF+BF=3+1=4m．
答：壁画AB的高度是4米．
【解析】【分析】先过点B作BG⊥DE于点G，由于DE⊥CE，EC⊥CE，DF⊥AC，故四边形DECF是矩形，BC=1m，DE=2m，所以EG=BC=1m，故DG=BF=1m，在Rt△DBF中，由锐角三角函数的定义可求出DF的长，同理在Rt△ADF中由锐角三角函数的定义可求出AF的长，根据AB=AF+BF即可得出结论．
22．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量祁阳市文昌古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退12米至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度（结果保留根号）.
【答案】解：根据题意得，，，
在中，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
解得.
答：古塔的高为.
【解析】【分析】根据题意得∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m，易得△ABD为等腰直角三角形，则AB=BD，根据三角函数的概念可得BC=BD，然后根据BC-AB=AC就可求出BD的值.
23．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
【答案】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10 ，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=10 × =5 ，CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5 ，∴CD=CM﹣MD=15﹣5 ．
【解析】【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据三角形的内角和正切函数的定义得出∠ABC的度数，BC的长度，根据两平行线的性质由锐角三角函数得出BMBC×sin30°，CM=BC×cos30°，再根据等腰直角三角形的性质得出MD=BM，进而根据线段的和差得出结论。
24．如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒后，点P、B、Q构成的三角形△PBQ与△ABC相似
【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP=t，BQ=2t，
∵AB=4，BC=8，
∴BP=AB-AP=4-t，
①当△PBQ∽△ABC时，
∴，
即，
解得：t=2；
②当△PBQ∽△CBA时，
∴，
即，
解得：t=；
综上所述：经过2秒或秒，△PBQ与△ABC相似.
【解析】【分析】根据题意可得AP=t，BQ=2t，BP=4-t，分情况讨论：①当△PBQ∽△ABC时，②当△PBQ∽△CBA时，根据相似三角形的性质分别列出方程，解之即可得出答案.
25．我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形．
（1）如图1，M是AB的中点，若ME=DG，AB=6，求CG的长．
（2）如图2，M是AB的中点，连结HF，EG交于点O，连结OM．
①求证：OM∥AD
②如图3，若AH=HE，取AD的中点N，连接ON，NG，MH，若，求的值.
【答案】（1）解：∵ △ABE是直角三角形，点M是AB中点，
∴ ME=AB=3，
∴ DG=ME=3，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ CD=AB=6，
∴ 在Rt△CDG中，CG=；
（2）解：①连结OB，OD，
∵OE=OG，BE=DG，∠BEO=∠DGO，
∴△BOE≌△DOG（SAS），
∴∠BOE=∠DOG，OB=OD，
∴B，O，D三点共线，
∵点M是AB中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM∥AD，
②∵AH=HE，M是AB中点，
∴MH是△ABE的中位线，
∴MH∥BE，BE=2MH，
设ON与MD交于点K，作△MOH的高h1，△NKG的高h2，
可知，h1=h2
∵，，
又∵，∴.
设MH=2x，KG=3x，则BE=DG=2MH=4x，
∴KD=KM=7x，∴HK=5x，∴HG=8x，
.
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得ME的长，再根据平行四边形的性质可得CD，根据勾股定理即可求得CG；
（2）①连结OB，OD，根据SAS判定△BOE≌△DOG推出B，O，D三点共线，OB=OD，根据三角形的中位线的性质即可求得OM∥AD；
②根据三角形的中位线的性质可得MH∥BE，BE=2MH，设ON与MD交于点K，作△MOH的高h1，△NKG的高h2，根据题意可推出，设MH=2x，KG=3x，表示出HG与DG，求比值即可.
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