2025-2026学年八年级数学苏科版上学期第三次月考测试卷（1-4章）（含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考测试卷（1-4章）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
2．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A． B．2025 C． D．2026
3．如图，已知，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，在中，，将 ABC按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．我们用表示距离（为非负整数）最近的整数．例如：因为所以；因为，所以因为，所以．根据以上定义，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．当时，满足条件的的值有6个 D．时，的值为600
7．某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　）
A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖
C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖
8．如图，已知 ABC为直角三角形，，为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与重合，一个直角边与的延长线交于点，另一直角边与边交于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．21 D．25
9．如图，在 ABC中，，D为上一动点（不与点A重合），为等边三角形，过D点作的垂线，F为垂线上任意一点，G为的中点，则线段长的最小值是（ ）
A． B．9 C． D．6
10．如图，在四边形中，与交于点，，，，平分．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分
11．已知点，将点P先向右平移5个单位，再向上平移6个单位得到点，若在第二象限，则m的取值范围为 ．
12．写出一个有理数，使，你写的为 ．
13．如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ．
14．代数式的最小值是
15．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m，则有以下结论：
①当，点B是线段的中点；②无论m取何值，都为定值；
③存在唯一一个m的值，使得；④存在唯一一个m的值，使得．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
16．如图，在四边形中，，过点A作.于点E，连接，若，，则的长为 ．
17．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ．
18．如图，在 ABC中，于点，平分，且于点，与相交于点于点，交于点．下列结论：①，②，③，④，其中正确的有 （填序号）．
三、解答题（本题共8小题，共78分。）
19．（8分）探究与解决：对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：
，．
观察上述式子的特征，解答下列问题：
(1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）：= ；= ；
(2)当时，= ；当时，= ；
(3)计算：．
20．（8分）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)．
(1)求水池的深度和芦苇的长度；
(2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性．
21．（10分）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点．
【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程．
【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．
【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算）
22．（10分）综合与探究
【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在中，，分别以 ABC的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积．
【独立思考】（1）请解答老师提出的问题．
【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长．
【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角 ABC变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值．
23．（10分）（1）如图1，在等腰直角 ABC中，，，直线经过点，过点，作，，垂足分别为、．求证：；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限， ABC是等腰直角三角形，，．求点坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，求点的横坐标．
24．（10分）在等边 ABC中，点，分别在边，上．连结，以为边向左作等边．
(1)如图1，当恰好落在边上时，求证：；
(2)如图2，当落在 ABC内时，若，
①求的度数；②以、、为边的三角形是______三角形．
(3)如图3，当落在 ABC外时，若，求的度数．
