2025-2026学年八年级数学苏科版上学期第三次月考卷(1-4章)（含答案）

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷(1-4章)
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是 ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
2．有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③在1和3之间的无理数有且只有，，，这4个；④不是分数；⑤小明的身高表示他的实际身高的范围是：．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④⑤ D．①④⑤
3．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．等边三角形是锐角三角形 B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的对应边相等
5．如图，在长方形纸片中，，点为边上的一点，将 ADE沿翻折，使点恰好落在边上的点处，则的长为（　　）
A．7 B．8 C． D．9
6．已知、为实数，且，则的平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
7．有一张方格纸，每个小方格的边长是1厘米，上面堆叠有棱长1厘米的小正方体（如图），小正方体A的位置用表示，小正方体B的位置用表示，那么小正方体C的位置可以表示成（ ）
A． B． C． D．无正确选项
8．下列说法正确的是（ ）
A．点在第三象限或第四象限 B．点在轴的负半轴上
C．横坐标、纵坐标符号相同的点在第一或第三象限 D．点在轴的负半轴上
9．如图，已知 ABC为直角三角形，，为斜边的中点，一个三角板的直角顶点与重合，一个直角边与的延长线交于点，另一直角边与边交于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．21 D．25
10．如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若点与点关于轴对称，且，则点的坐标为 ．
12．如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；②以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，再以分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为 ．
13．如图，O是 ABC的重心，若 ABC的面积是12，则阴影部分的面积和是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，，O是的中点，点A的坐标是，则点C的坐标为 ，点B的坐标为 ．
15．已知表示不大于的最大整数，例如．现对69进行如下操作：
（1）对28进行一次操作后变为 ．
（2）若正整数进行3次操作后变为2，的最大值为 ．
16．如图，在中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、 BCF，若图中阴影部分的面积，，，则 ．
17．如图，在等腰 ABC中，顶角，点为边所在直线上一点，以为边构造等边 BPQ，连接．（1）的度数为 ；（2）当取最小值时，的度数为 ．
18．如图，已知 ABC与中，，，，为中点，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写序号）．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19．（8分）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)
20．（8分）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？
21．（10分）如图， ABC的顶点在x轴上，则点A的坐标为______；将点A向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为_____；，点C在x轴的上方，且轴，则点C的坐标为______．
(1)先填写横线上的坐标，再在图中画出 ABC；
(2)将 ABC的三个顶点横坐标分别乘，纵坐标不变，依次得到点，请在图中画出，并写出与的位置关系；
(3)若内任意一点P的坐标为，那么P到x轴的距离是_____．
22．（10分）阅读下列材料：通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即，所以的整数部分是2，小数部分是．
根据上述材料请回答以下问题：
(1)比较与4的大小；
(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值；
(3)如果的整数部分为，的整数部分为，求的立方根．
