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第二十四章 圆 单元专项提分测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，则∠BOD＝（ ）
A．80° B．50° C．160° D．100°
2．如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，点为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，2，则的值是（ ）.
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
4．下面的四个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径．
④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③④ C．②③ D．②④
5．已知⊙O的直径AB=8cm，点C在⊙O上，且∠B0C=60°，则AC的长为（ ）
A．4cm B．4 cm C．5cm D．2.5cm
6．如图，已知是圆O的直径，点C，D在圆O上，且，则度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点．过点的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦长是整数值的条数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，O为圆心， 是直径， 是半圆上的点， 是 上的点.若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若＝64°，则∠CBA的度数为（ ）
A．32° B．64° C．68° D．58°
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD= ．
13．如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，，，则的长为 .
14．已知 的半径为1，AB是 的弦， ，P为 外一点，且PA切 于点A， ，则线段PB的长为 ．
15．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的☉A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是 .
16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG.则CG的最小值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 和 是否相等，并说明理由．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
19． 如图， AB是⊙O的直径， CD是⊙O的弦， 如果∠ADC=30°.
（1） 求∠BAC 的度数.
（2） 若AC=3， 求BC的长.
20．如图，AB为 的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交 于点D，过点D作 的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥DE：
（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。
21．如下是小华设计的“作 的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤 作法 推断
第一步 在 上任取一点C，以点C为圆心， 为半径作半圆，分别交射线 于点P，点Q，连接 ▲ ，理由是 ▲
第二步 过点C作 的垂线，交 于点D，交 于点E ， ③
第三步 作射线 射线 平分
射线 为所求作．
22．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
23．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
24．在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．
（1）如图，点，点．
①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：；
②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围；
（2）在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
25．已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，
（1）求的长
（2）求四边形的面积
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第二十四章 圆 单元专项提分测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，则∠BOD＝（ ）
A．80° B．50° C．160° D．100°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】首先根据圆内接四边形的对角互补求出∠C的度数，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求解即可.
2．如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
3．如图所示，点为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，2，则的值是（ ）.
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，过点E作EG⊥DF于点G，连接AC，
∵正六边形ABCDEF，
∴∠FED=∠B=120°，AF=EF=DE=AB=BC，FD=2FG，
∴△ABC≌△EFD，
∴S△ABC=S△EFD，∠FEG=60°，∠EFG=30°，
设EG=x，则EF=2x，
∴，
∴，
∴S矩形ACDF，
∵2，
∴S矩形ACDF=S△AOC+S△AOF+S△COD=，
∴
∴，
∵S△ABC+S△DEF=2S△DEF=DF·EG=，
∴S△ABC+S△DEF=10，
∴.
故答案为：B.
【分析】 连接AC，过点E作EG⊥DF于点G，连接AC，利用正六边形的性质和垂径定理可证得∠FED=∠B=120°，AF=EF=DE=AB=BC，FD=2FG，利用SAS可证得△ABC≌△EFD，即可得到S△ABC=S△EFD，∠FEG=60°，∠EFG=30°，设EG=x，则EF=2x，利用勾股定理表示出FG的长，可得到FD的长，从而可表示出矩形ACDF的面积，利用已知条件可求出S矩形ACDF=20，利用三角形的面积公式可得到S△ABC+S△DEF=10，即可求出正六边形的面积.
4．下面的四个问题中都有两个变量：
①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长；
②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数；
③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径．
④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】C
【解析】【解答】解：①含角的直角三角形中，
∵斜边长，
∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为，
∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意；
②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为，
则，该函数图象开口向下，符合题意；
③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为，
∴扇形的弧长为：，
∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意；
④∵正方体的棱长为，表面积为，
∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图象求解即可.
5．已知⊙O的直径AB=8cm，点C在⊙O上，且∠B0C=60°，则AC的长为（ ）
A．4cm B．4 cm C．5cm D．2.5cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BOC=60°，OC=OB，
∴∠OBC=60°，
sin∠ABC=sin∠60°=，
∴AC=.
