上海徐汇中学2025-2026学年高三上学期数学期中试卷（含答案）

徐汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，或，则________
2．若复数满足，则________
3．展开式中常数项为________．（用数字作答）
4．已知为等差数列的前项和，若，，则________．
5．双曲线的虚轴长为________
6．已知，，则________．
7．设向量，，且，则________．
8．徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有________
9．已知正四面体，设沿，，方向的力分别为，，，则这三个力的合力的大小为________
10．已知函数，，若存在，使得，则的最大值为________
11．已知函数其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是0；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为
，且的取值范围为．其中，所有正确结论的序号是________．
12．若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知实数、满足，则“成立”是“成立”的（ ）条件
A．充分非必要 B．充要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
15．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：
①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；
②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立，则：（ ）
A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（ ）
A．4 B．2 C．6 D．1
三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．在三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知．
（1）求角的大小；
（2）若且，三角形的面积为，求三角形的周长．
18．如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，，，，分别为线段，，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数
“一个” 6
“一些” 4
“一穷” 2
“一条” 2
其他
假设用频率估计概率．
（1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程．
（3）若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
21．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11.①④ 12.
11．已知函数其中且．给出下列四个结论：
①若，则函数的零点是0；
②若函数无最小值，则的取值范围为；
③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增；
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为
，且的取值范围为．其中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①④
【解析】若，则函数有唯一零点，是0，①正确；
当2时，无最小值，题干限制且，
所以的取值范围是，②错误；
当时，在上单调递减，在，，分别单调递增，
但并非连续单调递增，③错误；
当时，，函数有无数个根，
不满足恰有三个不等根，故不考虑．
当时，令得，，
当时，得，
时，得，，．
比较与0的大小，即比较与1的大小，
，而，故，
则取值范围为，④正确．故选①④
12．若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由，得，
令
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为0，又，
所以函数的大致图象如下图：
令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，
由对任意的，总存在唯一的，
使得成立，得，
因此且，解得实数的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题
13. D 14. B 15.C 16.A
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2） （3）“一个”更合适
20．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程．
（3）若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
【答案】（1） （2） （3）是，定值为12
【解析】（1）方程可得：，解得：，
故椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，
若直线的斜率不存在，则，代入椭圆方程可得，故，
此时，
故直线斜率存在，如图，
设直线的斜率为，
则的方程为，
联立，化简得：，显然，
则，
所以
化简得：，即，解得，
所以直线的方程为：；
（3）依题意，设椭圆上的点，则过点，的切线方程为：，
即，又，则
则原点到切线的距离为
又
同理，则，
故，为定值．
21．已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（1）因为，所以，定义域为，可得，
所以，又，所以曲线在点处的切线方程为
即；
（2）因为，定义域为，
可得
当时，令，解得，此时，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减，
当时，，易知时，
当时，，即时，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
若，即时，恒成立，在上单调递增，
若，即时，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
综上，当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为）；
当时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；
（3）当，由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，
因为对于任意，不等式成立，
所以，
所以，解得，
因为，所以．
故的取值范围为．