25．（11分）在平面直角坐标系中，对于点，点和直线，点关于的对称点为点，点是直线上一点，过点作线段垂直于且等于，则称点是点关于直线和点的“垂直点”．若线段与直线有交点，则称点是点关于直线和点的“有效垂直点”．
(1)如图所示，若点的坐标为，点的坐标为，在图中的点，，，中，______是点关于轴和点的“有效垂直点”．
(2)点的坐标为．①若点的坐标为，点是点关于轴和点的“垂直点”，求点的坐标（用含的式子表示）；②若，点、都在过点和的直线上，且点是点关于轴和点的“有效垂直点”，求点的坐标．
(3)若点的坐标是，点，点，若线段上存在点以及点关于轴和点的“垂直点”．直接写出的值为______．
26．（11分）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．
某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：
已知在四边形中，，，分别是直线，上的点．
（1）如图，若，，，分别在线段，上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系．
数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为__________．
（2）如图，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，，之间的数量关系．
数学小组的同学们先猜想线段，，之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法：
方法1：延长至点，使得，先证与的全等，再证与的全等，可得到线段，，的之间的数量关系． 方法2：在上截取，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．
请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明．
（3）如图，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．A
【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为．∴，
又∵ 该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点，
∴ 点表示的数．故答案为：．
2．D
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ，
同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ，
∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ，，
∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ．故选：D．
3．B
【详解】解：以点为圆心，为半径画圆，交于点，，，
，，
是的外角，是的外角，
，，
，，即，
、、选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意．故选：．
4．C
【详解】解：根据折叠的性质得：
，
在中，设，则
即解得 故选：C．
5．D
【详解】解：①“1和点”满足横、纵坐标之和为1，第四象限内的点横坐标，纵坐标，
只要，即可满足，有无数个这样的点，所以第四象限内有无数个“1和点”，①正确；
②“2和点”满足，第一、三象限的角平分线上的点横、纵坐标相等，即，
将代入，解得：，，只有这一个点，所以②错误；
③y轴上的点横坐标，“3和点”满足，
当时，，所以y轴上有“3和点”，所以③错误；
④第三象限内的点横、纵坐标都为负数，即，，所以，
所以第三象限内没有“k和点”，则故④正确．故选：D
6．B
【详解】解：选项A：，最近整数为2，故；，最近整数为3，故，因此，正确．
选项B：计算。由定义得，，，，，。代入得，错误．
选项C：当时，，对应（共6个整数），正确．
选项D：每个对应个，其倒数之和为。总和为48时需24个，对应的总数为，正确．故选：B．
7．B
【详解】解：A种瓷砖的位置：，，
B种瓷砖的位置：，，
由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；
∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；
位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；
位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；
位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；故选：B.
8．D
【详解】解：延长到点G，使，连接，，∵为斜边的中点，∴，
又∵，∴，∴，，，
∵，∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴在中，，，
∴,∴．故选：D．
9．D
【详解】解：如图，连接，设交于点H，
∵，G为的中点，∴，
∵为等边三角形，∴，
∴垂直平分线段，∴，
∴点G在射线上，过B作交射线于，
则当G与重合时，取得最小值，最小值为线段的长，
∵，，
∴，∴，即的最小值为6，故选：D．
10．D
【详解】解：①过点D作交于点F，如图1所示：则，
是等腰直角三角形，，
平分，，，，
，
，，，
在和中，，，，
，是等腰直角三角形，，故结论①正确；
②是等腰直角三角形，，
，，，
又∵，∴，
∴，∴，∴，∴，故结论②和④正确；
③过点E作于点H，如图2所示：∵AC平分∴
在和中，，∴∴，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∵∴，故结论③正确；∴结论正确的有4个；故选：D．
二、填空题
11．
【详解】解：∵将点P先向右平移5个单位，再向上平移6个单位得到点，且点为，∴点为，∴点为，
∵点在第二象限，∴，解得．故答案为：．
12．（答案不唯一）
【详解】解：∵∴∴ 故答案为：（答案不唯一）．
13．