故答案为：.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°.利用等边对等角可求出∠OBC=60°.利用sin∠ABC=即可求出AC的长.
6．如图，已知是圆O的直径，点C，D在圆O上，且，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵是圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】连接AC，由圆周角定理可得∠BDC=∠BAC，∠ACB=90°，则∠BAC=90°-∠ABC=58°，据此解答.
7．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点．过点的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦长是整数值的条数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，圆的半径为5，
∴点B的坐标为，
∵点P的坐标为，
∴BP=3，
①如图，连接BC，当CD⊥AE时，的值最小，
∴∠BPC=90°，
∵圆的半径为5，
∴BC=5，
在中，，
∴CD=2CP=8；
②当CD经过圆心时，CD的值最大，
∵圆的半径为5，
∴CD=10；
∴，
∴弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个，
故答案为：B．
【分析】首先根据题意得到BP=3，然后进行分类讨论：①连接BC，当CD⊥AE时，CD的值最小，然后利用勾股定理求出，从而由垂径定理求出CD=2CP=8；②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD是圆的直径.
8．如图，O为圆心， 是直径， 是半圆上的点， 是 上的点.若 ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】连接BD，
∵ 是直径， 是 上的点，
∴∠ADB=90°，
∵∠BDC与∠BOC是弦BC所对的圆周角和圆心角，∠BOC=40°，
∴∠BDC= ∠BOC=20°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°.
故答案为：A.
【分析】连接BD，由AB是直径可得∠ADB=90°，根据圆周角定理可知∠BDC= ∠BOC，进而可求出∠D的度数.
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若＝64°，则∠CBA的度数为（ ）
A．32° B．64° C．68° D．58°
【答案】D
【解析】【解答】解：
∵＝64°
∴∠A=64°÷2=32°
∵AB是直径，∴∠C=90°
∴∠CBA=180°-90°-32°=58°
故答案为：D.
【分析】直径所对的圆周角是90°，圆周角的度数等于同弧所对的圆心角度数的一半，由此可求出∠A和∠C，再结合三角形内角和定理求出∠B。
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．
【答案】110°
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为：110°．
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=100°，再由外角性质得∠BDC=70°，再邻补角的定义即可求得∠ADC的度数.
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD= ．
【答案】40°
【解析】【解答】解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=70°，
∵AD∥OC，OD=OA，
∴∠D=∠A=70°，
∴∠AOD=180°﹣2∠A=40°．
故答案为：40°．
【分析】 根据邻补角的定义可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．
13．如图，是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，，，则的长为 .
【答案】10
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD⊥BC，即∠ODB＝90°，
∴AC∥OD，
∵点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AC＝4cm，
∵BD＝3cm，
∴OB＝＝5cm，
∴AB＝2OB＝10cm.
故答案为：10.
【分析】由圆周角定理可得∠ACB＝90°，易得OD是△ABC的中位线，则OD=AC＝4cm，利用勾股定理求出OB，进而可得AB.
14．已知 的半径为1，AB是 的弦， ，P为 外一点，且PA切 于点A， ，则线段PB的长为 ．
【答案】1或
【解析】【解答】解：①如图所示：连接OA、OB．
∵OA=OB=1，AB= ，
∴根据勾股定理的逆定理，得∠AOB=90°，
根据切线的性质定理，得∠OAP=90°，则AP∥OB，
又AP=OB=1，所以四边形PAOB是平行四边形，
所以PB=OA=1；
②当B在右侧时，如图所示：
与①同理可证四边形APOB是平行四边形，且∠AOB=90°，
∴ ，
在Rt△OBC中，根据勾股定理
，
∴PB= ．
故答案为：1或 ．
【分析】先利用勾股定理逆定理求出∠AOB是直角，再利用一组对边平行且相等得出四边形APBO是平行四边形，从而利用勾股定理得出BC的值，由此得出PB的值。
15．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的☉A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】6﹣ π.
