八年级数学上册沪科版 第十四章《全等三角形》单元测试卷（含答案）

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第十四章《全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知点在上，点在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离，分别为1.3和1.8，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.8
4．题目：“在和中，，已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
5．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的结果合起来才对
B．乙、丙两人的结果合起来才对
C．甲、丙两人的结果合起来才对
D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对
6．如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分， ，若，，则的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
7．在中，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为1，、上各有一点P、Q，如果的周长为2，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为 边上一动点，当的值最小时，的度数是（ ）
A．118° B．125° C．136° D．124°
10．在正方形中，直线经过对角线，的交点，过，两点分别作直线的垂线，交直线于点，．若，，则长为（ ）
A．2 B．3 C．2或6 D．3或7
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ．
①；②；③；④．
12．已知和，，，，已知，则 ．
13．如图，已知，垂足分别为D、E，、交于点O，且，则图中的全等三角形共有 对．

14．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．

15．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则 度．
16．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在四边形中，点E在上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
18．（6分）如图，在中，点D在上，点E在上，且．
(1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______．
(2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由．
19．（8分）如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接．
【问题解决】（1）证明：；
【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由．
20．（8分）将两块全等的含角的直角三角板按图1的方式放置，已知，．
(1)固定三角板，然后将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，与分别交于点D、E，与交于点F．
①填空：当旋转角等于时， ___________度；
②当旋转角等于多少度时，与垂直？请说明理由．
(2)将图2中的三角板绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使，与交于点D，试说明．
21．（10分）【新知】在中，若，则，即是等腰三角形．
【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）
(1)判断的形状；
(2)试说明：；
(3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
22．（10分）如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点．
(1)填空：_____度；
(2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
(3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由）
23．（12分）问题提出：
（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，P为上一点，思考当点P在什么位置时，与是偏等积三角形？并说明理由．
问题探究：
（2）如图2，与是偏等积三角形，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，求的长；
问题解决：
（3）如图3，四边形是一片绿色花园，是等腰直角三角 请问与是偏等积三角形吗？说明理由．
24．（12分）【模型解读】
角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法．
【模型证明】
常见模型1
条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B．
结论：，．
常见模型2
条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E．
结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）．
常见模型3
条件：如图，是的角平分线，．
结论：．
根据模型3的条件，请证明上述结论．
【模型运用】
如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ．
【解决问题】
如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米．
参考答案
一．选择题
1．
【详解】解：∵的两条高，交于E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
2．
【详解】解：∵，
设，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故选：．
3．
【详解】解：由题意得：
，，，
，
，，
，
，
在和中
，
，
，，
，
；
故选：C．
4．
【详解】解：①如图，当和都是锐角时，
过点作于点，过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②如图，当和都是钝角时，
过点作，交延长线于点，过点作，交延长线于点，
同理可证：，
∴，
即；
③如图，当和中，有一个是锐角、一个是钝角时；
不妨设是锐角，是钝角，
过点作于点，过点作，交延长线于点，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
综上，或，
所以正确的是甲、丙答案合在一起才完整，
故选：C．
5．
【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，
∴点从的时间为，
∵它们运动的时间为，
∴，，则，
当时，
∴，
∴，
解得，；
当时，
∴，
∴，
解得，．
综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对．
故选：B．
6．
【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图，
∵点为的中点，，，
∴，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．
【详解】解： 延长到E，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴．
故选：B．
8．
【详解】解：如图所示，延长至，使，连接，
的周长为2，即，
∵正方形的边长是1，
∴，，，
，
，
在和中，
，
∴，
，，
∴，
，
，
∴，
在与中，，，，
∴，
．
故选：B．
9．
【详解】解：在上截取，连接，如图：
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：
∵，，
∴．
故选：D．
10．
【详解】解：如图，当直线与线段不相交时，
，，，
，，
，
又正方形中，，
，
，，
；
如图，当直线与线段相交时，
，，，
，，
，
又正方形中，，
，
，，
；
故选D．
二．填空题
11．①②③
【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意；
②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意；
③如图，记交点为，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴由判定，故③符合题意；
④增加添加，不能判定，故④不符合题意．
增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③．
故答案为：①②③．
12．或
【详解】解：当时，，
∴，
当时，如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或

13.4
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
即全等三角形共4对．
故答案为：4．
14．或
【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【详解】解：过B作于D，

∵点B到射线的距离为d，
∴，
①如图，

当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形；
②如图，

当时，此时C点的位置有两个，即有两个；
③如图，

当时，此时是一个三角形；
所以x的范围是或，
故答案为：或．
15．
【详解】解：如图，连接，
，
，
和中，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
16．
【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG，
∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°，
∴，
∴∠AGC=∠CFD，
设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，
∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°，
∴∠EAF=∠B，
∴∠E=∠CFD -∠EAF=∠AGC -∠B=∠GAB，
又∵AE=AB，
∴，
∴AF=BG=5x，
∴BD=BG -GD=4x，
∴ ．
三．解答题
17．（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（1）解：添加的条件是，依据是；
在和中，
；
故答案为：，；
（2）解：，理由如下：
，
，，
，
，即，
在和中，
．
19．证明：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
20．（1）解：∵将三角板绕点C顺时针方向旋转至图2所示的位置，
∴，
∴，
∴；
故答案为：160；
②当旋转角等于时，与垂直．理由如下：
当与垂直时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
即旋转角等于时，与垂直；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
21．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴；
（3）解：是定值，为，理由如下：
如图，在取点M使，连接，
由（2）得：，
∴，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等腰直角三角形，
∴．
22．（1）解：如图中，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：相等，理由，如图中，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由，
如图中，延长到，使得，连接，，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．解：当点 P在中点时，与是偏等积三角形，理由如下：
设点 C到的距离为h，则
当点 P在中点时， ，
，
与不全等，
∴与是偏等积三角形
（2）设点A到的距离为n，则 ，
与是偏等积三角形，
,
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵线段的长度为正整数，
的长度为偶数，
在中，，
，
即：，
；
（3）①与是偏等积三角形，理由如下：
过A作于M， 过B作于N， 如图3所示：
则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
∴与不全等，
∴与是偏等积三角形
24．模型证明：证明：如图，作于，于，
则，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
模型运用：如图，在上截取点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
解决问题：由题意可得：米，米，米，米，
∴米，米，
如图，延长至点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴米，，，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴米，
即此时甲、乙两人的距离为米．
故答案为：50．
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