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二次函数 单元同步培优练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次函数 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图1，在矩形中，对角线与相交于点、动点从点出发，在线段上匀速运动，到达点时停止设点运动的路程为，线段的长为，如果与的函数图象如图所示，则矩形的面积是（ ）
A．60 B．48 C．24 D．12
4．已知抛物线（，，是常数，）经过点和，其对称轴在轴左侧．有下列结论：
①抛物线经过；②有两个不相等的实数根；③，
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的最小值为
C．当时， D．
6．对于抛物线y= (x-5)2+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标(5，3) B．开口向上，顶点坐标(5，3)
C．开口向下，顶点坐标(-5，3) D．开口向上，顶点坐标(-5，3)
7．已知下列四种变化：①向下平移2个单位长度；②向左平移2个单位长度；③横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；④纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变.若将函数y=x2+1图象上的所有点都经过三次变化得到函数y= x2+x的图象，则这三次变化的顺序可以是（ ）
A．③④① B．③①② C．④②① D．①③②
8．给出下列四个命题：
（ 1 ）若点A在直线y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一或第四象限；（2）若A（a，m）、B（a-1，n）（a＞0）在反比例函数y=
的图象上，则m＜n；（3）一次函数y=-2x-3的图象不经过第三象限；（4）二次函数y=-2x2-8x+1的最大值是9.
正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移个单位，那么所得的二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ）
．．当线段长取最小值时，则的面积为．若点，则．
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数 的顶点坐标为 ．
12．如图所示，若抛物线 上点 和点 关于它的对称轴 对称，则点 的坐标为 ．
13．直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 ．
14．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标为 ．
15．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为 .
16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，
；
；
若点在此抛物线上，则；
若点在此抛物线上且，则．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-a-1）（x+a-1）+a，
（1）当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）若点A（n，y1），点B（n-3，y2）在抛物线上，且y1＜y2.求n的取值范围.
18．设二次函数．
（1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围．
19．如图，一位篮球运动员在距离篮下4m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
解：根据题意，得顶点坐标为（ ▲ ， ▲ ），
∴设抛物线的解析式为y=ax2+3.5．
点（1.5，3.05）在此抛物线上，
∴ ▲ _，解得a= ▲ ，∴所求抛物线的解析式为y= ▲ ．
（2）若该运动员身高为1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，则球出手时，他跳离地面的高度是多少？
解：当x=－2.5时，y= ▲ ∴他跳离地面的高度为 ▲ －1.8－0.25= ▲ （m）．
20．把抛物线y=﹣2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的抛物线有没有最大值？若有，求出该最大值；若没有，说明理由．
21．界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个 ．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元
22．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）
23．如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示.
（1）求a的值；
（2）求图2中图象C2段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.
24．已知二次函数y=-的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
25．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
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二次函数 单元同步培优练习卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．二次函数 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ，
当 时，y取得最小值 ，
故答案为：D.
【分析】由顶点式可知当 时，y取得最小值 .
2．将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 将抛物线沿直角坐标平面先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为：，
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质求函数解析式即可。
3．如图1，在矩形中，对角线与相交于点、动点从点出发，在线段上匀速运动，到达点时停止设点运动的路程为，线段的长为，如果与的函数图象如图所示，则矩形的面积是（ ）
A．60 B．48 C．24 D．12
【答案】B
【解析】【解答】
根据图2可知，
时，
正好在的中点，
∴，
∴，
故选：B.
【分析】根据图2函数图象，求出边长即可求出面积.
