上海市大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练3及答案（2025.11）

大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练3
2025.11
一、填空题（共12每题3分，共36分）
1. 正多面体共有_________种.
2. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么长方体12条棱所在的直线中，异面直线
有 对.
3. 给定点A、B(3,1,1)、C(2,0,1)与点D(5,-4,3)，在方向上的投影向量是 .
4. 棱长为2的正四面体的体积是 .
5. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则对角线与侧面所成角的正弦值为 .
6. 在60°二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别2cm和3cm，则P到棱l的距离是cm.
7. 某景区有一座山，山体可以近似地看作圆锥，山脚呈圆形，其半径为km，是山脚某一点，点到山峰的距离为2km，观景台是山坡上一点，位于半山腰，即AB=1km．建造一条从到绕山一圈的环山观光栈道（非线段）．最短栈道的最高点到山顶P的距离为 km.
8. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为1、4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为5，则圆台的表面积是 .
9. 正四面体外接球与内切球体积之比为 .
10. 已知点，，，又点在平面内，则的值为 .
11. 足球虽然是球体，但传统上是由黑、白两色皮革缝制成的多面体加工而成。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，即取每条棱三等分点将顶角截去。再将正五边形部分染黑色，正六边形部分染白色，就可得一个传统足球模型，其黑色部分与白色部分面积之比是 .（精确到0.01）
12. 右图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD都是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD都垂直底面ABCD. 任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面均为正方形. 模仿教材上半球体积推导方法，可求得该帐篷的体积为 .
二、选择题（共4题，每题4分，共16分）
13．关于空间两条直线和平面，下列命题正确的是（ ）.
A. 若，则 B. 若则
C. 若，则 D. 若则
14. 已知空间向量，下列命题中正确的（ ）.
A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C. 若存在不全为的实数使得，则，，共面
D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
15. 如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论：
① 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则A1H=；
② 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体，得到的截面一定是等边三角形；
③ △EFG一定是锐角三角形；
④ .其中正确结论的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
16. 如图，等腰三角形OAB和直角三角形ABP的两边OA、AP都在平面α上，
∠OAB=120°，∠APB=90°，且平面OAB⊥平面α. 记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
三、解答题（共4题，共48分）
17.（本大题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）
如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心，
（1）若AP=5，AD=，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.
18.（本大题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
已知斜三棱柱各棱长都为，顶点在底面的射影是的中心O，
（1）求证：AA1⊥BC；
（2）求：二面角A1-AB-C的大小；
（3）求：三棱柱的表面积.
19. （本大题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
棱长为a的正方体中，E、F分别是棱BC、CD上的点（含端点），且满足BE=CF，
（1）求证：直线D1F//平面A1C1E；
（2）点F到平面A1C1E的距离是否为定值？若是，求出该值；若不是，求出取值范围；
（3）在空间里，是否存在一个平面，使得正方体的顶点到该平面的距离恰好是0、1、2、3、4、5、6、7 如果存在，求出正方体的棱长a；若不存在，说明理由.
20. （本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分, 第3小题满分5分）
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.
（1）“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列。试求，并写出与的递推关系；
（2）对“三角垛”所构成的几何体表面染红色，试求前层球中，被染成红色的球占总球数的百分比及，；
注：① 只要球的一部分有红色，则认为球染成了红色；
② 例如；
③ 公式：
（3）将一个只有两层的三角垛放入一个正四面体容器内，若每一个球的半径均为2，求该容器棱长的最小值？
【附加题】
1.在四面体中，，，，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则_________．
2. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如,空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.
大同中学2025-2026学年第一学期高二年级数学周练3
2025.11
一、填空题（共12每题3分，共36分）
1. 正多面体共有_________种.
【答案】5
2. 如果把两条异面直线看成“一对”，那么长方体12条棱所在的直线中，异面直线
有 对.
【答案】24
3. 给定点A、B(3,1,1)、C(2,0,1)与点D(5,-4,3)，在方向上的投影向量是 .
【答案】或(0,0,0)
4. 棱长为2的正四面体的体积是 .
【答案】
5. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则对角线与侧面所成角的正弦值为 .
【答案】
6. 在60°二面角α-l-β内有一点P，P到α、β的距离分别2cm和3cm，则P到棱l的距离是 cm.
【答案】
7. 某景区有一座山，山体可以近似地看作圆锥，山脚呈圆形，其半径为km，是山脚某一点，点到山峰的距离为2km，观景台是山坡上一点，位于半山腰，即AB=1km．建造一条从到绕山一圈的环山观光栈道（非线段）．最短栈道的最高点到山顶P的距离为 km.
【答案】
8. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径分别为1、4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为5，则圆台的表面积是 .
【答案】
9. 正四面体外接球与内切球体积之比为 .
【答案】27
10. 已知点，，，又点在平面内，则的值为 .
【答案】9
11. 足球虽然是球体，但传统上是由黑、白两色皮革缝制成的多面体加工而成。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，即取每条棱三等分点将顶角截去。再将正五边形部分染黑色，正六边形部分染白色，就可得一个传统足球模型，其黑色部分与白色部分面积之比是 .（精确到0.01）
【答案】
12. 右图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD都是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD都垂直底面ABCD. 任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面均为正方形. 模仿教材上半球体积推导方法，可求得该帐篷的体积为 .