【详解】解：取格点，连接，，∴，∴，
∵，，，
∴，，∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，故答案为：．
14．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，使，，，为上一点，连接，
设，则，∴，
，
当三点共线时，取最小值，最小值为的长，过点作交的延长线于点，得长方形，则，，∴，
在中根据勾股定理，得：，
∴的最小值为，故答案是：．
15．①②③
【详解】解：点，，，轴，点Q的纵坐标为m，故，
①当时，，，，线段的中点坐标为，与点B坐标相同，故B是的中点，①正确；
②，为定值，与m无关，故②正确；
③，，设，即，解得（唯一解），故③正确；
④设，即，解得或，有两个解，故④错误．
综上所述，正确结论为①②③．故答案为：①②③．
16．
【详解】解：在边上截取，连接，
，，，，，
，，，，
在和中；∴，，
，，，．故答案为：．
17．10
【详解】解：如图2，
∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，∴，
∵朱入与朱出的三角形全等，∴，∴，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，∴，
∴，∴阴影部分面积为
，
∵，，∴，即阴影部分的面积为10．故答案为：10．
18．①②④
【详解】解：∵，∴是等腰直角三角形，∴，①正确；
∵平分，且，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
由题意可知点F不是的中点，所以，故③错误；
∵，∴，
∴，，即，故②正确；
在上取一点Q，使得，连接，如图所示：
∴是等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的有①②④；故答案为①②④．
三、解答题
19．（1）解：根据给出的示例得，，，
故答案为：；；
（2）解：当时，，当时，，
故答案为：；；
（3）解：
．
20．（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺，
由题意有：尺；
为中点，且丈尺，(尺)；
在中，由勾股定理得：，
即，解得：；；即尺，尺；
答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺；
（2）证明：水池深度，则芦苇高度为，
由题意有：；
为中点，且，；
在中，由勾股定理得：，
即，整理得：；表明刘徽解法是正确的．
21．解：（1）由题意得，故答案为：；
（2）将圆柱体展开，由题意得，故答案为：；
（3）如图，从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点，
，,，
，；，
蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是．
22．解：（1）如下图，设，
∵，∴，根据题意，可得，
又∵，即，∴，
∴，∴，∴阴影面积；
（2）根据题意，可得，
∴，
∴，∴正方形Ⅲ的边长为；
（3）如下图，连接，
∵，且面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，
∴在和中，可有，（7分）
又∵，∴，∴，解得或（舍去），
∴
．
23．（1）证明：，，
．在中，，
，，．
在和中，，
（2）如图1，过点作轴，垂足为．
．，
，，．
又，，，，．
点，点，，．
，．．点在第四象限，；
（3）如图2，过点作轴，垂足为．，．，
，，，．
，，
又，，．
又，，．
轴，，．
，，
，．，
点在第三象限，点的横坐标为．
24．（1）证明：是等边三角形，，
，，
在和 BDE中，，∴，；
（2）解：①在上找一点，使，如图所示：
即，由（1）中方法，根据一线三等角，
同理可得，，
是等边三角形，，，即，
，，，，
，；
②设，则，，，∴，，
∴以为边的三角形是直角三角形；故答案为：直角；
（3）解：在延长线上找一点，使，取中点，连接，如图所示：
则，，
由（1）中方法，根据一线三等角，同理可得，，
是等边三角形，∴设，
不妨令，由，则，，
，，，
，为等边三角形，，
，，．
25．（1）解： 关于轴的对称点为，过点作线段垂直于且等于，
如图，，是点关于直线和点的“垂直点”．
∵在轴上，∴是点关于轴和点的“有效垂直点”．故答案为：．
（2）解：①∵点的坐标为．∴在轴上，
∵点的坐标为，∴点关于轴的对称点为，
∵点是点关于轴和点的“垂直点”，∴
如图，当在的上方时，过点作于点，设交轴于点，
∵，∴，,∴
又∵∴
∴∴，
∴即∴
∵∴即
当在的下方时，如图，同理可得，；
综上所述，的坐标为或；
②如图，设，，∴∴是等腰直角三角形，则
如图，过点作轴于点，则，是等腰直角三角形，
设，则，
当时，∴，，∴，
当时，同理可得，∴过点和的直线上的点满足
同①构造全等三角形，同理可得，则，
∵点是点关于轴和点的“有效垂直点”，且在过点和的直线上
∴或解得：或
∴或 故答案为：或．
（3）∵是线段上的点，点，点
设，则，，∴，如图，
过点作轴于点，则，过点作轴于点，
∵点，点∴
∴是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形
∴，∴∴①，
∵点的坐标是，∴，，同理可得，
∴，，∴即
∵，，∴， ∴
∵线段上存在点以及点关于轴和点的“垂直点”．
∴当在上时，满足，，
∴，即，∴纵坐标范围为：或，
∵，∴符合题意，∴；
∵，
根据中点坐标可得即，
∵∴
∵，，∴，
∴即，
∵线段上存在点以及点关于轴和点的“垂直点”．
∴当在上时，满足，，
∵，∴，即
∴横坐标范围：，即或
∴不存在在线段上综上所述， 故答案为：．
26．解：（1）结论：．
理由：如图 1，延长到点，使，连接，
在和中，，，
，，
，，，
在和中， ，，
，．
（2）如图2，，理由如下：在上截取，连接，
，，
在和中，，
，，
，，，
在和中，，，
，．
（3）结论：．
理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
在和中，，，，
，，
在和中 ，，，
，，
，即，．