4．已知抛物线（，，是常数，）经过点和，其对称轴在轴左侧．有下列结论：
①抛物线经过；②有两个不相等的实数根；③，
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，其对称轴在y轴左侧，故抛物线不能经过点(-1，0)，因此①不符合题意；
抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，(0，-3)，其对称轴在y轴左侧，可知抛物线开口向上，与直线y=-1有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②符合题意；
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∵a>0，
∴b>0，
∵经过点(1，0)，
∴a+b+c=0
∵经过点(0，-3)，
∴c=-3
∴a+b=3
∴b=3-a，
∵3-a<3+a，即b<3+a，
∴a-b>-3，
∵抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，(0，-3)，其对称轴在y轴左侧，
∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，
∴a-b<3，
∴-3
故答案为：C．
【分析】由抛物线经过（1，0）及对称轴位置可判断①，由抛物线经过（1，0）和（0，-3），可得抛物线与直线y=-1有两个交点，从而判断②，由抛物线经过（0，-3）可得c的值，再由a-b+c<0，a+b+c=0可判断③。
5．二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的最小值为
C．当时， D．
【答案】B
【解析】【解答】解：函数开口朝上，a>0；对称轴，则b<0；当x=-1时，a-b+c=0，则c=b-a<0
A：abc>0，A错误
B：最小值在对称轴上取，则最小值为a+b+c，A正确
C：有图像可知，图像与x轴的另一个交点为x=3，当-1D：当x=2时，图像在x轴的下方，则y=4a+2b+c<0，D错误
故答案为B
【分析】结合函数图象以及二次函数的性质，判断各项系数的正负。
6．对于抛物线y= (x-5)2+3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标(5，3) B．开口向上，顶点坐标(5，3)
C．开口向下，顶点坐标(-5，3) D．开口向上，顶点坐标(-5，3)
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a=-<0， ∴抛物线的张口向下，
顶点坐标为（5，3）.
故答案为：A.
【分析】二次函数二次项系数a>0时，抛物线的张口向上，a<0时，图象的张口向上，顶点坐标根据配方的结果即可得出.
7．已知下列四种变化：①向下平移2个单位长度；②向左平移2个单位长度；③横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；④纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变.若将函数y=x2+1图象上的所有点都经过三次变化得到函数y= x2+x的图象，则这三次变化的顺序可以是（ ）
A．③④① B．③①② C．④②① D．①③②
【答案】B
【解析】【解答】解：为了得到函数y＝ x2+x的图象，可以把函数y＝x2+1的③横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝（x）2+1＝x2+1的图象，再把y＝x2+1的图象①向下平移2个单位长度，得到y＝x2﹣1的图象；最后把y＝x2﹣1的图象②向左平移2个单位长度，得到y＝（x+2）2﹣1，即y＝x2+x的图象．
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．在x的前面乘以即可把横坐标变为原来的2倍，而纵坐标不变．
8．给出下列四个命题：
（ 1 ）若点A在直线y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一或第四象限；（2）若A（a，m）、B（a-1，n）（a＞0）在反比例函数y=
的图象上，则m＜n；（3）一次函数y=-2x-3的图象不经过第三象限；（4）二次函数y=-2x2-8x+1的最大值是9.
正确命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】（1）联立 ，或 ，
解得 或 ，
所以点A的坐标为（3，3）或（（1，-1），在第一或第四象限正确.
（ 2 ）反比例函数y= ，在每个象限内y随x的增大而减小，点A在第一象限，而点B不能确定在第几象限，无法比较m、n的大小，错误；
（ 3 ）一次函数y=-2x-3的图象不经过第一象限，错误；
（ 4 ）二次函数y=-2x2-8x+1，可化为y=-2（x+2）2+9；
所以二次函数y=-2x2-8x+1的最大值是9，正确．
（ 1 ）、（4）正确，故答案为：B．
故答案为：B
【分析】根据已知条件：点A在直线y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等， 因此将y=x和y=-x分别与y=2x-3，建立方程组，求出x、y的值，就可得出点A的坐标，即可对（1）作出判断；根据已知的两点坐标，结合函数解析式，无法比较m、n的大小，可对（2）作出判断；已知函数解析式 y=-2x-3的图象不经过第一象限，可对（3）作出判断；将二次函数解析式 y=-2x2-8x+1转化为顶点式，利用二次函数的性质，可对（4）作出判断；综上所述可得到正确命题的序号。
9．将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移个单位，那么所得的二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 将二次函数的图象向右平移3个单位 得到：再向上平移个单位 得到：
故答案为：B.
【分析】本题主要考查函数图象的平移，根据平移规则“左加右减”，“上加下减”即可求解.
