北师大版数学五年级上册 倍数与因数 教学实录与解析

构建“关系”模型 深化概念理解
——“倍数与因数 ”联结教学实录与解析
在小学阶段，“倍数与因数”是整数学习中的重要概念，旨在让学生理解倍数与因数是一种相互依存的关系。可是在实际的教学中，我们不难发现，对于此知识单元，由于概念之多，学生掌握不易，起始课的教学就尤为重要。在新课标理念下，我们不仅仅要着眼于让学生知道“什么是倍数和因数”，更重要的是引导学生经历知识的形成过程，理解概念背后的数学关系，实现核心素养的协同发展。因此，本节课教学中，我重点引导学生探究“倍数与因数”的结构本质——整数之间一种相互依存的关系。让学生经历从式出发，联结构建“关系”模型，深刻认识倍数与因数这两个核心概念及其内在联系。
教学目标
使学生进一步掌握倍数与因数的相关知识，能正确判断奇数和偶数、质数和合数。 2.能根据2，5和3的倍数的特征，正确判断2，5和3的倍数。
让学生获得成功体验，培养学生学习的积极性和良好的情感态度。
[教学重点] 使学生进一步掌握倍数与因数的相关知识，能正确判断奇数和偶数、质数和合数。
[教学难点] 正确判断2，5和3的倍数，让学生获得成功体验，培养学生学习的积极性和良好的情感态度
一、创设情境，建立联结
师：同学们，我们人与人之间存在着各种关系，谁能说一说自己与妈妈的关系是什么？
生 1：母子关系。
生2：母女关系。
师：那么你们与老师又是什么关系呢？
生：师生关系。
师：能不能单独说老师是师生关系呢？
生：不能，要说和谁是师生关系。
师小结：是啊，人与人之间的关系不是独立的，是相互依存的。在数学王国里，也有一些存在着相互依存关系的数，它们就是倍数与因数。(板书课题)
师：看到这个课题，你们有什么想问的
生1：什么是因数 什么是倍数
生2：因数与倍数是什么关系？
师：大家都很善于提出问题，带着这些问题，让我们开始今天的研究。
【解析：先让学生说一说人与人之间的关系，通过述说，学生初步感知到，“关系”不是独立存在的，而是相互依存的。进而对探究新知埋下了伏笔：数学王国里的“倍数”与“因数”究竟是什么？它们又是一个怎样的关系？】
二、列式解答，初步感知
师：让我们带着这些疑问，一起进入今天的学习。请看大屏幕，你能算一算两班各有多少人吗？
生1：左边一共有36人，因为一排有9人，有4排。列式为9×4=36（人）
生2：右边这里有35人，因为一排有5人，有7排。列式为5×7=35（人）
【解析：从生活中的数学问题引入，通过列乘法算式来解决这个问题是轻车熟路的事情。同时，学生也初步感知了倍数与因数的关系，为后面正确理解倍数与因数的概念提供了素材，做好了铺垫作用。】
三、以式立意，内化关联
师：刚才大家在解决这个问题的时候，都列出了乘法算式。回顾一下，它们在乘法算式中都有怎样的等量关系呢？
生：乘数×乘数=积。
师：是的，这是咱们三年级学的知识，而咱们今天要研究的倍数与因数，就藏在这个乘法算式里。请看“认一认”。
师：认完了吗？谁来说说看，你知道了什么？大家可以结合一个具体的式子来说说看，把你了解到的关于倍数与因数的知识和大家说一说。
生1：在算式9×4=36中，36是9和4的倍数，9和4是36的因数。
生2：在算式5×7=35中，35是5和7的倍数，5和7是35的因数。
师：你觉得他们说得有道理吗？
师：看来同学们都会根据乘法算式找到倍数与因数了，下面我们就来试一试吧。
（出示一组算式）
师：是不是所有像这样的乘法算式都能找到倍数与因数呢？为什么？
生：不是的，比如0.5×7＝3.5，算式中存在小数，不在非零自然数的范围内，所以不存在倍数与因数。
师：的确如此，我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。
师：了解了倍数与因数的研究范围，接下去就请大家结合一个具体的乘法式子来找一找倍数与因数。同桌之间相互找，相互说。
师：像这样的乘法算式我们能说完吗？能不能用一个式子来表示所有的这样的乘法算式？
师小结：a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），c是a和b的倍数，a和b是c的因数。
【解析：此过程，环环相扣，从“认一认”到“找一找”、“说一说”、“写一写”，学生依托乘法算式，正确理解了倍数与因数的含义，初步感受到倍数与因数其实就是以前所接触的乘法算式中积与乘数之间的关系（非0自然数范围）。以式立意，初步感知倍数与因数是一种相互依存关系。】
四、结构辨析，深究本质
出示算式：5×4＝20，20×5＝100
师：那你能根据这两个算式，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数吗？
生1：20是5和4的倍数，4和5是20的因数。
生2：100是20和5的倍数，20和5是100的因数。
师：老师有一个疑问，同样是20，为什么一下子说它是倍数，一下子又说它是因数？
