射洪中学高2024级高二上期半期考试
数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B D C B D A AD BC ABD
填空题 12.-1 13. 33 14. 0,
1
2
8.【详解】由圆方程知圆心为C(-2,0)，半径为 1，
因为QA,QB为圆的切线，所以AB⊥QC，CA⊥QA,CB⊥QB， QA = QB ，
S四边形QACB= QA AC = QA ，要使得S四边形QACB最小，只要 QA 最小，
由切线长公式知，只要 QC 最小.
-2+0-2
当QC⊥ l时， QC min= = 2 2，此时 QA = QC 2- CA 2 = 7 ,2
所以S四边形QACB的最小值是 2 7，故选：A.
10.【解析】对于A，圆C：x2+ y2- 4x+ 8y- 2m= 0的标准方程为 x-2 2 + y+4 2 = 20+ 2m，
所以圆心C 2,-4 ，半径 r= 20+2m，
由圆C的半径为 2，则 20+2m= 2，解得m=-8，故A错误；
对于B，因为直线 l方程为 4x- 3y- 8= 0，
4×2-3× -4 -8
则圆心C 2,-4 到直线 l的距离 d= = 125 > 2，所以直线 l与圆C相离，故B正确；42+ -3 2
对于C，因为圆心C 2,-4 到直线 l的距离 d= 125 ，
12 2 2
由 d- r= 5 - 2= 5 ，所以到直线 l的距离等于 5 的P点只有 1个，故C正确.
3
对于D，因为直线 l垂直的直线斜率为- 4 ，
则过圆心C且与直线 l垂直的直线方程为 y- -4 =- 34 x-2 ，即 3x+ 4y+ 10= 0，故D错误；故选：BC.
11.【解析】对于A：△AA1D的面积不变，点P到平面AA1D1D的距离为正方体棱长，
所以三棱锥P-AA1D的体积不变，
且V 1P-A = S AB=
1 × 1 × 2× 2× 2= 4 ，所以A正确；
1A1D 3 △AA1D 3 2 3
对于B：以D为原点，DA,DA,DD1所在的直线分别为 x轴、y轴和 z轴，建立空间直角坐标系，
可得A1 2,0,2 ,D1 0,0,2 ,C1 0,2,2 ，
设P x,2-x,0 ,0≤ x≤ 2，则D1P= x,2-x,-2 ，A1C1= -2,2,0 ，
D1P A1C1 x-1
设D1P与A1C1所成角为 θ，cosθ= cos= = ，
D1P A1C1 x-1 2 +3
因为 0≤ x-1 ≤ 1，
当 x-1 = 0时，可得 cosθ= 0，所以 θ= π2 ，
x-1
当 0< x-1 ≤ 1时，cosθ= = 1 ≤ 1 ，
x-1 2 +3 x-1+ 3 2x-1
由 θ∈ 0,
π π π2 ，所以 3 ≤ θ< 2 ，
π π
所以异面直线D1P与A1C1所成角的取值范围是 3 ,
2 ，所以B正确；
对于C，由B1 2,2,2 ,D1 0,0,2 ,C 0,2,0 ,F 2,1,2 ，
高二数学 第1页 共4页 参考答案
设P m,n,0 ，0≤m≤ 2,0≤n≤ 2,则CB1= 2,0,2 ，CD1= 0,-2,2 ，FP= m-2,n-1,-2 ，
设平面B1CD1的一个法向量为n= a,b,c ，则n CD1=-2b+ 2c= 0,n
CB1= 2a+ 2c= 0，
取 a= 1，可得 b=-1,c=-1 ，所以n= 1,-1,-1 ，
因为PF 平面B1CD1，所以FP n
= m-2 - n-1 + 2= 0，可得n=m+ 1，
所以 FP = m-2 2 + n-1 2 +4= 2m2-4m+8= 2 m-1 2 +6≥ 6，
当m= 1时，等号成立，所以C错误；
对于D：因为直线AP与平面ABCD所成的角为 45°，
由AA1⊥平面ABCD，得直线AP与AA1所成的角为 45°，
若点P在平面DCC1D1和平面BCC1B1内，
因为∠B1AB= 45°，∠D1AD= 45°，故不成立；
在平面ADD1A1内，点P的轨迹是A1D= 2 2；
在平面ABB1A1内，点P的轨迹是AB1= 2 2；
在平面A1B1C1D1内，作PM⊥平面ABCD，如图所示，
因为∠PAM= 45°，所以PM=AM，
又因为PM=AB，所以AM=AB，所以A1P=AB，
所以点P的轨迹是以A1点为圆心，以 2为半径的四分之一圆，
所以点P 1的轨迹的长度为 4 × 2π× 2= π，
综上，点P的轨迹的总长度为 π+ 4 2，所以D正确.故选：ABD.