10．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则下列结论正确的个数为（ ）
．．当线段长取最小值时，则的面积为．若点，则．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+1与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2），∴x1，x2是方程的两个根，方程可整理为：x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=-4；y1，y2是方程的两个根，方程可整理为：y2-（4k2+2）x+1=0，∴y1+y2=4k2+2，y1y2=1；∴①正确；②正确；③，∴AB=4（k2+1），∴当k=0时，AB的最小值为4，此时，△AOB的面积为：，∴③正确；④点N（0，-1），∴，∴，∴kANKBN=-k2-1，∴当k=0时，AN⊥BN，当k≠0时，AN不垂直BN，所以④不正确，所以结论正确的个数有3个。
故答案为：C.
【分析】根据函数图象交点坐标与方程之间的关系，可以得出关于x、关于y的方程，利用根与系数之间的关系得出x1与x2，y1与y2之间的关系，从而使问题得到解决。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数 的顶点坐标为 ．
【答案】（-1，2）
【解析】【解答】∵ ，
∴二次函数的顶点坐标为（-1，2），
故答案是：（-1，2）．
【分析】利用配方法将方程转换成顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标即可。
12．如图所示，若抛物线 上点 和点 关于它的对称轴 对称，则点 的坐标为 ．
【答案】（-2，0）
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（x1，0）
∵ 点 和点 关于它的对称轴 对称，
∴
解之：x1=-2
∴点Q（-2，0）.
故答案为：（-2，0）.
【分析】设点Q的坐标为（x1，0），利用二次函数的对称性可得到，解方程求出x1，即可求出点Q的坐标.
13．直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 ．
【答案】（0，4）
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点， ∴kx+b= ，
化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，
∴ ，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4），
故答案为：（0，4）．
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1．
14．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣5与y轴的交点坐标为 ．
【答案】（0，-9）
【解析】【解答】解：令 ，则
即与y轴的交点坐标为（0，-9）
故答案为（0，-9）
【分析】令x=0 ，求出y的值，即可得出抛物线与y轴的交点坐标。
15．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，4)
∵二次项系数1为正数
∴当-4≤x≤-1时，函数值y随自变量x的增大而减小；当-1≤x≤1时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数的最小值为-4
∵当x=-4时，y=5，当x=1时，y=0
∴当-4≤x≤-1时，-4≤y≤5；当-1≤x≤1时，-4≤y≤0
综上，当 时，y的取值范围为
故答案为： .
【分析】首先求出抛物线的对称轴以及顶点坐标，判断出函数的增减性，求出x=-4、x=1对应的y的值，进而可得y的范围.
16．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，
；
；
若点在此抛物线上，则；
若点在此抛物线上且，则．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，故正确；
∵抛物线的顶点为，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，故错误；
∵对称轴为直线，经过点，
∴抛物线经过另一个点
∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，
又∵，
∴，故正确；
∵抛物线与轴的交点为，抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴若点在此抛物线上且 ，则或，故错误；
综上，正确，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象开口与a的关系就饿判断①；根据对称轴公式可判断②；根据二次函数的对称性可判断③，④.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-a-1）（x+a-1）+a，
（1）当a=1时，求抛物线与x轴交点坐标；
（2）求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
（3）若点A（n，y1），点B（n-3，y2）在抛物线上，且y1＜y2.求n的取值范围.
