上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2025-2026学年高二上学期数学期中试卷（含答案）

上外云间2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知球的表面积是，则其体积是 .
2若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为 .
3．若，直线，则点与的关系是 .
4．已知直线，若，则实数 .
5．若直线与圆相切，则实数 .
6．某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是 .
7．已知平面直角坐标系中，直线的倾斜角，则直线的斜率取值范围是 .
8．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 .
9．已知分别是椭圆的左右焦点，过的直线与交于两点，若，则椭圆的离心率为 .
10．已知是抛物线的焦点，双曲线的渐近线与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为 .
11．如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的＂牟合方盖＂.已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一＂牟合方盖＂的体积为 .
12．已知抛物线与直线相交于不同的两点.记点的横坐标分别为且，若存在以为边长的三角形，则的取值范围是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分,第13-14题每题4分，第15-16题每题5分．）
13.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
14．已知，若直线与圆没有公共点，则直线与圆（ ）.
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能．
15．正方体中，动点从点开始沿正方体表面运动，且始终保持与平面的距离不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．．
16．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了5圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，两两垂直，，点为底面内的一个动点．（1）若，则点的轨迹是椭圆的一部分；
（2）若，则点的轨迹是双曲线的一部分；
（3）若，则点的轨迹是抛物线的一部分.
以上几个命题中，真命题的个数为（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
三、解答题（本大题共5题，满分78分．第17-19题14分，第20-21题18分）
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．）
如图所示，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点.
（1）求证：点在直线上；
（2）求证：与是异面直线．
18．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．）
已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程．
19．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．）
如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若点在底面圆内的射影恰好在上，求点到平面的距离.
20．（本题满分18分，共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．）
在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面：
（1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积；
（2）当时，若截面为六边形，求的取值范围；
（3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（本题满分18分，共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．）
已知曲线．
（1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
（2）若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线于点，求线段的长的最小值；
（3）若曲线为焦点在轴上的椭圆，且在曲线上．点在曲线上（互不重合），若直线与的斜率存在且互为相反数，求线段的长的最大值．
上外云间2025-2026学年第一学期高二年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知球的表面积是，则其体积是 .
【答案】
2若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此线段与该平面所成角的大小为 .
【答案】
3．若，直线，则点与的关系是 .
【答案】
4．已知直线，若，则实数 .
【答案】
5．若直线与圆相切，则实数 .
【答案】
6．某圆锥高为4，体积是，则该圆锥的侧面积是 .
【答案】
7．已知平面直角坐标系中，直线的倾斜角，则直线的斜率取值范围是 .
【答案】
8．用表示点与曲线上任意一点距离的最小值．已知及，设为上的动点，则的最大值为 .
【答案】
9．已知分别是椭圆的左右焦点，过的直线与交于两点，若，则椭圆的离心率为 .
【答案】
10．已知是抛物线的焦点，双曲线的渐近线与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为 .
【答案】或
11．如图，正方体中，四分之一圆柱与四分之一圆柱公共部分是八分之一的＂牟合方盖＂.已知这个正方体的棱长为2，利用祖暅原理，该八分之一＂牟合方盖＂的体积为 .
【答案】
已知抛物线与直线相交于不同的两点.记点的横坐标分别为且，若存在以为边长的三角形，则的取值范围是 .
【答案】
二、选择题（本大题共4题，满分18分,第13-14题4分，第15-16题5分．）
13.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）.
A．5 B． C． D．10
【答案】D
14．已知，若直线与圆没有公共点，则直线与圆（ ）.
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能．
【答案】C
15．正方体中，动点从点开始沿正方体表面运动，且始终保持与平面的距离不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．．
【答案】C
16．公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯（Menaechmus）为了解决倍立方问题而发现了5圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角（圆锥底面圆的一条直径的两个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角）分别是锐角、直角、钝角的三种圆锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、抛物线和双曲线．如图，四面体中，两两垂直，，点为底面内的一个动点．
（1）若，则点的轨迹是椭圆的一部分；
（2）若，则点的轨迹是双曲线的一部分；
（3）若，则点的轨迹是抛物线的一部分.