2 2
13.【解析】不妨设F2 c,0 a2-b2=c2,c>0 ，则 PF = b 1- c b2 2 = a ， F1F2 = 2c,a
2 2 2
又△F b1PQ为等边三角形，则 a × 3= 2c
a -c 2c
a = ，3
即 3a2- 3c2= 2ac, ∴ 3e2+ 2e- 3= 3e-1 e+ 3 = 0，
3 3
解之得 e= 3 ，负根舍去.故答案为： 3 .
14.【解析】该问题等价于 y=mx- 1与 y=- 1-(x-1)2有两个不同交点，
对于 y=- 1-(x- )2 y≤01 等价于 - ，即半圆， x 1 2 +y2=1 y 2，0 l2
对于 y=mx- 1，该直线过定点 0，-1 ， O x
如图：直线绕点 0，-1 从 l1逆时针旋转到 l2 不包括 l1 时， l1
1 1
直线与半圆有两个不同交点，kl = 0，k 1 l = 2 ，故m∈ 0,2 2 .
2 y2
15. x【解析】(1)由题意可设C: 2 + 2 = 1 a>b>0 ， 1分a b
M 3, 1 3 1将 2 代入得 2 + 2 = 1， 3分a 4b
又 c= 3，解得 a= 2,b= 1， 6分
x2
所以椭圆方程为 4 + y
2= 1. 7分
(2) x
2
将直线 y= x- 1与椭圆 + y2= 1联立得 5x24 - 8x= 0， 9分
设P x1,y 81 ,Q x2,y2 ，则 x1+ x2= 5 ,x1x2= 0， 11分
∴ PQ = 1+k2 x +x 2-4x x = 8 2 1 2 1 2 5 . 13分
高二数学 第2页 共4页 参考答案
16.【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系D- xyz，所以D1 0,0,2 ,F 0,1,0 ,A 2,0,0 ,E 2,2,1 ，
则D1F = 0,1,-2 ,DA= 2,0,0 ,DE= 2,2,1 ， 3分
设平面ADE 的一个法向量为n= x,y,z ，
n
D
则
A =2x=0 ，令 y= 1 ，则 x= 0,z=-2，即n= 0,1,-2 ， 6分
n DE=2x+2y+z=0
显然n=D1F，所以D1F⊥平面ADE； 8分
(2)由 (1)可知平面ADE的法向量为n = 0,1,-2 ；
DC1 n 1×2+ -2 ×2
DC = 0,2,2 2 5又 1 ，所以C1到平面ADE的距离 d= = = . 13分 n 12+ -2 2 5
17.【解析】(1)设“甲答对 3道题目”为事件A，
2
因为甲答对每道题目的概率都是 3 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
所以P A
2 2 2 8
= 3 × 3 × 3 = 27； 5分
(2)设“乙恰好答对 2道题目”为事件B，
1
又乙答对每道题目的概率都是 2 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
3
所以P B = 3× 12 =
3
8 ； 10分
(3)设“甲通过面试”为事件C，“乙通过面试”为事件D，且C与D相互独立，
所以P C = 1-P C = 1- 1 × 1 × 1 = 263 3 3 27， 11分
P D = 1-P D = 1- 1 × 1 2 2 ×
1
2 =
7
8 ， 12分
设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件E，则E= (CD) ∪ (CD)，
因为CD与CD互斥，C与D，C与D分别相互独立，
所以P E =P CD∪CD =P CD +P CD =P C P D +P C P D
= 26 × 1 1 7 1127 8 + 27 × 8 = 72 ，
11
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 72 . 15分
18.【解析】 1 连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接EO，且O、E分别为AC、CP的中点，
所以OE PA，PA 平面BDE，OE 平面BDE，PA 平面BDE. 4分
2 因为底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
以点D为坐标原点，DA，DC，DP方向的直线分别为 x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz，不妨设AB= 2，
D 0,0,0 ，P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1)
所以PB= (2,2, -2),DB= (2,2,0),DE= (0,1,1)， 6分
= ( , , ) n D B =0 2x+2y=0设平面BDE的法向量为n x y z ，则 n ，即 DE=0 y+z= ，0
令 x= 1，则n = (1, -1,1). 8分
PB n 2-2-2
设直线PB与平面BDE所成角为 α sinα= 1，则