【答案】（1）解：a=1时，y=x（x-2）+1=x2-2x+1=（x-1）2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）．
（2）解：∵y=（x-a-1）（x+a-1）+a，
抛物线经过（a+1，a），（1-a，a），
∴抛物线的对称轴为直线x==1，
将x=1代入y=（x-a-1）（x+a-1）+a得y=（1-a-1）（1+a-1）+a=-a2+a=，
∴抛物线顶点纵坐标为，其最大值为．
（3）解：由（2）可知，抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∵n＞n-3，y1＜y2，
∴y随n的增大而减小，
点A（n，y1），点B（n-3，y2）都在对称轴左侧，
∴n＜1，
当点A（n，y1）在对称轴右侧，点B（n-3，y2）在对称轴左侧时，
，
综上分析n＜1或．
【解析】【分析】（1）把a=1时，先求出抛物线的解析式，然后化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）求出抛物线经过的点的坐标（a+1，a），（1-a，a），即可得到抛物线的对称轴和顶点坐标，然后配方得到顶点式求最值即可；
（3）根据抛物线的对称轴是直线x=1，根据二次函数的增减性解答即可．
18．设二次函数．
（1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数的对称轴为直线，
∴，
∴抛物线的解析式为，
将代入得，，
∴顶点坐标为；
（2）解：存在；∵函数最大值5，
∴，
即，
解得：，
（3）解：将点坐标代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，当时，都有，
∴根据函数图象可知：此时或．
【解析】【分析】（1）因为二次函数顶点坐标为，所以可根据对称轴的表达式求出a的值，则顶点可求；
（2）根据函数最大值5，得出，解方程即可；
（3）先由二次函数图象上点的坐标特征可把点P的坐标代入到函数解析式中，可得该抛物线的解析式为：，则对称轴为直线，根据当时，都有，由于抛物线开口向下，则由点到对称轴的距离即可判断的取值范围 ．
（1）解：∵函数的对称轴为直线，
∴，
∴抛物线的解析式为，
将代入得，，
∴顶点坐标为；
（2）解：存在；
∵函数最大值5，
∴，
即，
解得：，
（3）解：将点坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵抛物线的对称轴为直线，当时，都有，
∴根据函数图象可知：此时或．
19．如图，一位篮球运动员在距离篮下4m处跳起投篮，篮球运行的路线是抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
解：根据题意，得顶点坐标为（ ▲ ， ▲ ），
∴设抛物线的解析式为y=ax2+3.5．
点（1.5，3.05）在此抛物线上，
∴ ▲ _，解得a= ▲ ，∴所求抛物线的解析式为y= ▲ ．
（2）若该运动员身高为1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，则球出手时，他跳离地面的高度是多少？
解：当x=－2.5时，y= ▲ ∴他跳离地面的高度为 ▲ －1.8－0.25= ▲ （m）．
【答案】（1）0；3.5；3.05=1.52a+3.5；－0.2；－0.2x2+3.5
（2）2.25；2.25；0.2
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得顶点坐标为（0，3.5 ），
∴设抛物线的解析式为y=ax2+3.5．
点（1.5，3.05）在此抛物线上，
∴3.05=a×1.52+3.5，
解得a=-0.2 ，
∴所求抛物线的解析式为y= －0.2x2+3.5 ．
故答案为： 0，3.5；3.05=1.52a+3.5；－0.2；－0.2x2+3.5 .
（2）y= －0.2x2+3.5，
当x=－2.5时，y=2.25，
∴他跳离地面的高度为2.25－1.8－0.25=0.2（m）．
故答案为： 2.25；2.25；0.2 .
【分析】（1）根据题意得顶点坐标为（0，3.5 ），利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由y= －0.2x2+3.5，求出x=－2.5时y值，再减去运动员身高与球在头顶上方的距离即得结论.
20．把抛物线y=﹣2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的抛物线有没有最大值？若有，求出该最大值；若没有，说明理由．
【答案】解：y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，抛物线的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得对应点的坐标为（﹣2，7），所以平移后的抛物线解析式为y=﹣2（x+2）2+7，
因为a=﹣2＜0，
所以当x=﹣2时，所得二次函数有最大值，最大值为7．
【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，3），再根据点平移的规律得到点（1，3）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，6），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式，再利用二次函数的性质解决最大值问题．
21．界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个 ．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元
【答案】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意可得，，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）解：①设该品牌头盔的实际售价应定为a元，
由题意得，
整理得，
解得，，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
②65
【解析】【解答】（2）②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则
，
，抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值，最大值为12250．
∴该品牌头盔每个的售价为65元．
故答案为：65
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，解方程即可求出答案.
（2）①设该品牌头盔的实际售价为a元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出答案.
②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则，根据二次函数的性质即可求出答案.
22．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
（1）求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
（2）请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润．（利润＝销售额﹣成本）
【答案】（1）解：依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，
得，
解得，
故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40；
（2）解：依题意，设利润为w元，
得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x﹣400，
配方，得w＝﹣（x﹣25）2+225，
∵﹣1＜0
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．
【解析】【分析】（1）先根据表格即可设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b，进而代入两组数据即可求出一次函数的解析式；
（2）设利润为w元，根据利润=总售价-进价结合题意进行计算即可得到w＝﹣（x﹣25）2+225，进而根据二次函数的性质结合题意即可求解。
23．如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A—C—B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示.