23．（10分）如图，等边 ABC中，，动点由点出发，沿方向以每秒个单位长度向点运动（与点、不重合），点以相同的速度由点沿射线方向运动(点不与点重合)，连接交于点，过点作，垂足为点．设点运动的时间为秒．
(1)当时，______；
(2)当时，求的值；
(3)当时，求的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，，过A作y轴的垂线l，点B在第一象限，且在直线l上，以为腰作等腰，延长交y轴于点D．
(1)尺规作图：在l上求作一点E，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，交x轴于F，
①求证：点F在线段的垂直平分线上；
②若，，求点E的坐标．
25．（11分）【定义】只有两边对应相等，且其中一组相等的边所对的角也对应相等的两个三角形，称为一对“非全等三角形”．如图， ABC与中，，，，，所以 ABC与是一对“非全等三角形”．
【判定】（）如图，四边形中，平分，，，请你判断与是不是一对“非全等三角形”．
【性质】（）在一对“非全等三角形”中，其中一对相等的边所对的角互补．
如图， ABC与是一对“非全等三角形”，，，，，求证：．
【运用】（）如图，在四边形中，，，，，求的长．
26．（11分）如图1，在 ABC中，，，平分．图形初探：当点D在的垂直平分线上时，连接，求的度数．小星同学认为点D在的平分线上，所以可以过点D作的垂线，分别交于点M，交的延长线于点N，如图2，则．由于点D在的垂直平分线上，则，可证．再利用三角形内角和求的度数，就能求出的度数；小光同学则在上取一点P，使，连接，如图3，可证，可以得到与之间的数量关系，再利用三角形内角和，从而求出的度数．老师认同了小星和小光的方法，并总结出这两名同学都是利用了是的平分线和点D在的垂直平分线上这两个条件构造全等三角形，从而求出的度数．
　　　
(1)请用小星同学或小光同学或自己的方法求的度数；
(2)图形探索：如图4，当点D在的平分线上时，连接，过点B作交的延长线于点E，探究与之间的数量关系；
(3)图形再研究：在（2）的条件下，如图5，连接，作交的延长线于点F，探究与之间的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．D
【详解】解：是 ABC的高的是：故选：D．
2．D
【详解】无理数是无限不循环小数，①正确；
实数与数轴上的点一一对应，但有理数不能覆盖所有点，②错误；
1和3之间的无理数有无数个（如、等），③错误；
是无理数，而分数是有理数，④正确；
精确到百分位，表示实际身高h满足，⑤正确；
正确说法是①④⑤，故选：D．
3．B
【详解】解：长方体侧面展开图如图所示．
由题意，得，
在中，，故选：．
4．D
【详解】解：A、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，是假命题；
B、逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题；
C、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，错误，是假命题；
D、逆命题为：对应边相等的三角形是全等三角形，正确，是真命题；∴逆命题成立的是D．故选D．
5．B
【详解】解：由折叠的性质得：，
在中，，∴．故选：B
6．B
【详解】∵ ，，且，
∴，，∴，即，，即，
∴，∴ 的平方根为；故选B．
7．A
【详解】解：由题意可得小正方体C的位置可以表示成．故选：A．
8．C
【详解】解：A、∵，∴，
∴点的横坐标为正，纵坐标为负，即点在第四象限，原说法错误，不符合题意；
B、当时，，则点在轴的正半轴上，原说法错误，不符合题意；
C、横坐标、纵坐标符号相同的点在第一或第三象限，原说法正确；
D、∵，∴，∴，
∴点在x轴的负半轴上，原说法错误，不符合题意；故选：C．
9．D
【详解】解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边的中点，∴，
又∵，∴，∴，，，
∵，∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴在中，，，
∴,∴．故选：D．
10．A
【详解】解：连接，
，点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，，
，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
垂线段最短，当时，的长度最短，此时，也最短，
，，最小值为．故选：．
二、填空题
11．或
【详解】解：∵点与点关于轴对称，∴点的坐标为，
∵，∴，即，解得或，
∴点的坐标为或，故答案为：或．
12．
【详解】解：由题意可知，是的角平分线；；
，，由角平分线性质可得，
在中，，，则由勾股定理得，
，
设，即，解得，故答案为：
13．6
【详解】解：∵O是 ABC的重心，
∴是 ABC的中线，即点分别是的中点，
∴是的中线，
∴，∵，
∴，故答案为：6．
14．
【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，过点C作x轴的平行线交的延长线于点F，