以上几个命题中，真命题的个数为（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
三、解答题（本大题共5题，满分78分．第17-19题14分，第20-21题18分）
17．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．）
如图所示，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点.
（1）求证：点在直线上；
（2）求证：与是异面直线．
【答案】（1）（1）证明见解析
【解析】（1）证明：平面平面，
由于平面平面，所以，也即点在直线上．
（2）证明：假设与不是异面直线．则与是共面直线，
又在直线外，则过与直线有唯一平面，所以可得平面，
这与在平面外矛盾，故与是异面直线．
18．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．）
已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）求过点且与曲线相切的直线的方程．
【答案】（1） （2）或
【解析】（1）设，则，
故，化简整理得，
故曲线的标准方程为；
（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求，
当过点的直线斜率存在时，
设切线方程为，即，
圆心到的距离，解得，故切线方程为，即，
综上，过点且与曲线相切的直线方程为或．
19．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．）
如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若点在底面圆内的射影恰好在上，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析 （2）①； ②
【解析】（1）证明：连接，如图，是半圆弧上的两个三等分点，
则有，
∴都是正三角形，∴，
四边形是菱形，，∵平面，∴平面平面．∴平面平面．
（2）法1：由（1）知，平面平面，
所以平面平面，平面平面，
则点在底面圆内的射影在上，又因为点在底面圆内的射影在上，
所以点在底面圆内的射影是与的交点，∴，
故，在中，由余弦定理，
可得，故，故，
在中，，故，
故．
由，可得，
即，所以，
点到平面的距离为．
法2：过点作于，连结，过点作于．
∵面平面，
又∵，
∴面平面，
又∵面，
∴面为点到平面的距离．
在中，，
又∵，
又∵，
故点到平面的距离为
20．（本题满分18分，共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．）
在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面：
（1）当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积；
（2）当时，若截面为六边形，求的取值范围；
（3）当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）周长为，面积为； （2）
（3）存在，或
【解析】（1）作图：取中点，
连接这六个点即可得到截面，
由图可知截面是边长为的正六边形，∴周长为，面积为；
（2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示：
情况①
∵为中点，∴，即，
情况②
∵为中点，∴，即，
故
（3）①如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点，
设，
∵为中点，，
交延长相交于点，延长相交于点
∵为中点，∴，
又∵，
∵，
正方体被截得的其中一个多面体体积为，则，,，整理得，解得，
∵,即，
②如图：
∵点为中点，∴，
∵点G为中点，，
设，则
又∵，即
∵，即，
∵，即
其中一个多面体体积为，则
化简得，即
∴或,∴,即
综上所述，这样的点存在，或
21．（本题满分18分，共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．）
已知曲线．
（1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率；
（2）若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线于点，求线段的长的最小值；
（3）若曲线为焦点在轴上的椭圆，且在曲线上．点在曲线上（互不重合），若直线与的斜率存在且互为相反数，求线段的长的最大值．
【答案】（1）或2 （2）4 （3）
【详解】（1）因为曲线为双曲线，
若焦点在轴上，则，且，解得，
又渐近线方程为，则，
即，解得或（舍去），
此时曲线的离心率；
若焦点在轴上，则，且，解得，
又渐近线方程为，则，
即，解得（舍去）或，
此时曲线的离心率，
综上可得曲线的离心率为或2．
（2）当时曲线，
依题意，直线的斜率必存在（否则点重合，不合题意），
可设其方程为，联立，消去并整理得，
解得，则，即，
因为点关于原点的对称点为，所以，
此时，故直线的方程为，
当时，解得，即，又易得，则，
则，因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值为16，故的最小值为4。
（3）依题意，解得或，
当时曲线，为焦点在轴上的椭圆，符合题意；
当时曲线，为焦点在轴上的椭圆，不符合题意；
依题意，可设直线的方程为，
联立得，
可得，，则，解得，
因直线与的斜率存在且互为相反数，故直线的斜率为，
同理可得,
则，
则；
当且仅当，即时等号成立，经检验符合，
所以线段的长的最大值为．