华师版秋学期九年级上册数学《24.3.2特殊角的三角函数值》专训(含解析)

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华师版秋学期九年级上册数学《24.3.2特殊角的三角函数值》专训
一、选择题。
1、sin60°的值为(　　　)
A. B. C.1 D.
2、如图1：每个小正方形的边长均为1，则sinB的值为(　　　)
A. B. C. D.
3、下列三角函数值是有理数的是(　　　)
A.sin30° B.cos45° C.sin60° D.tan30°
4、如图2：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为AC边的中点，E为BC边上任意一点。若AC＝4，CE＝DE，则CE的长为(　　　)
A. B. C. D.
5、下列式子错误的是(　　　)
A.cos40°＝sin50° B.tan30°·tan60°＝1
C.sin230°＋cos230°＝1 D.sin60°＝2sin30°
6、如图3：在平面直角坐标系中，将边长为的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形0A1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形0A2025B2025C2025，那么点A2025的坐标是(　　　)
A.(，) B.(1，1) C.(，0) D.(0，)
7、计算：cos30°＝(　　　)
A. B.1 C. D.
8、如图4：BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则tan∠AFD的值是(　　　)
A. B. C. D.
9、点p(sin30°，tan45°)关于x轴的对称点为Q，点Q关于原点
的对称点为M，则M的坐标为(　　　)
A.(，－1) B.(－，1) C.(－，－1) D.以上答案都不对
10、如图5：在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC交AC于点D，BD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，若AD＝10，则AE的长为(　　　)
A.5＋5 B.5 C.5＋6 D.6
二、填空题。
11、计算(1)sin60°＝　　　；(2)tan45°＋＝　　　；(3)2cos45°＝　　　。
12、如图6是一个直角三角尺，其中∠B＝30°，∠C＝90°，则sinA＝　　　　　。
13、(1)－3－1＋tan230°－(－2025)0＝　　；(2)＋2cos30°－＝　　。
14、已知β为锐角，且cosβ＝，那么β的度数为　　　　　。
15、关于三角函数有如下公式：
，
，
合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如：，
利用上述公式计算下列三角函数
其中正确的有　　　　　(填序号)。
三、解答题。
16、计算：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
17、先化简再求值：，其中。
18、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，延长BC至点D，连接AD。
(1)求sinB的值；(2)若∠ADB＝30°，求CD的长。
19、如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝。点D为BC边上一点，且BD＝2AD，
∠DAC＝30°，求△ABC的周长(结果保留根号)。
20、【问题情境】如图1：小明把直角三角板EFG(∠GFE＝30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在AD、CD、AB上，他发现线段ED与AG存在一定的数量关系，请你能帮他写出结论并给出证明；
【变式探究】如图2：小颖把直角三角板EFG(∠GFE＝30°)放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上，若GA＝4，AE＝6，请求出BG的长。
【拓展应用】如图3：小强把另一个三角形纸板EFG放置到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上，若∠FEG＝∠BAD，＝，＝，你能求出的值吗？试一试。
华师版秋学期九年级上册数学《24.3.2特殊角的三角函数值》专训答案解析
一、选择题。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B D B C D B A
1、D
【分析】题目主要考查特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题关键.
根据，直接判断即可.
【详解】解：，
故选：D.
2、C
【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解.
【详解】解：由图可得，，，
∴，
∴.
故选：C.
3、A
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数.熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键；
分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可.
【详解】解：
A、，是有理数，故符合题意；
B、，是无理数，故不符合题意；
C、，是无理数，故不符合题意；
D、，是无理数，故不符合题意；
故选：A
4、B
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，含角的直角三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.
过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出的长，再根据三角函数求解即可.
【详解】解：如图，过点作于点，
，
∴，
∵，
∴，
∵，为边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴.
故选：B.
5、D
【分析】本题考查了特殊角三角函数的运算，根据，，以及特殊角的三角函数值进行逐项分析，即可作答.
【详解】解：A、，原式正确，故该选项不符合题意；
B、，原式正确，故该选项不符合题意；
C、，原式正确，故该选项不符合题意；
D、，则，原式不正确，故该选项符合题意；
故选：D.
6、B
【分析】本题考查了正方形和旋转的性质，图形的坐标变化规律，三角函数的计算.由正方形的性质可得点A的坐标为，再根据旋转的性质可得，据此可得每旋转8次，点A的对应点循环出现一次，即可求解，由旋转的性质得到图形的坐标变化规律是解题的关键.