∵点A的坐标是，∴，
∵，∴，
∵，∴ AOE≌ COD，
∴，∴∴，
∵，
∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．
故答案为：，．
15． 5 6560
【详解】解：（1），，故答案为：．
（2）设三次操作依次结果为、、，其中，
， (b为整数)，取时，，
，，取时，，，，
为整数，故最大值为．验证：当时，，，，符合要求；若，则，，，故不能为．故答案为：．
16．
【详解】如图，分别交、于、
、、均是等腰直角三角形，，，
设，，，，
，，
∴ ∴故答案为：．
17．
【详解】（1）解：在等腰 ABC中，顶角，
∴，故答案为：；
（2）解：如图将绕B点顺时针旋转至，连接，则为等边三角形，
∵ BPQ为等边三角形，∴，，∴，
又∵，∴，，，
当取最小值时，求的度数，即当最小时，求的度数．
作B点关于的对称点M，连接与交点即为点P，此时最小，连接，
∵B、M关于对称，∴，∴，
，，，
∵B、M关于对称，∴，，，
，∵B、M关于对称，，
又，，，，
∴当取最小值时，的度数为．故答案为：．
18．①③
【详解】解：连接，∵，，∴是等腰直角三角形，
∵为中点，∴，，
∵，∴，即，
∵，，∴，∴，故①正确；
∵，∴，即，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，故②错误；
∵，∴，∴，故③正确；
∵，∴，∵，与不一定相等，
∴与不一定相等，∴与不一定平行，故④错误；
综上，正确的结论有①③．故答案为：①③．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
，
，
解得或；
（4），
，
，
解得．
20．（1）解：由题意得，，，，
∴，
∴绳子的总长度为，
答：绳子的总长度为；
（2）解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为，
则，，
∴，
∵在中，，∴，解得，
答：物体C升高了．
21．（1）解：由题意，，
∴，∴，∴，
∵将点A向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点B，
∴，即：，
∵，点C在x轴的上方，且轴，∴，即：，
描点，连线，画出 ABC，如图：
（2）解：由题意，，，，画出如图所示：
由图可知， ABC与关于y轴对称；
（3）解：由题意，点P在第一象限，∴，
∴点到轴的距离为，故答案为：．
22．（1）解：因为，所以；
（2）解：因为，所以，
所以；
（3）解：因为的整数部分为，且，所以，
因为，所以，
又因为的整数部分为，所以，
所以，所以的立方根是4．
23．（1）解：当时，，，，
是等边三角形，，，；
（2）解：如下图所示，，，
等边 ABC的边长为，，，，
，，，，解得：；
（3）证明：如下图所示，过点作，交于点，则，，
是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，，
，，，，
在和中，，，
，，，
，，，
由得：，，，
，．
24．（1）解：如图所示，点E即为所求；
（2）解：①∵是以为腰的等腰直角三角形，且，∴，
又∵，∴垂直平分，∴，
∵直线l与y轴垂直，∴直线l与x轴平行，∴，
∴，∴，∴点F在线段的垂直平分线上；
②如图所示，过点C作轴于，
∵点B在第一象限，且，∴点C在第四象限，
∵，∴；
∵直线l与y轴垂直，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴；
∵，∴，∴，∴，∴；
如图所示，设交于G，过点G作轴于H，延长交直线l于I，
∵垂直平分，∴，，
∴是等腰直角三角形，∴，同理可证明，∴；
∵，∴，
∴，设，则，
∴，∴，∴；
∵，，
，∴，
∵，∴；设，
∵，∴，∴，
∴，∴．
25．（）解：如图，过点作的延长线于点，于点，则，
∵平分，∴，，
∵，∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵在与中，，，，，
∴与是一对“非全等三角形”，
（）证明：在上取点，使，
，，，，，
，，，
又，；
（）延长至，使，作于，连接，
则，，，，
与是一对“非全等三角形”，由（）得，，
∵，，
又，，，
∴，，∴是等腰直角三角形，
∵，，（10分）
∴，．
26．（1）解：小星同学的方法：
如图1，过点D作的垂线，分别交于点M，交的延长线于点N．
∴．又平分， ∴．
∵点 D在的垂直平分线上， ∴．
∴．∴．
∴，即．
∵，
∴，
即．
∵， ∴．∴．
小光同学的方法：如图2，在上取点 P，使，连接．
∵平分， ∴．
又∵， ∴． ∴，．
∵点 D在的垂直平分线上， ∴．
∴． ∴．
∵，
∴．∴．
∵， ∴．
（2）如图，过点 D作于点 F，于点 G，于点 H．
∵平分，点 D在的平分线上，
∴，． ∴．
又， ∴平分． ∴．
∴．
∵， ∴． ∴在中，．
（3）如图，过点 E作于点 G，交的延长线于点 H．
由（2），知平分， ∴．∵，∴．
∴，．∴，即平分．
又， ∴．
∵平分，，，∴． ∴．
又， ∴平分． ∴．
∵， ∴．
∴．∴在中，． ∴．