PB n
= =
2 3× 3 3
，
PB BDE 1所以直线 与平面 所成角的正弦值为 3 . 10分
高二数学 第3页 共4页 参考答案
3 设PF = λPB，则F(2λ,2λ,2- 2λ)，所以EF = (2λ,2λ- 1,1- 2λ)，
又EF⊥PB，所以EF PB= 4λ+ 4λ- 2- 2+ 4λ= 12λ- 4= 0，解得 λ= 13 ， 12分
F 2 , 2 , 4
. DA= (2,0,0),DF = 2 , 2 4
所以 3 3 3 则 3 3 , 3 ,DE= (0,1,1)，
设平面ADF的法向量为n1= (x1,y1,z1)，
n1 D A =0 2x1=0 则 ，即 2 + 2 + 4 = ，令 z1=-1，则n1= (0,2, -1)； 14分n1 DF=0 3 x1 3 y1 3 z1 0
由 2 平面BDE的法向量为n= (1, -1,1)，
n n -2-1
设平面ADF与平面BDE的夹角为 θ，则 cosθ= 1
= = 15 ；
n1 n 5× 3 5
15
所以平面ADF与平面DEF的夹角的余弦值为 5 . 17分
19.【解析】(1)设圆心C的坐标为 a,b .
因为A,B是圆C上的两点，所以 CA = CB ，所以 a2+(b-3)2= a2+(b+1)2 ,
即-6b+ 9= 2b+ 1，解得 b= 1.
因为圆心C在直线 y= 2x+ 1上，所以 b= 2a+ 1= 1，解得 a= 0，
则圆C的半径 r= CA = 0+(1-3)2= 2，故圆C的标准方程为 x2+ (y- 1)2= 4. 5分
(2)设直线 l:y= kx+ 2,D x1,y1 ,E x2,y2 .
y=kx+2,由 2 2 2+( - )2= 整理得 k +1 x + 2kx- 3= 0，x y 1 4,
则Δ= 4k2- 4 k2+1 × -3 = 16k2+ 12> 0，
故 x1+ x2=- 2k2 ,x1x2=-
3
2 . 8分k +1 k +1
y1-3 y2-3
①证明：因为 k1= x ,k2= ，1 x2
= y1-3 y2-3
y1y2-3 y1+y2 +9 k2x x -k = 1 2
x1+x2 +1
所以 k1k2 x1 x2 x1x
=
2 x1x
.
2
x + x =- 2k把 1 2 2 ,x
3
k +1 1
x2=- k2
代入上式，
+1
k2 - 3 -k - 2k2 2 +1
得 k k = k +1 k +1 11 2 3 =- 3 . 12分-
k2+1
y1-3
②直线AD的方程为 y= x x+
y +1
3，直线BE的方程为 y= 2 x- 1.
1 x2
= y1-3 y x x+3,1 y-3 y1-3= x2 kx1-1 x= 2 kx x -x由 y +1 得 =
1 2 2 .
y= 2 x-1, y+1 x1 y2+1 x1 kx2+3 kx1x2+3x1x2
2k 3
因为 x1+ x2=- 2 ,x1x2=- 2 ，所以 3+ +
x +x = 2kx x
k 1 k 1 1 2 1 2
，
3
kx x -x 2 x1+x2 -x21 2 2 = = 3x所以 1+x2+ =
1
，
kx1x2 3x1 3 x +x +3x 9x1+3x2 32 1 2 1
y-3 1
即 y+1 = 3 ，则 y= 5，即点P在定直线 y= 5上. 17分
高二数学 第4页 共4页 参考答案射洪中学高 2024级高二上期半期考试
数学试题
命题人：林 毅 审题人：杨 勇 龚 旻
(考试时间：120分钟分值：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题 共 58分)
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1.直线 y= x的倾斜角为 ( )
A. 0° B. 45° C. 90° D. 135°
2.已知直线 2x+my+ 1= 0和 x- y- 1= 0平行，则m的值为 ( )
A. -2 B. 2 C. - 1 D. 1
3.已知向量 a= 3，1，z ，b= -2，y，1 ，若 a b，则 y+ z= ( )
A. -3 B. 6 C. -6 D. -12
2 y2
4. x设P是椭圆 25 + 16 = 1上的点，若F1，F2是该椭圆的两个焦点，则 PF1 + PF2 = ( )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
5.如图，在平行六面体ABCD-A B 1 1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB= a，AD= b，AA1= c，则
下列向量中与AM = ( )
A. - 1 12 a- 2 b+ c
B. 1 a 2 -
1
2 b+ c
C. 1 a + 1 b+ c D. - 12 2 2 a
+ 12 b+ c
高二数学 第1页 共4页
6.口袋内装有除颜色外均相同的 3个红球和 1个白球，有放回的抽取两次，事件：“抽取的 2球中恰有 1个红
球和 1个白球”的概率为 ( )