【解析】【解答】解：连接AD，
∵BC是切线，点D是切点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF=2∠EPF=100°，
∴S扇形AEF= = π，
S△ABC= AD BC= ×2×6=6，
∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=6- π.
故答案为：6- π.
【分析】连接AD，根据切线的性质可得AD⊥BC，利用圆周角定理可得∠EAF=2∠EPF=100°，利用扇形的面积公式可得S扇形AEF= π，利用扇形的面积公式可得S△ABC= AD BC=6，由S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF即可求出结论.
16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG.则CG的最小值为 .
【答案】 ﹣1
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点O，连接OC，
根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，所以OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BO＝1，BC＝2，
∴OC＝ ＝ ，
∴CG的最小值为OC﹣OG＝ ﹣1.
故答案为： ﹣1.
【分析】取AB的中点O，连接OC，则当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，由正方形的性质可得∠ABC＝90°，BO＝1，BC＝2，然后利用勾股定理求出OC，据此求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 和 是否相等，并说明理由．
【答案】解：连接AE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
在⊙A中，
∴
【解析】【分析】连接AE，利用圆的半径处处相等，可得∠GAF=∠FAE，再由圆心角、弧、弦的关系定理得出结论。
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．
【答案】（1）解：∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）解：∵∠M= ∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D= ∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°.
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得CE，再在Rt△OCE中，根据勾股定理可得半径，最后求得直径。
（2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠D=∠BOD，再根据AB⊥CD，求得∠D=30°即可。
19． 如图， AB是⊙O的直径， CD是⊙O的弦， 如果∠ADC=30°.
（1） 求∠BAC 的度数.
（2） 若AC=3， 求BC的长.
【答案】（1）解：是的直径，
，
，
，
；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到，然后根据直角三角形的两锐角互余求出，再利用圆周角定理即可求解；
（2）利用圆周角定理得到∠ABC=30°，根据含30度的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.
20．如图，AB为 的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交 于点D，过点D作 的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥DE：
（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路。
【答案】（1）解：证明： ED与 相切于D
F为弦AC的中点
O D ⊥ D E
（2）解：①四边形DFAE为直角梯形，上底为AF，下底为DE，高为DF，有条件比较容易在直角三角形DOE中计算出DE长为 ，DF= ，AF= ，所以可以求出四边形DFAE的面积为 ；
②在三角形CDF中， ，且DF= ，FC=AF= ，进而可以求解在三角形CDF的面积为 ；
③四边形ACDE就是由四边形DFAE和三角形CDF组成的，进而可以得到四边形ACDE的面积就等于他们的面积和，为 .
【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得OD⊥DE，进而得到
AC∥DE ；
（2）把四边形ACDE分成直角梯形DFAE和三角形CDF，分别求这两个的面积，即可得出四边形ACDE的面积。
21．如下是小华设计的“作 的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．
步骤 作法 推断
第一步 在 上任取一点C，以点C为圆心， 为半径作半圆，分别交射线 于点P，点Q，连接 ▲ ，理由是 ▲
第二步 过点C作 的垂线，交 于点D，交 于点E ， ③
第三步 作射线 射线 平分
射线 为所求作．
【答案】解：补全的图形如图1所示．
；90；
【解析】【解答】解：①∵OQ是直径
∴∠OPQ=90°
故答案为：90；
②故答案为：直径所对的圆周角是直角；
③∵CE⊥PQ
∴由垂径定理得： ．
故答案为：
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得到结论。
22．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
【答案】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
【解析】【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可.