（1）求a的值；
（2）求图2中图象C2段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围.
【答案】（1）解：在图1中，过P作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，PA=2x，
∴PD=PA·sin30°=2x· =x，
∴y= = .
由图象得，当x=1时，y= ，则 = .
∴a=1.
（2）解：当点P在BC上时（如图2），PB=5×2-2x=10-2x.
∴PD=PB·sinB=(10-2x)·sinB，
∴y= AQ·PD= x·（10-2x）·sinB.
由图象得，当x=4时，y= ，
∴ ×4×（10-8）·sinB= ，
∴sinB= .
∴y= x·（10-2x）· = .
（3）解：由C1，C2的函数表达式，得 = ，
解得x1=0（舍去），x2=2，
由图易得，当x=2时，函数y= 的最大值为y= .
将y=2代入函数y= ，得2= .
解得x1=2，x2=3，
∴由图象得，x的取值范围是2【解析】【分析】（1）C1段的函数解析式是点P在AC线段时y与x的关系，由S= AQ·（AQ上的高），而AQ=ax，由∠A=30°，PA=2x，可过P作PD⊥AB于D，则PD=PA·sin30°=2x· =x，则可写出y关于x的解析式，代入点（1， ）即可解出；（2）作法与（1）同理，求出用sinB表示出PD，再写出y与x的解析式，代入点（4， ），即可求出sinB，即可解答；（3）题中表示在某x的取值范围内C124．已知二次函数y=-的图象如图．
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．
【答案】解：（1）由y=-，得x=﹣=﹣=3，∴D（3，0）；（2）方法一：如图1，设平移后的抛物线的解析式为y=-+k，则C（0，k）OC=k，令y=0即-+k=0，得3+，x2=3﹣，∴A(3-，0)，B(3+，0)∴AB2=(+3-3+)2=16k+36AC2+BC2=(3-)2+k2+(3+)2=2k2+8k+36，∵AC2+BC2=AB2即：2k2+8k+36=16k+36，得k1=4，k2=0（舍去），∴抛物线的解析式为-+4，方法二：∵y=-，∴顶点坐标(3，)，设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标M(3，+h)∴平移后的抛物线：y=-++h，当y=0时，-++h，得x1=3-，x2=3+，∴A(3-，0)，B(3+，0)∵∠ACB=90°，∴△AOC∽△COB，则OC2=OA OB，即h2=(-3)(+3)解得h1=4，h2=0（不合题意舍去），∴平移后的抛物线：y=-++4=-+（3）方法一：如图2，由抛物线的解析式y=-+4可得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M(3，)，过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，∴，，在Rt△COD中，CD==5=AD，∴点C在⊙D上，∵，∴DM2=CM2+CD2∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，∴直线CM与⊙D相切．方法二：如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M(3，)，作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，DM=，由勾股定理得CM=，∵DM∥OC，∴∠MCH=∠EMD，∴Rt△CMH∽Rt△DME，∴得DE=5，由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．∴直线CM与⊙D相切．
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式求出x=﹣，求出即可；
（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；
（3）由抛物线的解析式y=-+4可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．
25．［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】解：（1）如图，
以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示坐标系，则，，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
扣杀球击球路线的函数表达式为，
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为.
（3）当时，，解得：，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
【解析】【解答】（2）解：当时，，解得：
，
，
，
，
．
故答案为：.
【分析】（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立坐标系，则，，设直线的解析式为，可列方程，解得：，
即可得扣杀球击球路线的函数表达式为，设网前吊球击球路线的函数表达式为，可得，解答即可得网前吊球击球路线的函数表达式.
（2）当时，，解得：，进一步得，即可得，从而得.
（3）当时，，解得：，即得，得，根据勾股定理得
，根据扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
得（秒，根据，可得乙不能接到扣杀球的击球，再根据从点击球，击球点是抛物线的最高点，得解出后和0.5比较即可得乙能接到网前吊球的击球．
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