A. 316 B.
3 1
8 C. 4 D.
1
2
7.已知A(-1,0)，B(1,0)，直线AM ,BM相交于点M，且直线AM与直线BM的斜率之积为-2，则点M的轨
迹方程为 ( )
A. x2+ y2= 1(x≠±1) B. x2- y2= 1(x≠±1)
y2 2
C. x2- 2 = 1(x≠±1)
y
D. x2+ 2 = 1(x≠±1)
8.点Q为直线 l:x+ y- 2= 0上的一点，过点Q作圆C: x+2 2 + y2= 1的两条切线，切点分别为A，B，则四
边形QACB面积的最小值为 ( )
A. 7 B. 2 2 C. 2 7 D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要
求的，选不全对得2分，选错得0分。
9.已知事件A，B满足P(A) = 0.6，P(B) = 0.4，则下列结论正确的是 ( )
A. 若A与B相互独立，则P(AB) = 0.36 B. 若A与B互斥，则P(AB) = 0.24
C. A与B相互对立 D. 若B A，则P(A∪B) = 0.6
10.已知直线 l：4x- 3y+m= 0，圆C：x2+ y2- 4x+ 8y- 2m= 0的半径为 2，点P在圆C上，则下列说法
正确的是 ( )
A. m=-9
B. 直线 l与圆C相离
C. 到直线 l 2的距离等于 5 的P点只有 1个
D. 过圆心C且与直线 l垂直的直线方程为 4x- 3y- 20= 0
11.如图，点P是棱长为 2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则 ( )
A. 当P在平面BCC1B
4
1上运动时，三棱锥P-AA1D的体积为定值 3
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是
π , π 3 2
C. 若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF 平面B1CD1时，PF长度的最小值是
5
D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为 45°的点P的轨迹长度为 π+ 4 2
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第二部分 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线 l:x- y+m= 0过圆C:x2+ y2- 2x- 3= 0的圆心，则m=_____.
2
13. x
2 y
已知椭圆 2 + 2 = 1的左右焦点分别为F1,F2，过F2作 x轴的垂线交椭圆于P,Q，若△F1PQ为等边三角a b
形，则椭圆的离心率为______.
14.若方程mx- 1=- 1-(x-1)2有两个不同的解，则m的取值范围为 .
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)如图，已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，其中左焦点为 F1 - 3,0 ，右焦点
F2 3,0 1 ，点B 3, 2 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线 l:y= x- 1与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长 PQ .
y
B
F1 O F2 x
16. (15分)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，E、F分别是BB1，CD的中点．
(1)求证：D1F⊥平面ADE；
( ) D2 求C1到平面ADE C的距离. 1 1
A B11
D E C
F
A B
17. (15分)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都
2 1
是 3 ，乙答对每道题目的概率都是 2 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影
响；
(1)若每位面试者都必须回答全部 3道题，求甲答对 3道题目的概率．
(2)若每位面试者都必须回答全部 3道题，求乙恰好答对 2道题目的概率．
(3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
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18. (17分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，
E为PC中点，作EF⊥PB于F.
(1)求证：PA 平面BDE；
(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值；
(3)求平面ADF与平面BDE的夹角的余弦值.
P
F E
C
D
A B
19. (17分)已知圆C经过A 0,3 ,B 0,-1 两点，且圆心C在直线 y= 2x+ 1上.
(1)求圆C的标准方程.
(2)已知斜率为 k的直线 l过点 0,2 ，且与圆C交于D,E两点，直线AD与直线BE交于点P.
1
①记直线AD的斜率为 k1，直线AE的斜率为 k2，证明：k1k2=- 3 .
②试问点P是否在定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由.
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