23．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊥AD，AB＝2，求CD的长．
【答案】解：连接AC∵AB⊥CD∴CE＝DE（垂径分弦）∴AB垂直平分CD∴AC＝AD，∵CF⊥AD，∴AF＝DF（垂径分弦），∴CF垂直平分AD，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD为等边三角形，∴∠DCF＝ ∠ACD＝30°，∵CO＝AO＝ AB＝1，∴DE=CE＝CO× ＝ ；∴CD＝2DE＝
【解析】【分析】连接AC，由垂径定理可得CE＝DE，AB垂直平分CD，根据线段的垂直平分线的性质可得AC=AD，由垂径定理可得AF＝DF，根据线段的垂直平分线的性质可得AC=CD，所以AC＝AD＝CD，则△ACD为等边三角形，根据等边三角形的性质可求解。
24．在平面直角坐标系中，对于图形P，图形和直线l给出如下定义：图形P关于直线l的对称图形为．若图形P与图形均存在点在图形Q内部（包括边界），则称图形Q为图形P关于直线l的“弱相关图形”．
（1）如图，点，点．
①已知图形是半径为2的，是半径为1的，是半径为的，在，，中，线段关于直线的“弱相关图形”是：；
②已知的半径为2，若是线段关于直线的“弱相关图形”，求b的取值范围；
（2）在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，有一个半径为2的圆P．若存在点，使得对于任意过点C的直线l，有圆P，满足半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）解：
①如图所示：
∵点，点，关于的对称图形为，半径为，
∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上，
∴在的内部，
∴为线段关于直线的“弱相关图形”．
故答案为：；
②如图所示，
，
是线段关于直线l：的“弱相关图形”，
∵与平行，
∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称，
则，则在直线上，
当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，
设l与x轴交于点D，
依题意，，是等腰直角三角形，
∴，
∴D的坐标为，代入，
解得：；
当时，点A离对称轴直线较远，如图：
，
当在上时，
同理可得，
连接，在中，设，则，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
代入，
解得：，
综上所述：．
（2）解：
∵，
∴，
即C在直线上，
如图所示：
，
过点O作于点S，
由，令，
令，
∴，
依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称，
∵半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，
∴，
∴当与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点，则，
又∵点C在直线上运动，不能与平行，
∴Q点只能接近点S，
∴的最外端一点与O的距离小于，
∴即r的最小值为：，
即．
【解析】【分析】（1）①根据定义新图形的规律，分别求出点，点对称点的坐标，结合图形即可求解；
②分当时和两种情况，结合图形即可求解；
（2）根据题意，只要找到r的最小值即可求解．
（1）解：①如图所示：
∵点，点，关于的对称图形为，半径为，
∴根据轴对称性得：，即点在y的正半轴上，
∴在的内部，
∴为线段关于直线的“弱相关图形”．
故答案为：；
②如图所示，是线段关于直线l：的“弱相关图形”，
∵与平行，
∴与坐标轴的夹角为，由点O关于对称，
则，则在直线上，
当时，点O离对称轴直线l：较远，如图，当在上时，
设l与x轴交于点D，
依题意，，是等腰直角三角形，
∴，
∴D的坐标为，代入
解得：，
当时，点A离对称轴直线较远，如图：当在上时，
同理可得，
连接，在中，设，则，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
代入，
解得：，
综上所述：．
（2）解：∵，
∴，
即C在直线上，
如图所示：过点O作于点S，
由，令，
令，
∴，
依题意，点C在直线上运动，过点C的直线为对称轴，将与对称，
∵半径r的是圆P关于l的“弱相关图形”，
∴，
∴当与坐标轴相切时，r取得最小值，
此时点，则，
又∵点C在直线上运动，不能与平行，
∴Q点只能接近点S，
∴的最外端一点与O的距离小于，
∴即r的最小值为：，
即．
25．已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，
（1）求的长
（2）求四边形的面积
【答案】（1）解：设圆的半径为，
，为半径
，
在和中
即
解得舍，
，
；
（2）解：在中，，
，
，
，
为中点，为中点，
为中位线，
，
，
∴
【解析】【分析】(1)先求BC，再在 在和中根据勾股定理得，进而求出半径即可.
(2)分别计算△BCD和△ABD的面积，相加即可。
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