【答案】
二、选择题（共4题，每题4分，共16分）
13．关于空间两条直线和平面，下列命题正确的是（ ）.
A. 若，则 B. 若则
C. 若，则 D. 若则
【答案】D
14. 已知空间向量，下列命题中正确的（ ）.
A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C. 若存在不全为的实数使得，则，，共面
D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
【答案】C
15. 如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1上的点（与正方体顶点不重合），过A1作A1H⊥平面EFG，垂足为H. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，给出以下四个结论：
① 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则A1H=；
② 若E、F、G分别是棱A1A、A1B1、A1D1的中点，则用平行于平面EFG的平面去截正方体，得到的截面一定是等边三角形；
③ △EFG一定是锐角三角形；
④ .其中正确结论的个数是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
【答案】C
16. 如图，等腰三角形OAB和直角三角形ABP的两边OA、AP都在平面α上，
∠OAB=120°，∠APB=90°，且平面OAB⊥平面α. 记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
三、解答题（共4题，共48分）
17.（本大题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）
如图为正四棱锥P-ABCD，O为底面ABCD的中心，
（1）若AP=5，AD=，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
（2）若AP=AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.
【答案】（1） （2）
【解析】（1），，
（2）PB⊥平面AEC
∴直线BD与平面AEC所成角即
18.（本大题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
已知斜三棱柱各棱长都为，顶点在底面的射影是的中心O，
（1）求证：AA1⊥BC；
（2）求：二面角A1-AB-C的大小；
（3）求：三棱柱的表面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）（或）
（3）
【解析】（1）证：在底面上的射影是的中心
由三垂线定理
（2）取中点，连，在底面上的射影是的中心，
由三垂线定理，即为二面角的平面角
，
中，
二面角的大小为（或）
（3）由（1）侧面为矩形
另解：（2）在底面上的射影是的中心
所以三棱锥是正三棱锥，且是棱长为的正四面体
所以各侧面与底面所成二面角相等，用射影法解得
（3）用直截面解决斜棱柱的侧面积和体积
过作，垂足为，连，在底面上的射影是的中心
，，可得
，得，
，为直截面
19. （本大题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
棱长为a的正方体中，E、F分别是棱BC、CD上的点（含端点），且满足BE=CF，
（1）求证：直线D1F//平面A1C1E；
（2）点F到平面A1C1E的距离是否为定值？若是，求出该值；若不是，求出取值范围；
（3）在空间里，是否存在一个平面，使得正方体的顶点到该平面的距离恰好是0、1、2、3、4、5、6、7 如果存在，求出正方体的棱长a；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析 （2）
（3）存在，
【解析】（1）AB上取点G，满足BG=BE，
又，
∴ D1F//A1G
∴ 直线D1F//平面A1C1E
（2）D1F//平面A1C1E
∴点F到平面A1C1E的距离等于点D1到平面A1C1E的距离
，E到直线A1C1的距离
∴ 即F到平面A1C1E的距离范围
（3）正方体对顶顶点到平面α距离分为四组
不妨设平面α过顶点A，
由对称性，其它分布不影响正方体棱长
延长B1B、C1C、D1D交平面α于E、F、G
∵A1A∥B1B∥C1C∥D1D 与平面α所成角相等
∴
其中 ∴
中，，∴
∴
另解：如图建系
（1）设
∴
设平面A1C1E法向量
∴， ，∴
∴ 即直线D1F//平面A1C1E
（2） ，∴
（3）设平面α法向量
∴
20. （本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分, 第3小题满分5分）
如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.
（1）“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.......设各层球数构成一个数列。试求，并写出与的递推关系；
（2）对“三角垛”所构成的几何体表面染红色，试求前层球中，被染成红色的球占总球数的百分比及，；
注：① 只要球的一部分有红色，则认为球染成了红色；
② 例如；
③ 公式：
（3）将一个只有两层的三角垛放入一个正四面体容器内，若每一个球的半径均为2，求该容器棱长的最小值？
【答案】（1）
（2），， （3）
【解析】（1）由题意可知，
数列的一个递推关系为，
（2）当时，利用累加法可得，
将代入得，符合，
所以数列的通项公式为.
当时，设为三角垛前层球的个数，则
设为三角垛前层被染成红色的球个数，则
所以当时，
，，
（3）正四面体中， 设棱长为a， 为正四面体外接球球心，H是正四面体底面三角形的中心，
由于M为CD的中点，所以，
则，，
设外接球的半径为R，则，
中，，解得，
所以，即正四面体的中心到正四面体底面的距离为，
半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心A，B，C，D构成的四面体，棱长为4，该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值时，此时每个小球均与正四面体的面相切，任意两个小球外切，设这个正四面体容器棱长为，则有，
解得，则该容器棱长的最小值为.
【附加题】
1.在四面体中，，，，设四面体PABC与四面体PDEF的体积分别为V1、V2，则_________．
【答案】
2. 已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等边三角形.例如,空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加到8个点时，空间中这8个点最多可连接成________个等边三角形.
【答案】20
【解析】正四面体的每一个面向外作一个正四面体，此时增加一个点，增加3个正三角形，新增加的4个点，又是1个正四面体，所以当增加到8个点时，
空间中这8个点最多可连接成个.