生1：因为它在不同的乘法算式里，5×4＝20，所以20是5和4的倍数； 20×5＝100，所以20是100的因数。
生2:20相对于5和4来说是倍数，相对于100来说是因数。
师：像20这样的数既是一个数的倍数，又可以是另一个数的因数，所以我们在说倍数与因数时一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。而不能单独说谁是倍数，谁是因数。
师：那为什么两个算式里都称“5”为因数呢？
生：因为5不管相对于20还是相对于100来说，都是因数。
师：结合上面的学习，你觉得倍数与因数是一种独立的数吗？
生：不是，它们更像是一种关系。
小结：像这样互相存在，互相依赖的关系我们称作“相互依存”。
【解析：通过两个算式“5×4＝20，20×5＝100”让学生辨析，不仅能正确区分倍数与因数，进一步巩固和掌握了它们的概念，更重要地让学生深究理解了倍数与因数的本质特征——一种相互依存的关系。至此，学生不仅对倍数与因数构建了一种“数”的模型，更体验了一种相互依存的“关系”模型。】
五、活动探索，研究倍数
师： 刚刚了解倍数与因数，我们在下面的数中找出7的倍数，你会找吗？来，拿出作业纸试试看，找好了的同学和你的同桌说一说，你是怎样找的。
（学生独立解决问题——同桌交流——全班汇报）
师：现在谁来说说看，你找到的7的倍数是哪些数字？
生：7的倍数有7,14,77。
师：同意吗？能告诉大家你是怎么找到的吗？
生：我是用除法找的，用每个数去除以7，如果没有余数就是7的倍数，否则就不是。
师：有没有不一样的想法？
生：我是用乘法找的，因为7×1=7,7×2=14，7×3=21，……
师小结：刚才大家都用了自己的方法找到了7的倍数，有些是用乘法找的，有些是用除法找的。那想一想，7的倍数除了这些，你觉得还有吗？
生：还有很多，用乘1、乘2、乘3，一直找下去。
师小结：看来，我们可以像这位同学一样，按照一定的顺序来找，就不会重复也不会遗漏，这其实也是咱们数学上的有序思想。
师：通过我们刚才的探究，你发现了什么？
生：这里所有倍数中最小的是7，找不到最大的。
师：能找到所有7的倍数么？
生：不能，有无数个。
师：是不是所有数的倍数个数都是无限个呢？请试着找一找其它数的倍数，并说一说你的发现。
小结：一个数倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，一个数的最小倍数是它自己本身。
【解析：引导学生用乘法或除法算式进一步强化对概念的认知。学生有序探索一个数的倍数的方法，师生充分互动合作，彼此共同经历了一个数的倍数个数有无限个的发展过程，并借助集合图帮助学生强化了对倍数规律的理解和掌握，使学生在猜测、实验、观察、验证、比较中提炼总结出一个数倍数的特征。】
六、题组练习，巩固深化
师：接下去让我们用今天所学的知识来解决一些问题。
师：根据算式（84÷14=6，32÷8=4，8÷4=2，），说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。
学生1：84是14和6的倍数，14是6和84的因数。
学生2：32是8和4的倍数，8是4和32的因数。
学生3：8是4和2的倍数，4和2是8的因数。
师：在除法算式中怎样去找倍数与因数的？
生1：把除法算式转化成乘法算式，然后去找倍数和因数。
生2：较大数是两个较小数的倍数，较小数是较大数的因数。
生3：……
小结：在非0自然数且没有余数的除法算式中，被除数是商和除数的倍数，商和除数是被除数的因数。
师：在后两题除法中，8既是2和4的倍数，又是32的因数，而4的身份始终没有变。可见，我们在说倍数与因数时一定要说清楚哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数，因为倍数与因数的关系是互相依存的。
师：哪些数既是4的倍数，又是6的倍数？你是怎么找的？
生：……
游戏：神秘的他（猜学号）
师：你认为这位同学的学号是几号呢？为什么？
生：十位上的数字是最小的一位数是1，个位上的数字既是2的倍数又是3的倍数是6，所以他的学号是16号。
师：那第二位同学的学号是几号呢？
生2：十位上的数字是3的倍数是3或6或9，但是我们班只有45人，所以十位上的数字只能是3，个位上的数字是4的倍数有4和8，所以34号和38号都是符合所说的学号的特征。
4.趣味下课法：
请学号是2的倍数的同学先离开教室。
请学号是3的倍数的同学接着离开教室。
请学号是5的倍数的同学马上离开教室。
师：剩下的同学们，老师只要说谁的倍数，你们都可以离开教室了？
生：1的倍数。
【解析：围绕“关系——方法——应用”这条主线，从基础到变式到拓展，从易到难，层层递进，将知识点串联成网，巩固了倍数与因数核心概念的本质内涵，也进而培养了学生的数感、推理意识和模型思想。练习中通过结构化题组的辨析，让学生从除法视角再次感悟倍数与因数的相对性，并利用学生身边的素材——学号进行综合运用和趣味下课，激发了学生学习数学的兴趣。】