【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为，
∴点A的坐标为，
∵，
∴每旋转8次，点A的对应点循环出现一次，
∵，
∴点的坐标与点的坐标相同，
由旋转知，
∴点的横、纵坐标均为，即，
∴点的坐标为，
故选B.
7、C
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键.
直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案.
【详解】解：依题意，，
∴.
故选：C.
8、D
【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键.
【详解】解：连接，
于点E，E为的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：D.
9、B
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，求出，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出点Q的坐标，最后根据原点对称的点横、纵坐标互为相反数，求出M点的坐标即可.
【详解】解：点的坐标为,
∴点P关于x轴的对称点Q的坐标为，
∴点Q关于原点的对称点M的坐标为，故B正确.
故选：B.
10、A
【分析】过点作于，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则，再证明得到，接着计算出、，然后计算出，从而得到的长.
【详解】解：过点作于，连接，如图，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用所学知识解决问题.
二、填空题。
11、(1) (2) (3)
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.利用特殊角的三角函数值，直接代入计算.
(1)【详解】解：.
(2)【详解】解：.
(3)【详解】解：，
故答案为：(1) (2) (3) .
12、/
【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值.根据特殊锐角的三角函数值即可求解.
【详解】解：∵，，
∴.
∴.
故答案为:.
13、(1)2 (2)5
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂等运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
根据相关运算法则进行计算即可.
(1)【详解】解：原式，
(2)【详解】解：原式.
故答案为：(1)2 (2)5 .
14、/30度
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】解：∵cosβ＝，
∴β＝30°.
故答案为：.
15、①②③④
【分析】此题考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，利用三角函数和差公式，将各角分解为特殊角组合，逐一计算验证，正确应用公式是解题关键.
【详解】解：①
，故①符合题意；
②
，故②符合题意；
③
＝
，故③符合题意；
④
，故④符合题意；
∴符合题意的有：①②③④，
故答案为：①②③④.
三、解答题。
16、(1)2 (2) (3)6 (4) (5)12 (6)
【分析】本题主要考查实数的混合运算，二次根式的化简，负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数，先计算负指数幂，三角函数值，零次幂，再化简二次根式，最后根据实数混合运算法则即可求解.
(1)【详解】解：原式
.
(2)【详解】解：
.
(3)【详解】解：
.
(4)【详解】解：
.
(5)【详解】解：原式 .
(6)【详解】原式
17、，
【分析】本题考查分式化简求值，先计算多项式的乘法、括号内的分式的加法，同时将分式的除法转化为乘法，然后再约分化成最简形式，然后根据零指数幂及特殊角的三角函数值将化简，再代入计算即可.掌握相应的运算法则、运算顺序及公式是解题的关键.
【详解】解：
，
∵，
∴原式.
18、(1)
(2)
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
(1)作于点，利用三线合一性质得到，利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义即可求解；
(2)利用正切的定义可得，求出的长，再利用即可求解.
【详解】(1)解：如图，作于点，
，，
，，
，
在中，.
(2)解：在中，，
，
，
.
19、2＋5＋.
【分析】要求△ABC的周长,只要求得BC及AB的长度即可.根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值,可以求得AD的长度,也可求得CD的长度;再根据已知条件求得BD的长度,继而求得BC的长度;运用勾股定理可以求得AB的长度,求得△ABC的周长.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2.
∵∠DAC＝30°，
∴AD＝2DC，
由，AC＝，得：DC＝1，AD＝2，BD＝2AD＝4 ，BC＝BD＋DC＝5
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5
由勾股定理得：AB＝＝2
所以Rt△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋5＋
【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.
20、问题情境：，证明见解析；变式探究：；拓展应用：
【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得；
变式探究：过点F作，同(1)可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解；
拓展应用：延长至M，连接交于P，使，则，再证，推出，再利用平行四边形的性质证明，即可求得的值.
【详解】解：问题情境：，理由如下：
如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
变式探究：
如图2，过点F作于H，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
拓展应用：
如图3，延长至M，连接交于P，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，即，∴.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键。
学校∶ 考号∶ 姓名∶ 班级∶
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图1
图2
图3
图4
图5
图6
学校∶ 考号∶ 姓名∶ 班级∶
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